《概率论与数理统计.》习题三答案.doc

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1、概率论与数理统计习题及答案习题三习题三1.将一硬币抛掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以 Y 表示三次中出现正面次数 与出现反面次数之差的绝对值.试写出 X 和 Y 的联合分布律. 【解解】X 和 Y 的联合分布律如表：0123101 31113C2228A2 3111C3/8222A031 8001111 22282.盒子里装有 3 只黑球、2 只红球、2 只白球，在其中任取 4 只球，以 X 表示取到黑球的只 数，以 Y 表示取到红球的只数.求 X 和 Y 的联合分布律. 【解解】X 和 Y 的联合分布律如表：012300022 32 4 7C C3 C35A31 32 4 7C

2、 C2 C35A10112 322 4 7C C C6 C35AA211 322 4 7C C C12 C35AA31 32 4 7C C2 C35A2P(0 黑,2 红,2 白)=224 2271C C /C35A121 322 4 7C C C6 C35AA22 32 4 7C C3 C35A03.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F（x，y）= ., 020 ,20,sinsin他他yxyx求二维随机变量（X，Y）在长方形域内的概率. 36,40yx【解解】如图 0,(3.2)4 63PXY公式 (,)(,)(0,)(0,)4 34 636FFFFX YX Ysinsinsinsi

3、nsin0 sinsin0 sin4346362( 31).4AAAA题 3 图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度f（x，y）= ., 0, 0, 0,)43(他他yxAyxe求：（1） 常数 A； （2） 随机变量（X，Y）的分布函数； （3） P0X0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率 为 p（0p1） ，且中途下车与否相互独立，以 Y 表示在中途下车的人数，求：（1）在 发车时有 n 个乘客的条件下，中途有 m 人下车的概率；（2）二维随机变量（X，Y） 的概率分布.【解解】(1) .|C(1),0,0,1,2,mmn m nP Ym Xnpp

4、mn nY X(2) ,|P Xn YmP Xn P Ym XnAeC(1),0,1,2,.!mmn mn nppnmn nn A24.设随机变量 X 和 Y 独立，其中 X 的概率分布为 X，而 Y 的概率密度为 f(y)， 7 . 03 . 0 21求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u). 【解解】设 F（y）是 Y 的分布函数，则由全概率公式，知 U=X+Y 的分布函数为( )0.3 |10.7 |2G uP XYuP XYu XP XYu X0.3 1|10.7 2|2P YuXP YuX由于 X 和 Y 独立，可见( )0.3 10.7 2G uP YuP Yu0.3 (1)0

5、.7 (2).F uF u由此，得 U 的概率密度为( )( )0.3(1)0.7(2)g uG uF uF u0.3 (1)0.7 (2).f uf u25. 25. 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，求 PmaxX,Y1. 解解：因为随即变量服从0，3上的均匀分布，于是有1, 03,( )3 0, 0,3;xf x xx 1, 03,( )3 0, 0,3.yf y yy 因为 X，Y 相互独立，所以1, 03,03,( , )9 0, 0,0,3,3. xyf x y xyxy 推得 .1max, 19PX Y 26. 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为

6、1 0 11 0a 0 0.2 0.1 b 0.2XY10 0.1 c其中 a,b,c 为常数，且 X 的数学期望 E(X)=0.2,PY0|X0=0.5，记 Z=X+Y.求： （1） a,b,c 的值； （2） Z 的概率分布； （3） PX=Z. 解解 (1) 由概率分布的性质知， a+b+c+0.6=1 即 a+b+c = 0.4.由，可得()0.2E X .0.1ac 再由 ,0,00.1000.500.5P XYabP YXP Xab得 .0.3ab 解以上关于 a，b，c 的三个方程得.0.2,0.1,0.1abc(2) Z 的可能取值为2，1，0，1，2，21,10.2P ZP XY ，11,00,10.1P ZP XYP XY ，01,10,01,10.3P ZP XYP XYP XY ，11,00,10.3P ZP XYP XY，21,10.1P ZP XY即 Z 的概率分布为Z2 1 0 1 2P0.2 0.1 0.3 0.3 0.1(3) .00.10.20.1 0.1 0.20.4P XZP Yb