1995考研数一真命题及其解释分析.doc

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1、19951995 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1) _.2 sin0lim(1 3 )xxx (2) _.202cos xdxt dtdx(3) 设,则_.()2a bc () () ()abbcca(4) 幂级数的收敛半径_.2112( 3)n nn nnx R (5) 设三阶方阵、满足关系式：,且,则AB16A BAABA1003 1004 1007A B _.二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 个小

2、题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1) 设有直线及平面,则直线 ( )3210,:21030xyzLxyz :4230xyzL(A) 平行于 (B) 在上 (C) 垂直于 (D) 与斜交 (2) 设在上,则、或的大小顺序是0,1( )0fx(0)f (1)f (1)(0)ff(0)(1)ff( )(A) (B) (1)(0)(1)(0)ffff(1)(1)(0)(0)ffff(C) (D) (1)(0)(1)(0)ffff(1)(0)(1)(0)ffff(3) 设可导,则是在处可导的 ( )( )f x( )( )(1 |sin|)F xf xx(

3、0)0f( )F x0x (A) 充分必要条件 (B) 充分条件但非必要条件 (C) 必要条件但非充分条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (4) 设,则级数 ( )1( 1) ln 1n nun (A) 与都收敛 (B) 与都发散 1n nu21n nu 1n nu21n nu(C) 收敛而发散 (D) 发散而收敛 1n nu21n nu 1n nu21n nu(5) 设,111213212223313233aaa Aaaa aaa 212223111213311132123313aaa Baaa aaaaaa 1010 100 001P ,则必有 ( )2100010 101P (A)

4、(B) 12APPB21AP PB(C) (D) 12PP AB21P PAB三、三、( (本题共本题共 2 2 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 1010 分分.).)(1) 设,其中、都具有一阶连续偏导数,且2( , , ), (, )0,sinyuf x y zx ezyxf,求.0zdu dx(2) 设函数在区间上连续,并设,求 .( )f x0,110( )f x dxA110( ) ( ) xdxf x f y dy四、四、( (本题共本题共 2 2 小题小题, ,每小题每小题 6 6 分分, ,满分满分 1212 分分.).)(1) 计算曲面积分,其中为锥面

5、在柱体内的部分.zdS22zxy222xyx(2) 将函数展开成周期为 4 的余弦级数.( )1(02)f xxx五、五、( (本题满分本题满分 7 7 分分) )设曲线位于平面的第一象限内,上任一点处的切线与轴总相交,交点记LxOyLMy为.已知,且过点,求的方程.AMAOAL3 3,2 2L六、六、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )设函数在平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分与( , )Q x yxOy2( , ) LxydxQ x y dy路径无关,并且对任意 恒有t,( ,1)(1, )(0,0)(0,0)2( , )2( , )ttxydxQ x y dyxydxQ x y d

6、y求.( , )Q x y七、七、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )假设函数和在上存在二阶倒数,并且( )f x( )g x , a b,试证：( )0gx( )( )( )( )f af bg ag b(1) 在开区间内；( , )a b( )0g x (2) 在开区间内至少存在一点,使.( , )a b( )( ) ( )( )ff gg 八、八、( (本题满分本题满分 7 7 分分) )设三阶实对称矩阵的特征值为,对应于的特征向量为A11 2311,求.1(0,1,1)TA九、九、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )设是阶矩阵,满足(是阶单位阵,是的转置矩阵),求AnTAA

7、EEnTAA0A .AE十、填空题十、填空题( (本题共本题共 2 2 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 6 6 分分.).)(1) 设表示 10 次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为 0.4,则的数X2X学期望_.2()E X(2) 设和为两个随机变量,且XY, ,30,07P XY4(0)(0)7P XP Y则_.max(, )0PX Y 十一、十一、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )设随机变量的概率密度为求随机变量的概率密度X, 0,( )0, 0,xXexfxxXYe.( )Yfy19951995 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析年

8、全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1)【答案】6e【解析】这是型未定式求极限,1,2123sin3sin00lim(1 3 )lim(1 3 )xxxxxxxx令,则当时,所以3xt0x 0t ,11 300lim(1 3 )lim(1)xtxtxte 故 .00266lim6lim6sinsinsinsin00lim(1 3 )limxxxxx xxxxxxxeeee(2)【答案】20224cos2cos xt dtxx【解析】 220022coscos

9、xxddxt dtxt dtdxdx 20222coscos2 xt dtxxx.20224cos2cos xt dtxx【相关知识点】积分上限函数的求导公式：. xxdf t dtfxxfxxdx(3)【答案】4【解析】利用向量运算律有() () ()abbcca() ()() ()abbcaabcca(其中)() ()() ()a bb bcaa cb cca 0b b()()()()a bca baa ccb ca ()()a bcb ca .()()4a bca bc (4)【答案】3【解析】令,则当时,有21 2( 3)n nnnnax n 2(1) 1 11 12122 1 111

10、 2( 3)limlim2( 3)23( 1)311lim,323( 1)3n nn nnnnn nnn nnnn nnnxa anxnxxn 而当时,幂级数收敛,即时,此幂级数收敛,当时,即时,此2113x |3x 2113x |3x 幂级数发散,因此收敛半径为.3R (5)【答案】300 020 001 【解析】在已知等式两边右乘以,得,即16A BAABA1A16A BEB.1()6AE BE因为 ,所以1300 040 007A =.116()6BAE1200030006 300 020 001 二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分

11、分, ,满分满分 1515 分分.).) (1)【答案】(C)【解析】这是讨论直线的方向向量与平面的法向量的相互关系问题.L直线的方向向量L,132281477(42) 2110ijk lijkijk 平面的法向量,.应选(C).42nijklnAL (2)【答案】(B) 【解析】由可知在区间上为严格单调递增函数,故( )0fx( )fx0,1(1)( )(0),(01)ffxfx由微分中值定理,.所以(1)(0)( ),(01)fff,(1)(1)(0)( )(0)fffff(01)故应选择(B). (3)【答案】(A) 【解析】由于利用观察法和排除法都很难对本题作出选择,必须分别验证充分条

12、件和必 要条件.充分性:因为,所以(0)0f, 0000( )(1sin)( )(0)( )( )(0)limlimlimlim(0) xxxxf xxF xFf xf xffxxxx由此可得 在处可导.( )F x0x 必要性:设在处可导,则在处可导,由可导的充要条件知( )F x0x ( ) sinf xx0x . 00( ) sin( ) sinlimlim xxf xxf xxxx根据重要极限,可得 0sinlim1 xx x, 00sinsinlimlim1 xxxxxx 00sinsinlimlim1 xxxx xx结合,我们有,故.应选(A).(0)(0)ff (0)0f(4)【

13、答案】(C)【解析】这是讨论与敛散性的问题.1n nu21n nu是交错级数,显然单调下降趋于零,由莱布尼111( 1) ln 1n n nnun1ln(1)n兹判别法知,该级数收敛.正项级数中,.22111ln1n nnun2 22111ln1nunnn根据正项级数的比较判别法以及发散,发散.因此,应选(C).11nn21n nu【相关知识点】正项级数的比较判别法：设和都是正项级数,且则1n nu 1n nvlim,nnnvAu1当时,和同时收敛或同时发散；0A 1n nu 1n nv2当时,若收敛,则收敛；若发散,则发散；0A 1n nu 1n nv 1n nv 1n nu3当时,若收敛,

14、则收敛；若发散,则发散.A 1n nv 1n nu 1n nu 1n nv(5)【答案】(C)【解析】是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵,是将单位矩阵的第一行加到1P2P第三行所得初等矩阵；而是由先将第一行加到第三行,然后再交换第一、二行两次初等交换得到的,因此 BA,故应选(C).12PP AB三、三、( (本题共本题共 2 2 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 1010 分分.).) (1)【解析】这实质上已经变成了由方程式确定的隐函数的求导与带抽象函数记号的复合函 数求导相结合的问题.先由方程式,其中确定,并求.2(, )0yx ezsinyx( )zz xdz

15、 dx 将方程两边对求导得 x,1232cos0ydzxexdx解得 . 12 312cosydzxexdx 现再将对求导,其中,( , , )uf x y zxsinyx( )zz x可得 .123cosdudzffxfdxdx将式代入得 .21 3321cos12cosyduffxfdxxex【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数都在点具( , ),( , )ux y vx y( , )x y有对及对的偏导数,函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数xy( , )zf u v( , )u v在点的两个偏导数存在,且有( ( , ),( , )zfx yx y( , )x y；12zzu

16、zvuvffxuxv xxx .12zzuzvuvffyuyv yyy (2)【解析】方法一方法一：用重积分的方法.将累次积分表成二重积分110( ) ( ) xIdxf x f y dy,( ) ( )DIf x f y dxdy其中如右图所示.交换积分次序D.100( ) ( )yIdyf x f y dx由于定积分与积分变量无关,改写成.100( ) ( )xIdxf y f x dy1110002( ) ( )( ) ( )xxIdxf x f y dydxf x f y dy111120000( ) ( )( )( ).dxf x f y dyf x dxf y dyA.21 2IA

17、方法二方法二：用分部积分法.注意,将累次积分写成1( )( ) xdf y dyf x dx I 111110012120( )( )( )( )11( ).22xxxxx xIf xf y dy dxf y dydf y dyf y dyA 四、四、( (本题共本题共 2 2 小题小题, ,每小题每小题 6 6 分分, ,满分满分 1212 分分.).)(1)【解析】将曲面积分化为二重积分.I( , )xyDIf x y dxdy首先确定被积函数 ,2222( , )12xyf x yzzzxy对锥面而言, .22zxy22 22 2222112xyxyzzxyxyxyOD1yx其次确定积分

18、区域即在平面的投影区域xOyxyD(见右图),按题意：,即.22:2xyDxyx22(1)1xy.222xyDIxy dxdy作极坐标变换,则cos ,sinxryr,:02cos ,22xyDr因此 .2cos 2cos322 000213222 2239Idr rdrrd (2)【解析】这就是将作偶延拓后再作周期为 4 的周期延拓.于是得的傅氏系数：( )f x( )f x0(1,2,3,)nbn200220022222 0222( )cos2(1)cos2 22(1) sinsin2244cos( 1)1)28,21,(21)1,2,3, 0,2 ,lnnn xnaf xdx lxxdx

19、ll nnxdxxdxnnnxnnnkkk nk .2222 000021( )(1)(1)022af x dxxdxx由于(延拓后)在分段单调、连续且.于是有展开式( )f x 2,2( 1)1f ( )f x.22 181(21)( )cos,0,2(21)2nnf xx xn 五、五、( (本题满分本题满分 7 7 分分) )【解析】设点的坐标为,则处的切线方程为 .M( , )x yM()Yyy Xx令,得,切线与轴的交点为.由,有0X Yyxyy(0,)AyxyMAOAOyx1xyD.22()xxyyxy化简后得伯努利方程 .212,yyyxx 221yyxx 令,方程化为一阶线性方

20、程 .2zy 1zzxx 解得 ,即 ,亦即 .()zx cx22ycxx2ycxx又由,得,的方程为 .33 22y3c L23(03)yxxx六、六、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )【解析】在平面上与路径无关(其中有连续偏导数), LPdxQdy,P Q,即 .PQ yx2Qxx对积分得 ,其中待定.代入另一等式得对,x2( , )( )Q x yxy( )yt. ( ,1)(1, )(0,0)2(0)2,0( )( )22ttxydxdyxydxdxyyxy下面由此等式求.( )y方法一方法一：易求得原函数 0222202( )( )2( )().yyxydxdyydxdyd

21、x yddxyxsd xdyyssyds于是由式得 .( ,1)(1, ) 2200(0,0)(0,0)( )( )ttyyx ydsx ydsss即 ,亦即 .1200( )( )ttdstdsss 21( )tsttds 求导得 ,即 .)2(1tt ( )21tt因此 .2( , )21Q x yxy方法二方法二：取特殊的积分路径：对式左端与右端积分分别取积分路径如下图所示.OxyOyxt( ,1)t1(1, ) t于是得 .1200( )1( )ttdydyyy即 ,亦即 .1200( )( )ttdytdyyy 21( )tyttdy 其余与方法一相同.七、七、( (本题满分本题满分

22、 8 8 分分) )【解析】(1)反证法反证法. .假设,使.则由罗尔定理,与( , )ca b ( )0g c 1( , )a c2( , ),c b使；从而由罗尔定理, ,.这与12()()0gg12( ,)( , )a b ( )0g矛盾.( )0gx(2)证明本题的关键问题是：“对谁使用罗尔定理？”换言之,“谁的导数等于零？” 这应该从所要证明的结果来考察.由证明的结果可以看出本题即证在存在零点.( )( )( ) ( )f x gxfx g x( , )a b方法一方法一：注意到 ,( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )f x gxfx g xf x g xfx g x

23、考察的原函数,令( )( )( ) ( )f x gxfx g x,( )( )( )( ) ( )xf x g xfx g x在可导,.由罗尔定理,使.即有( )x , a b( )( )0ab( , )a b ( )0 ,亦即 .( )( )( ) ( )0fgfg( )( ) ( )( )ff gg 方法二：方法二：若不能像前面那样观察到的原函数,我们也可以用积分来( )( )( ) ( )f x gxfx g x讨论这个问题：.( )( )( ) ( )(?)( )( )( ) ( )?f x gxfx g xf x gxfx g xdx( )( )( ) ( )( )( )( )(

24、)f x gxfx g xdxf x dg xg x dfx( )( )( )( )( ) ( )( )( )f x g xg x fx dxfx g xfx g x dx(取).( )( )( ) ( )f x g xfx g x0C 令,其余与方法一相同.( )( )( )( ) ( )xf x g xfx g x八、八、( (本题满分本题满分 7 7 分分) )【解析】设对应于的特征向量为,因为为实对称矩阵,且实对231123( ,)Tx x xA称矩阵的不同特征值所对应的特征向量相互正交,故,即.10T 230xx解之得 .23(1,0,0) ,(0,1, 1)TT于是有 ,1231

25、12233( ,)(,)A 所以 1 1 12233123(,)( ,)A .1010010100101101001101101010 九、九、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )【解析】方法一方法一：根据有TAAE,| | |()| | |TTAEAAAA EAA EAAAE移项得 .(1 |)| 0AAE因为,故.所以.0A 1 | 0A| 0AE方法二方法二：因为,()TTTTAE AAAAEAEA所以 ,AE AEA即 .(1 |)| 0AAE因为,故.所以.0A 1 | 0A| 0AE十、填空题十、填空题( (本题共本题共 2 2 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,

26、满分满分 6 6 分分.).)(1)【解析】由题设,因为是独立重复实验,所以服从的二项分布.X10,0.4np由二项分布的数学期望和方差计算公式,有,()4,()(1)2.4E XnpD Xnpp根据方差性质有 .22()() ()18.4E XD XE X(2)【解析】令,则0,0AXBY.max(, )01max(, )010,0PX YPX YP XY 由概率的广义加法公式 ,有()( )( )()P ABP AP BP ABmax(, )01 1()()( )( )()PX YP ABP ABP Ap BP AB 4435.7777十一、十一、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )

27、【解析】方法方法 1 1：用分布函数法先求的分布函数.Y( )YFy当时, 1y ( )0;YFy 当时, 1y ( )()X YFyP YyP eylnP Xylnln0011,yyxxe dxey 所以由连续型随机变量的概率密度是分布函数的微分,得21, 1,( )( ) 0, 1.YYyyfyFy y 或者直接将对求导数得ln0yxe dxylnln 2011.yxyde dxedyyy方法方法 2 2：用单调函数公式直接求的概率密度.Y由于在内单调,其反函数在内可导且其导数为xye0,( )lnxh yy1,则所求概率密度函数为10yxy ln1,1,1,0, 1.0, 1.y X Yeyhyfh yyyfy yy 21, 1,0, 1.yy y 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若,均一阶可导,则( )( )( )( )ttF tf x dx( ) t( ) t.( )( )( )( )( )F ttfttft