2008年普通高等学校招生全国统一考试.数学卷(浙江理科)含详解.doc

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1、 2008 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理科）浙江卷数学（理科）浙江卷一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。只有一项是符合题目要求的。（1）已知是实数，是纯虚数，则=aiia 1a（A）1 （B）-1 （C） （D）-22 （2）已知 U=R，A=,B=,则0|xx1|xx ACBBCAuu（A） （B）|0x x （C） （D）|1x x |01x xx 或（3）已知，b 都是实数，那么“”是“b”的a22

2、ba a （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（4）在的展开式中，含的项的系数是)5)(4)(3)(2)(1(xxxxx4x（A）-15 （B）85 （C）-120 （D）274（5）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线)20)(23 2cos(，xxy的交点个数是21y（A）0 （B）1 （C）2 （D）4（6）已知是等比数列，则= na41252aa，13221nnaaaaaa（A）16（） （B）16（） n 41n 21（C）（） （D）（）332n 41332n 21（7）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为 3：2,

3、则双曲线的离心率12222 by ax是（A）3 （B）5 （C） （D）35（8）若则=,5sin2cosaaatan（A） （B）2 （C） （D）21 212（9）已知，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,ac0)()(cbca则的最大值是c（A）1 （B）2 （C） （D）222（10）如图，AB 是平面的斜线段，A 为斜足，若点 P 在平面内运动，使得ABP 的aa面积为定值，则动点 P 的轨迹是ABPABCDEFABCD（A）圆 （B）椭圆 （C）一条直线 （D）两条平行直线 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分

4、。分。（11）已知0，若平面内三点 A（1，-） ，B（2，） ，aa2aC（3，）共线，则=。3aa12（12）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于 A、B 两点21FF、192522 yx1F若，则= 8 。1222BFAFAB（13）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为、b、c ，若a，则。CaAcbcoscos3Acos3/3 （14）如图，已知球 O 点面上四点 A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，则球 O 点体积等于 9/2 。关关3 键是找出球心，从而确定球的半径。由题意，三角形键是找出球心，从而确定球的半径。由题意，三角形 DAC,三角形三角

5、形 DBC 都是直角三角形，且有公共斜边。所以都是直角三角形，且有公共斜边。所以 DC 边的中点就是边的中点就是 球心（到球心（到 D、A、C、B 四点距离相等）四点距离相等） ，所以球的半径就是线，所以球的半径就是线段段 DC 长度的一半。长度的一半。（15）已知 t 为常数，函数在区间0，3上的最大值为 2，则 t= 1 。txxy22（16）用 1，2，3，4，5，6 组成六位数（没有重复数字） ，要求任何相邻两个数字的奇 偶性不同，且 1 和 2 相邻，这样的六位数的个数是 40 （用数字作答)。（17）若，且当时，恒有，则以,b 为坐标点0, 0ba 1, 0, 0yxyx 1bya

6、xaP（，b）所形成的平面区域的面积等于 思路一：可考虑特殊情形，比如思路一：可考虑特殊情形，比如 x x0 0，a 可得可得 a a1 1；y y0 0 可得可得 b b1 1。所以猜测。所以猜测 a a 介于介于 0 0 和和 1 1 之间，之间，b b 介于介于 0 0 和和 1 1 之间。点之间。点 P P（a a，b b）确定的平面区域就是一个正方形，面积为）确定的平面区域就是一个正方形，面积为 1 1 。 三解答题：本大题共三解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （18） （本题 14

7、 分）如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直，BE/CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。903 （）求证：AE/平面 DCF； （）当 AB 的长为何值时,二面角 A-EF-C 的大小为？60（19） （本题 14 分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出 1 个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的52概率是。97（）若袋中共有 10 个球， （i）求白球的个数； （ii）从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为,求随机变量的数学期望。E（）求证：从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个黑球的概率不大于。

8、并指出107袋中哪种颜色的球个数最少。（20） （本题 15 分）已知曲线 C 是到点 P（）和到直线距离相等的点的83,2185y轨迹。 是过点 Q（-1，0）的直线，M 是 C 上（不在 上）的动点；A、B 在 上，lll 轴（如图） 。,MAl MBx（）求曲线 C 的方程；（）求出直线 的方程，使得为常数。lQAQB2OQABMxy l（21） （本题 15 分）已知是实数，函数。a( )()f xx xa（）求函数的单调区间；( )f x（）设为在区间上的最小值。)(ag( )f x 2 , 0（i）写出的表达式；)(ag（ii）求的取值范围，使得。a2)(6ag（22） （本题 1

9、4 分）已知数列，记 na0na01a22 111()nnnaaanN nnaaaS21)1 ()1)(1 (1 )1)(1 (1 1121211nnaaaaaaT求证：当时， Nn（）；1nnaa（）；2 nSn（）。3nT2008 年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷数学（理科）参考答案数学（理科）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分分，满分 50 分分 1A 2D 3D 4A 5C 6C 7D 8B 9C 10B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题二、填空题：本题考查基本知

10、识和基本运算每小题 4 分，满分分，满分 28 分分11 12 13 14 151 1640 1711283 39 2一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。只有一项是符合题目要求的。（1）已知是实数，是纯虚数，则=( A )a1ai i a（A）1 （B）-1 （C） （D）-22解析：本小题主要考查复数的概念。由是纯虚数，()(1)11 1(1)(1)22aiaiiaaiiii则且故=1.102a10,2aa（2）已知 U=R，A=,B=,则 (

11、 D )0|xx1|xx uuAC BBC A （A） （B）|0x x （C） （D）|1x x |01x xx 或解析：本小题主要考查集合运算。uAC B |0x x uBC A |1x x uuAC BBC A|01x xx 或（3）已知，b 都是实数，那么“”是“b”的( D )a22ba a（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 解析：本小题主要考查充要条件相关知识。依题“ab”既不能推出 “ab” ；反之，由“ab”也不能推出“22ba ” 。故“22ba ”是“ab”的既不充分也不必要条件。（4）在的展开式中，含的项的系数是

12、( A )5)(4)(3)(2)(1(xxxxx4x（A）-15 （B）85 （C）-120 （D）274 解析：本小题主要考查二项式定理展开式具体项系数问题。本题可通过选括号（即 5 个括号中 4 个提供，其余 1 个提供常数）的思路来完成。故含4xx的项的系数为( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)15. （5）在同一平面直角坐标系中，函数的图象)20)(23 2cos(，xxy和直线的交点个数是( C )21y（A）0 （B）1 （C）2 （D）4 解析：本小题主要考查三角函数图像的性质问题。原函数可化为：)20)(23 2cos(，xxy=作出原函数图像，sin,0,2 .2xx截取

13、部分，其与直线21y的交点个数是 2 个.0,2 x（6）已知是等比数列，则=( C ) na41252aa，12231nna aa aa a（A）16（） （B）16（） n 41n 21（C）（） （D）（）332n 41332n 21解析：本小题主要考查等比数列通项的性质。由，解得33 52124aaqq1.2q 数列仍是等比数列:其首项是公比为所以,1nna a128,a a 1.412231181 ( ) 324(1 4)1314nn nna aa aa a （7）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为 3：2,12222 by ax则双曲线的离心率是( D )（A）3 （B）5

14、（C） （D）35解析：本小题主要考查双曲线的性质及离心率问题。依题不妨取双曲线的右准线，2axc则左焦点到右准线的距离为，左焦点到右准线的距离1F222aacccc1F为，依题即，2acc22ca c222222223,2ca cac caca c 225c a双曲线的离心率5.cea（8）若则=( B )cos2sin5, tan（A） （B）2 （C） （D）21 212解析：本小题主要考查三角函数的求值问题。由可知，cos2sin5 两边同时除以得平方得cos0,cos12tan5sec , 222(12tan)5sec5(1tan),解得或用观察法.2tan4tan40tan2.（9

15、）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,abc() ()0acbc则的最大值是( C )c（A）1 （B）2 （C） （D）222解析：本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题。| | 1,0,aba b 展开2() ()0|() | |cos ,acbcccabcab 则的最大值是;| |cos2cos ,cabc2或者利用数形结合, ，对应的点 A,B 在圆上,ab221xy对应的点 C 在圆上即可. c222xy（10）如图，AB 是平面的斜线段，A 为斜足，若点 P 在平面内运动，aa 使得ABP 的面积为定值，则动点 P 的轨迹是( B ) （A）圆 （B）椭圆

16、（C）一条直线 （D）两条平行直线 解析：本小题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题。考虑到三角形面积为定值，底边一定，从而 P 到直线AB 的距离为定值，若忽略平面的限制，则 P 轨迹类似为一以 AB 为轴心的圆柱面，加上后者平面的交集，轨迹为椭圆！还可以采取排除法，直线是不可能的，在无穷远处，点到直线的距离为无穷大，故面积也为无穷大，从而排除 C 与 D,又题目在斜线段下标注重点符号，从而改成垂 直来处理，轨迹则为圆，故剩下椭圆为答案！二填空题：本大题共二填空题：本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分。分。（11）已知0，若平面内三点 A（1，-） ，B（2，

17、） ，C（3，）共线，则=_aa2a3aa_12解析：本小题主要考查三点共线问题。2(1,),ABaa 32(1,),BCaa (舍负).2322210,aaaaaa 12a （12）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于 A、B 两点21FF、192522 yx1F若，则=_8_。1222BFAFAB解析：本小题主要考查椭圆的第一定义的应用。依题直线过椭圆的左焦点,在AB1FABCD中，又，2F AB22| 420F AF BABa22| 12F AF B| 8.AB （13）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为、b、c ，若a，则_。CaAcbcoscos3Acos3 3解析：本小

18、题主要考查三角形中正弦定理的应用。依题由正弦定理得：,即,( 3sinsin) cossincosBCAAC3sincossin()sinBAACB3cos.3A （14）如图，已知球 O 点面上四点 A、B、C、D，DA平面 ABC，ABBC，DA=AB=BC=，3则球 O 点体积等于_。9 2 解析：本小题主要考查球的内接几何体体积计算问题。其关键是找出 球心，从而确定球的半径。由题意，三角形 DAC,三角形 DBC 都 是直角三角形，且有公共斜边。所以 DC 边的中点就是球心（到 D、A、C、B 四点距离相等） ，所以球的半径就是线段 DC 长度的一半。（15）已知 t 为常数，函数在区

19、间0，3上的最大值为 2，则 t=_1_22yxxt解析：本小题主要考查二次函数问题。对称轴为下方图像翻到轴上方.由区间0，3上1,x x的最大值为 2，知解得检验时, max(3)32,yft15,t 或5t 不符,而时满足题意.(0)52f1t （16）用 1，2，3，4，5，6 组成六位数（没有重复数字） ，要求任何相邻两个数字的奇偶 性不同，且 1 和 2 相邻，这样的六位数的个数是_40 _（用数字作答)。解析：本小题主要考查排列组合知识。依题先排除 1 和 2 的剩余 4 个元素有22 2228AA种方案，再向这排好的 4 个元素中插入 1 和 2 捆绑的整体，有种插法，1 5A不

20、同的安排方案共有种。221 225240AAA（17）若，且当时，恒有，则以,b0, 0ba 1, 0, 0yxyx 1byaxa为坐标点 P（，b）所形成的平面区域的面积等于_1_。aABCDEF解析：本小题主要考查线性规划的相关知识。由恒成立知，当时，1axby0x 恒成立，；同理，以a,b 为坐标点( , )P a b 1by 01b01a所形成的平面区域是一个正方形，所以面积为 1. 三解答题：本大题共三解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （18） （本题 14 分）如图,矩形 ABCD

21、 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直，BE/CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。903（）求证：AE/平面 DCF；（）当 AB 的长为何值时,二面角 A-EF-C 的大小为？60 18本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等 基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力 方法一：（）证明：过点作交于，连结，EEGCFCFGDG 可得四边形为矩形，又为矩形，BCGEABCD所以，从而四边形为平行四边形，ADEGADGE故因为平面，平面，AEDGAE DCFDG DCF 所以平面AEDCF

22、（）解：过点作交的延长线于，连结BBHEFFEHAH由平面平面，得平面，ABCD BEFCABBCAB BEFC 从而所以为二面角的平面角AHEFAHBAEFC在中，因为，所以，RtEFG3EGAD2EF 60CFE1FG 又因为，所以，CEEF4CF 从而3BECG于是3 3sin2BHBEBEHA因为，tanABBHAHBA所以当为时，二面角的大小为AB9 2AEFC60方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，CCBCF，CDxyz建立空间直角坐标系设，CxyzABaBEbCFc，则，(0 0 0)C，( 3 0)Aa，( 3 0 0)B，( 30)Eb，(00)Fc，（）证

23、明：，(0)AEba ，( 3 0 0)CB ，(00)BEb ，所以，从而，0CB CE A0CB BE ACBAECBBE所以平面因为平面，所以平面平面CB ABECB DCFABEDCFDABEFCHGD ABEFCyzx故平面AEDCF（）解：因为，(30)EFcb ，( 30)CEb ，所以，从而0EF CE A| 2EF 解得所以，23()03()2b cbcb ，34bc，( 33 0)E，(0 4 0)F，设与平面垂直，则，(1)nyz ，AEF0n AE A0n EF A解得又因为平面，3 3(13)na ，BA BEFC(0 0)BAa ，所以，得到 2|3 31|cos|

24、2| |427BA nan BABAnaa A A，9 2a 所以当为时，二面角的大小为AB9 2AEFC60（19） （本题 14 分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出 1 个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率52是。97（）若袋中共有 10 个球， （i）求白球的个数；（ii）从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为,求随机变量的数学期望。E（）求证：从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个黑球的概率不大于。并指出袋107中哪种颜色的球个数最少。 本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和

25、数学期望本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望 等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力满分等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力满分 14 分分 （）解：（i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件 A，设袋中白球的个数为，则，x2 10 2 107( )19xCP AC 得到故白球有 5 个5x （ii）随机变量的取值为 0，1，2，3，分布列是0123P1 125 125 121 12的数学期望155130123121212122E （）证明：设袋中有个球，其中个黑球，由题意得，ny2 5yn

26、所以，故2yn21yn1 12y n记“从袋中任意摸出两个球，至少有 1 个黑球”为事件 B，则23( )551yP Bn2317 55210所以白球的个数比黑球多，白球个数多于，红球的个数少于2 5n5n故袋中红球个数最少（20） （本题 15 分）已知曲线 C 是到点 P（）和到直线距离相等的点的轨83,2185y迹。是过点 Q（-1，0）的直线，M 是 C 上（不在上）的动点；A、B 在上，轴（如图） 。xMBMA , （）求曲线 C 的方程；（）求出直线的方程，使得为常数。QAQB2本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本本题主要考查求曲线的轨迹方

27、程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本 思想方法和综合解题能力满分思想方法和综合解题能力满分 15 分分（）解：设为上的点，则，()N xy，C2213|28NPxy到直线的距离为由题设得N5 8y 5 8y22135 288xyy化简，得曲线的方程为C21()2yxx（）解法一：OQABMxy l设，直线，则22xxMx ，: l ykxk，从而()B xkxk，2|1|1|QBkx在中，因为RtQMA，2 22|(1)14xQMx2 22 2(1)2|1xxk MAk所以 .2 2222 2(1)|(2)4(1)xQAQMMAkxk， 2|1| |2| 2 1xkxQA k

28、A222|2(1) 11 2|QBkkx QAkxk A当时，从而所求直线 方程为2k 2|5 5|QB QAl220xy解法二：设，直线，则，从而22xxMx ，: l ykxk()B xkxk，过垂直于 的直线2|1|1|QBkxQ( 10) ，l11:(1)lyxk 因为，所以，| |QAMH 2|1| |2| 2 1xkxQA k A222|2(1) 11 2|QBkkx QAkxk A当时，2k 2|5 5|QB QA从而所求直线 方程为l220xyABOQyxlMABOQyxlMHl1（21） （本题 15 分）已知是实数，函数。a)()(axxx（）求函数的单调区间；)(x（）设

29、为在区间上的最小值。)(ag)(x 2 , 0（i）写出的表达式；)(ag（ii）求的取值范围，使得。a2)(6ag 21本题主要考查函数的性质、求导、导数的应用等基础知识，同时考查分类讨论思想本题主要考查函数的性质、求导、导数的应用等基础知识，同时考查分类讨论思想 以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力满分以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力满分 15 分分（）解：函数的定义域为，（） 0)，3( )22xaxafxxxx0x 若，则，有单调递增区间0a( )0fx( )f x0)，若，令，得，当时，0a ( )0fx3ax 03ax( )0fx当时，有单调递减区间，单调递增区

30、间3ax ( )0fx( )f x03a ，3a，（）解：（i）若，在上单调递增，所以0a( )f x0 2，( )(0)0g af若，在上单调递减，在上单调递增，06a( )f x03a ，23a，所以若，在上单调递减，2( )333aaag af 6a( )f x0 2，所以( )(2)2(2)g afa综上所述， 002( )06332(2)6aaag aaaa ，（ii）令若，无解若，解得6( )2g a0a06a36a 若，解得故的取值范围为6a623 2aa323 2a（22） （本题 14 分）已知数列， na，记0na01a)(12 12 1 NnaaannnnnaaaS21)

31、1 ()1)(1 (1 )1)(1 (1 1121211nnaaaaaaT求证：当时， Nn （）；1nnaa（）；2 nSn（）。3nT22本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能， 同时考查逻辑推理能力满分 14 分 （）证明：用数学归纳法证明当时，因为是方程的正根，所以1n 2a210xx 12aa假设当时，*()nk kN1kkaa因为22 1kkaa22 2211(1)(1)kkkkaaaa，2121()(1)kkkkaaaa所以12kkaa即当时，也成立1nk1nnaa根据和，可知对任何都成立1nnaa*nN（）证明：由，（） ，22 111kkkaaa 121kn，2n得22 231()(1)nnaaaana因为，所以10a 21nnSna 由及得，1nnaa22 11121nnnaaa 1na 所以2nSn（）证明：由，得22 1112kkkkaaaa 111(2 313)12kkkaknnaa，所以，2 3421(3)(1)(1)(1)2n n naaaaaa于是，2222 232211(3)(1)(1)(1)2()22nn nnn naanaaaaa故当时，3n2111 1322nnT 又因为，123TTT所以3nT