近世代数杨子胥最新版题解_答复习过程.pdf

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1、 近世代数杨子胥最新版题解_答 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 近世代数 第一章 基本概念 1.1 1.4.5.近世代数题解 1.2 2.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 3.近世代数题解 1.3 1.解 1)与 3)是代数运算，2)不是代数运算 2.解 这实际上就是 M中 n 个元素可重复的全排列数 nn 3.解 例如 ABE与 ABABAB 4.5.近世代数题解 1.4 1.2.3.解 1）略 2）例如规定 4 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 5略 近世代数题解 1.5 1.解 1)是自同态映射，但非满射和单射；2)是双射，但不是自同构映射 3

2、)是自同态映射，但非满射和单射4)是双射，但非自同构映射 2.略 3.4.5.1.6 1.2.解 1)不是因为不满足对称性；2)不是因为不满足传递性；3)是等价关系；4)是等价关系 3.解 3)每个元素是一个类，4)整个实数集作成一个类 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 4.则易知此关系不满足反身性，但是却满足对称性和传递性(若把 Q换成实数域的任一子域均可；实际上这个例子只有数 0和 0 符合关系，此外任何二有理数都不符合关系)5.6.证 1）略 2）7.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 8.9.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 10.11.精品文档

3、 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 12.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 第二章 群 2.1 群的定义和初步性质 一、主要内容 1群和半群的定义和例子特别是一船线性群、n 次单位根群和四元数群等例子 2群的初步性质 1)群中左单位元也是右单位元且惟一；2)群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一：3)半群 G是群方程 a x=b 与 y a=b 在 G中有解(a,bG)4)有限半群作成群两个消去律成立 二、释疑解难 有资料指出，群有 50多种不同的定义方法但最常用的有以下四种：1)教材中的定义方法简称为“左左定义法”；2)把左单位元换成有单位元，把左逆元换成右逆元(其余不动简称

4、为“右右定义法”；3)不分左右，把单位元和逆元都规定成双边的，此简称为“双边定义法”；4)半群 G再加上方程 a x=b 与 y a=b 在 G 中有解(a,bG)此简称为“方程定义法”“左左定义法”与“右右定义法”无甚差异，不再多说“双边定义法”缺点是定义中条件不完全独立，而且在验算一个群的实例时必须验证单位元和逆元都是双边的，多了一层手续(虽然这层手续一般是比较容易的)；优点是：不用再去证明左单位元也是右单位元，左逆元也是右逆元；从群定义本身的条件直接体现了左与右的对称性 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 以施行“除法运算”，即“乘法”的逆运算因此，群的方程定义法”直接体现了

5、在群中可以施行“乘法与除法”运算于是简言之，可以施行乘法与除法运算的半群就是群 为了开阔视野，再给出以下群的另一定义 定义 一个半群 G如果满足以下条件则称为一个群：对 G中任意元素 a，在 G中都存在元素1a，对 G中任意元素 b 都有 1a(ab)=(ba)1a=b 这个定义与前面 4 种定义的等价性留给读者作为练习 2在群的“方程定义法”中，要求方程 a x=b 与 y a=b都有解缺一不可即其中一个方程有解并不能保证另一个方程也有解 4关于结合律 若代数运算不是普通的运算(例如，数的普通加法与乘法，多项式的普通加法与乘法以及矩阵、变换和线性变换的普通加法或乘法)，则在一般情况下，验算结

6、合律是否成立比较麻精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 烦因此在代数系统有限的情况下，有不少根据乘法表来研究检验结合律是否成立的方法但无论哪种方法，一般都不是太简单 5关于消去律 根据教材推论 2，对有限半群是否作成群只用看消去律是否成立而消去律是否成立，从乘法表很容易看出，因为只要乘法表中每行和每列中的元素互异即可 6在群定义中是否可要求有“左”单位元而每个元素有“右”逆元呢？答 不可以，例如上面例 2 就可以说明这个问题，因为 e1是左单位元，而 e1与 e2都有右逆元且均为 e1但 G并不是群 7群与对称的关系 1)世界万物，形态各异但其中有无数大量事物部具有这样或那样的对称性

7、而在这些具有对称性的万事万物中，左右对称又是最为常见的 由群的定义本身可知，从代数运算到结合律，特别是左、右单位元和左、右逆元，均体现出左右对称的本质属性 2)几何对称 设有某一几何图形，如果我们已经找到了它的全部对称变换(即平常的反射、旋转、反演和平移变换的统称)，则此对称变换的全体关于变换的乘法作成一个群，称为该图形的完全对称群这个图形的对称性和它的完全对称群是密切相关的凡对称图形(即经过对称变换保持不变的图形、亦即完成这种变换前后的图形重合)，总存在若干个非恒等对称变换和恒等变换一起构成该图形的完全对称群反之，如果一个图形存在着非平凡的对称变换，则该图形就是对称图形不是对称的图形，就不能

8、有非恒等的对称变换显然，一个图形的对称程度越高，则该图形的对称变换就越多也就是说它的完全对称群的阶数就越高，即图形对称程度的高低与其对称群的阶数密切相关因此；这就启发人们用群去刽面对称图形及其性质，用群的理论去研究对称所以人们就把群论说成是研究对称的数学理论 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 显然，每个 n 元多项式都有一个确定的 n 次置换群：例如 n 元多项式 例 6 任何 n 元对称多项式的置换群都是 n 次对称群 很显然，一个多元多项式的置换群的阶数越高，这个多元多项式的对称性越强反之亦然因此，我们通常所熟知的多元对称多项式是对称性最强的多项式 三、习题 21 解答 1.

9、略 2.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 3.4.5.6.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 2.2 群中元素的阶 一、主要内容 1群中元素的阶的定义及例子周期群、无扭群与混合群的定义及例子特别，有限群必为周期群，但反之不成立 2在群中若an，则 4若 G是交换群，又 G 中元素有最大阶 m，则 G中每个元素的阶都是 m的因子 二、释疑解难 在群中，由元素 a 与 b 的阶一般决定不了乘积 ab 的阶，这由教材中所举的各种例子已经说明了这一点对此应十分注意但是，在一定条件下可以由阶a与b决定阶ab，这就是教材中朗定理 4：精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

10、 4一个群中是否有最大阶元?有限群中元素的阶均有限，当然有最大阶元无限群中若元素的阶有无限的(如正有理数乘群或整数加群)，则当然无最大阶元，若无限群中所有元素的阶均有限(即无限周期群)，则可能无最大阶元，如教材中的例 4：下面再举两个(一个可换，另一个不可换)无限群有最大阶元的例子 5利用元素的阶对群进行分类，是研究群的重要方法之一例如，利用元素的阶我们可以把群分成三类，即周期群、无扭群与混合群而在周期群中又可分出p群 p是素数)，从而有 2群、3群、5群等等再由教材3.9知，每个有限交换群(一种特殊的周期群)都可惟一地分解为素幂阶循环 p群的直积，从而也可见研究 p群的重要意义 三、习题 2

11、2 解答 1.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 2.3.4.5.推回去即得 6.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 2.3 子 群 一、主要内容 1子群的定义和例子特别是，特殊线性群(行列式等于 l 的方阵)是一般线性群(行列式不等于零的方阵)的子群 4群的中心元和中心的定义 二、释疑解难 关于真子群的定义 教材把非平凡的子群叫做真子群也有的书把非 G的于群叫做群 G 的真子群不同的定义在讨论子群时各有利弊好在差异不大，看参考书时应予留意 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 2如果 H与 G是两个群，且 HG，那么能不能说 H就是 G的子群?答：不能因为子

12、群必须是对原群的代数运算作成的群例如，设G是有理数加群，而 H是正有理数乘群，二者都是群，且HG但是不能说 H是 G的子群 答：不能这样认为举例如下 例2 设 G是四元数群则显然 是 G的两个子群且易知 反之亦然 三、习题 23 解答 1证 赂 2证 必要性显然，下证充分性 设子集 H对群 G的乘法封闭，则对 H中任意元素 a和任意正整数 m都有 amH 由于 H中每个元素的阶都有限，设an，则 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 3 对非交换群一放不成立例如，有理数域 Q上全体 2 阶可逆方阵作成的乘群中，易知 1021a，1031b 的阶有限，都是 2，但易知其乘积 1011a

13、b 的阶却无限即其全体有限阶元素对乘法不封闭，故不能作成子群 4证 由高等代数知，与所有 n阶可逆方阵可换的方阵为全体纯量方阵，由此即得证 5证 因为(m，n)1，故存在整数 s，t 使 ms 十 n t1 由此可得 6 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 7 2.4 循 环 群 一、主要内容 1生成系和循环群的定义 2循环群中元素的表示方法和生成元的状况 3循环群在同构意义下只有两类：整数加群和 n次单位根乘群，其中 n1，2，3，4循环群的子群的状况 无限循环群有无限多个子群n 阶循环群a有 T(n)(n 的正出数个数)个子群，且对 n的每个正因数 k，a有且仅有一个 k阶子群

14、kna 二、释疑解难 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 1我们说循环群是一类完全弄清楚了的群，主要是指以下三个方面：1)循环群的元素表示形式和运算方法完全确定其生成元的状况也完全清楚(无限循环群有两个生成元，n 阶循环群a有)(n个生成元而且 ak是生成元(kn)1)；2)循环群的子群的状况完全清楚；3)在同构意义下循环群只有两类：一类是无限循环群，都与整数加群同构；另一类是 n(n1，2，)阶循环群，都与 n 次单位根乘群同构 2循环群不仅是一类完全弄清楚了的群，而且是一类比较简单又与其他一些群类有广泛联系的群类例如由下一章9 可知，有限交换群可分解为一些素幂阶循环群的直积更一

15、般地，任何一个具有有限生成系的交换群都可分解成循环群的直积由于循环群已完全在我们掌握之中，所以这种群(具有有限生成系的交换群)也是一类研究清楚了的群类它在各种应用中有着非常重要的作用例如在组合拓扑学中它就是一个主要的工具 三、习题2.4 解答 1.2.3.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 4.5.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 6.7.2.5 变 换 群 一、主要内容 1变换群、双射变换群(特别是集合 M上的对称群和 n次对称群)和非双射变换群的定义及例子 2变换群是双射变换群的充要条件；双射变换群与抽象群的关系 1)集合 M上的变换群 G是双射变换群G含有 M的

16、单或满)射变换；2)任何一个群都同一个(双射)变换群同构 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 3有限集及无限集上非双射变换群的例子(例 2 和例 3)二、释疑解难 1一般近世代数书中所说的“变换群”，都是由双射变换(关于变换乘法)所作成的群，即本教材所说的“双射变换群”而本教材所说的“变换群”则是由一个集合上的一些变换(不一定是双射变换)作成的群通过教材5 定理 2和推论 1 可知，实际上变换群可分成两类：一类是双射变换群(全由双射变换作成的群，即通常近世代数书中所说的“变换群”)，另一类是非双射变换群(全由非双射变换作成的群)在学习本书时应留意这种差异 2本节教材定理 2(若集合

17、 M上的变换群 G 含有 M的单射或满射变换则 G必为 M上的一个双射变换群，即G中的变换必全是双射变换)比有些书上相应的定理(若集合 M上由变换作成的群 G含有 M的恒等变换，则 G中的变换必全为双射变换)大为推广因为后者要求 G包含恒等变换(一个特殊的双射变换)，而前者仅要求 G包含一个单(或满)射变换即可因此，后音只是前者(本节教材定理 2)的一个推论，一种很特殊的情况两相比较，差异较大 这种差异也说明，M上的任何一个非双射变换群不仅不能包含恒等变换，而且连M的任何单射或满射变换也不能包含 另外，在这里顺便指出，集合M上的任何双射变换群G的单位元必是 M的恒等变换 3集合 M上的全体变换

18、作成的集合T(M)，对于变换的乘法作成一个有单位元的半群在半群的讨论中，这是一类重要的半群并且本节习题中第4题还指出，当M1 时 T(M)只能作成半群，而不能作成群 三、习题2.5解答 1.解 作成有单位元半群，是单位元但不作成群，因为无逆元 2.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 3.解 G作成群：因为易知 4月 15 号 4.5.2.6 置 换 群 一、主要内容 1任何(非循环)置换都可表为不相连循环之积，任何置换都可表为若干个对换之积，且对换个数的奇阴偶性不变从而有奇、偶置换的概念，且全体 n次置换中奇、偶置换个数相等，各为2!n个(n1)2k循环的奇偶性、阶和逆元的确定方法

19、，以及不相连循环乘积的奇偶性、阶和逆元的确定方法 1)k循环与 A有相反奇偶性 2)k循环的阶为 k又(i1，i2ik)1(ik，i2，i1)3)若分解为不相连循环之积则其分解中奇循环个数为奇时为奇置换，否则为偶置换的阶为各因子的阶的最小公倍其逆元可由 k循环的逆元来确定 3由置换，求置换的方法n 次对称群 sn的中心 4传递群的定义、例子和简单性质 二、释疑解难 1研究置换群的重要意义和作用 除了教材中已经指出的(置换群是最早研究的一类群，而且每个有限的抽象群都同一个置换群同构)以外，研究置换群的重要意义和作用至少还有以下几方面：1)置换群是一种具体的群，从置换乘法到判断置换的奇偶性以及求置

20、换的阶和逆置换，都很具体和简单同时它也是元素不是数的一种非交换群在群的讨论中举例时也经常用到这种群 2)在置换群的研究中，有一些特殊的研究对象是别的群所没有的如置换中的不动点理论以及传递性和本原性理论等等 3)置换群中有一些特殊的子群也是一般抽象群所没有的例如，交代群、传递群、稳定子群和本原群等等就教材所讲过的交代群和传递群的重要性便可以知道，介绍置换群是多么的重要 2用循环与对换之积来表出置换的优越性 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 首先，书写大为简化，便于运算。另外还便于求置换的阶，判断置换的奇偶性和求逆置换因为我们知道：k循环的阶是 k；不相连循环之积的阶为各循环的阶的最

21、小公倍；k循环的奇偶性与 k一1的奇侣性相同；又 k循环(i1，i2ik)的逆元为(i1，i2ik)1(ik，i2，i1)3.由教材本节例 3 可直接得出以下结论:n次置换群 G若包含有奇置换,则G是一个偶数 另外，由于偶置换之积仍为偶置换，故任何 n 次置换群 G中的全体偶置换作成 G 的一个子群 5在一般群中判断二元素是否共扼(参考第三章6)并不容易，但是，在对称群 sn中二置换是否共扼却容易判断，即二者有相同的循环结构(参考习题 39 第 30 题)其证明要用到本节的定理 5，这也是该定理的一个重要应用 6法国数学家马蒂厄于 1861 年和 1873 年曾发现四个 4重传递群，分别用 M

22、11，M12，M23，M24表示，后人称为马蒂厄群这四个群的阶数都很大，它们的阶数分别是：三、习题26解答 1.略 2.3.略 4.略 5.6.证 因为 H有限，故要证 Hs4只用验算 H对置换乘法封闭即可 7.解 令(123456)则 G 的全部 6个置换是：精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 27 陪集、指数和 Lagrange定理 一、主要内容 1左、右陪集定义和简单性质 1)左陪集的五个基本性质：1)一 5)；2)全体左陪集与全体右陪集之间可建立双射；3)群 G关于子群 H的左陪集分解式：4有限子群乘积的阶同子群的阶的关系 没 H，K 是群 G的两有限于群，则 二、释题解难

23、 1一般来说，两个陪集的乘积不再是一个陪集例如，对三次对称群 S3的子群 H=(1)，(12)来说，(1)H与(13)H是两个左陪集，但其乘积 (1)H(13)H(13)，(23)，(123)，(132)不再是左陪集 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 三、习题27解答 1证 利用 Lagrange定理即得 2略 3.4.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 5.6.易知 S3的以下六个子集：H1(1),H2(1),(12),H3(1),(13),H4(1),(23),H5(1),(123),(132),H6S3都是 S3的子群 下证 S3仅有这六个子群 设 H为 S3的

24、任一非平凡子群,则由于H是3S6 的因数,故只能H2,3 当H2 时，H只能是 H2,H3,H4 当H3 时，H中元素的阶必为3 的因数，即只能是1 或 3因此，此时 H中除单位元外，另两个元素必定都是3 阶元但 S3中的三阶元 有且仅有两个，即(123)和(132)，因此，此时只能 HH5 综上所述可知，S3有且仅有这六个子群 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 7.8.9.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 10.11.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 12.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 13.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理

25、员删除 14.证 若 G是有限群，则 G的子集个数是有限的，从而其子群个数当然也是有限的 反之，若群 G只有有限个子群，则 G中显然不能有无限阶元素，因为无限循环群有无限个子群这样，G中每个元素的阶都有限任取 a1G，则1a是 G的一个有限于群；再取 a2G一1a，于是2a是 G的一个异于1a的有限于群再取 a3G一1aU2a，同理3a又是 G的一个异于1a，2a的有限子群但 G只有有限个子群，故这种过程不能无限地持续下去，从而必存在 s 使 16.17.18.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 19.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 20.21.精品文档 收集于网络

26、，如有侵权请联系管理员删除 22.证 反证法设 A4有 6 阶子群 H，则 H除恒等置换(1)外，23.24.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 25.26.第三章 正规子群和群的同态与同构 31 群同态与同构的简单性质 一、主要内容 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 二、释疑解难 1对于群同态映射有时不必要求是满射，有时又必须要求是满射例如教材本节定理 1中的同态映射必须是满射，而定理 2和定理 3 的同态映射则不要求是满射原因很简单：因为定理 1中的同态映射若不是满射，则G中必有元素没有逆象，从而以及群 G中元素的性质对它们不会产生任何影陶，此时G当然就不一定作成

27、群；然而定理 2 和定理 3 的情形可就不同了：因为这时G也是群，而且在同态映射(不一定是满射)之下单位元必有逆象，而于群必合单位元，从而G的于群H必有逆象，不会是空集 例 1 设 G加 F零有理数乘群，G为全体有理数对乘法作成的幺半群则 显然为 G到G的一个同态映射(不是满射)虽然 G是群，但G对不仅不是群，连半群也不是(因为其代数运算不满足结合律)2关于教材例 3，若利用第三章6 定理 3(若Gpn则群 G有 p阶元)的结论，则其证明可大为简化现在本节是利用前面已学过的知识来证明，这也是 Lagrange定理和已知结论 的一种应用这样做虽然梢麻烦一点，但也很有意义 三、习题31解答 1 精

28、品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 2.3.4.5.证 因为G4，G又不是循环群，从而 G无 4阶元于是由 Lagrange 定理知，G中除单位元 e外每个元素的阶均为 2因此，若令 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 6.32正规于群和商群 一、主要内容 1正规子群定义、性质和例子性质主要有 2)正规子群在同态满射下的象和逆象均仍为正规于群 3)正规子群与子群之积是子群；正规子群与正规子群之积是正规子群 2商群定义及商群的一个应用(Cauchy定理 pn阶交换群必有 p阶子群，其中 p为素数)3介绍由正规子群来界定的两类群：哈密顿群和单群这是两类在群论研究中占很重要地位

29、的群 二、释疑解难 1教材在本节所举的例子中，应该十分注意S4、及 Sn(n4)的正规子群的状况因为这涉及S2，S3及 S4都是可解群(参考本节习题第 8 题)，而当 n5时 Sn不是可解群这种名称来源于一般的二、四次代数方程都有求根公式，即可根式解，但一般的五次和五次以上助代数方程都没有求根公式，即不可根式解 这是在教材中已经证明了的对此也可以采取以下证法：精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 这种证法是最原始的一种证法，当然不如教材中的证法简单其所以简单，是由于利用了子集乘法的性质(AB)CA(BC)以及 NbbN 和 N2N 3在本教材中，共有三个定理(本节定理 5、6 定理

30、3及8定理 1)涉及 pn(p 是素数)阶群G必有 p阶子群从表面上看，这三个定理似有重复之感实际上三者互相联系紧密，而且其中任何一个都不能由另一个所代替这是因为，本节定理5是假设 G为交换群，6 定理 3 并不假设 G为交换群，但在证明中要用到本节定理 5；又8定理 1(即第一 sylow 定理)又要用到6定理 3因此，三者密不可分，而且哪一个也不是多余的对此，示意如下：4李型单群是李代数中谢瓦菜单群和单扭群的统称，它们是一些由矩阵作成的群 三、习题32解答 1略 2.3.4.5.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 6.7.8.33 群同态基本定理 一、主要内容 1在同构意义下，

31、每个群能而且只能与其商群同态即指以 下两点：2在同态映射下，循环群的同态象是循环群 3若 GG，则群 G的所有包含核的子群同已的G有于群间有一个保持包含关系的双射 二、释疑解难 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 三、习题33解答 1.2.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 3.4.5.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 这与(1)矛盾故 Q+与 Q不同构 34 群的同构定理 一、主要内容 1本节主要介绍了群的三个同构定理它们是：2借助同构定理，作为例子证明了以下两个结论；二、释疑解难 1第一同构定理还有另一证法，见本节习题第 4 题，此外还应注意第一同构定

32、理中的两个条件：精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 这是无关紧要的，因为同构关系具有对称性 3第同构定理说明商群中子群的特征简言之，商群中的子群仍为一种商群；且商群之商群可类似于普通分数那样cacbab/进行约分 三、习题34解答 1.2.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 3.4.5.6.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 35 群的自同构群 一、主要内容 1群酌自同构群、内自同构群以及特征子群和全特征子群的定义和例子 1)群 G的全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为 G的自同构群记为 AtuG 2)群 G的全体内自同构 精品文档 收集于网络，如有侵权

33、请联系管理员删除 二、释疑解难 1教材中曾经指出，要从已知群定出其白同构群，一船而言，是非常困难的，这由教材中所举出的例子即可说明这一点但是，对有些群却可定出其自同构群伪一些性质，就本教材而言，主要有：1)定理 2指出，从循环群可定出其自同构群的阶 2)从教材本节例 1 和上节例 2 知；Aut R 主 5：宣 5JKi“从而 Nein 四元群 K4的自同构群是非常清楚的，它是一个 6 阶非交换群，而且其元素的阶以及子群和正规子群的状况都很清楚 3)本节习题第 6 题指出，无中心群的自同构群仍是一个无中心群，从而由教材第二章6 定理6可知当 n3时，Sn的自同构群是一个无中心群 2群 G中元素

34、 a 与 b 确定同一个内自同构(ab)的无要条件是：aCbC (a，bC)即 a与 b在同一个(关于 C 的)陪集中因此，有多少个关于C 的陪集就有多少个G的内自同构，即InnG(GC)。其实这一点也是同构 InnGGC 的直接结果，即 3群 G的自同构群显然是 G上对称群 S(G)(G的全体双射变换关于变换乘法作成的群)的一个子群，即 进一步，由于群的每个自同构部保持单位元 e 不变，因此实际上更有 4由于 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 全特征子群特征子群正规子群,故特征子群是一类特殊的正规于群，而全特征子群又是一类特殊的特征子群 我们知道，正规子群是不可传递的，即正规子

35、群的正规子群不一定是原群的正规子群但是，对于特征子群和全待征子群来说，却是可以传递的即若 G1是群 G2的(全)持征子群，又G2是群 G3的(全)持征子群，则 G1必是 G3 的(全)特征子群这个证明并不难，留给读者作为练习 三、习题35解答 1.2.3.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 4.证 因为中心，而 G是非交换单群，故只有 Ce从而由定理 4知：Inn GGCG 因此，GInnG 5.6.36 共轭关系与正规化子 一、主要内容 1群中子集的共轭(特别是元素的共轭、子群的共轭)定义，和由此得到的共轭子集类(特别是共轭元素类和共轭子群类)以及群的类等式等概念 2正规化子 N

36、(S)与中心化于 C(S)的定义和性质有：3正规化子的作用(刻画一个共轭类中成员的个数)和一个应用(cauchy定理：pn 阶群有 p 阶于群)二、释疑解难 1二元素是否共轭同此二元素所在的群的范围有关就是说，设 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 a，bHG，则若 a与 b在 H中共轭，当然在 G中一定共轭；但是，当 a与 b 在 G 中共轭时则在 H中不一定共轭 2群的类等式有很多应用，教材中本节定理 3(cauchy定理)的证明就是一个例子下面再举一例，例 2 证明：交代群 A4没有 6阶子群 证 反证法设 A4有 6 阶于群 H，则(A4H)2从而 H是 A4的正规子群但是

37、，H是 A4的正规子群H 是 A4的若干个共轭类的并(一般也成立，读者自证)而 A4的类等式为 4A1 十 3 十 4 十 4，由于 4个数 1，3，4，4 中任几个的和也不会是 6，矛盾因此 A4无 6阶子群 4对任二共轭的有限于群来说，由于二者包含的元素个数相等，当然不可能其中一个是另一个的真子群但对无限子群来说，这种情况却可能发生 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 三、习题36 解答 1.略 2.略 3.4.5.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 6.37 群的直积 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

38、精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 Sylow定理 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 有限交换群 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删

39、除 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 8.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 10.11.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 13.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 16.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 17.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 19.20.21.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 25.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 27.精品

40、文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 28.30.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 第四章 环与域 1 环的定义 一、主要内容 1环与子环的定义和例子。在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集 M的幂集环 2环中元素的运算规则和环的非空子集 S 作成子环的充要条件：精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 二、释疑解难 1设 R是一个关于 代数运算十，作成的环应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的所以有时把这个环记为(R，十，)(或者就直接说“R对十，作成一个环”)但不能记为 R

41、，十)因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同我们知道，环的代数运算符号只是一种记号如果集合只有二代数运算记为，又 R对 作成一个交换群，对满足结合律且对满足左、右分配律，即 就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序 2设 R对二代数运算十，作成一个环那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又 R对“”作成一个半群，这个乍群记为(R，)再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十)精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 三、习题 41 解答 1 2 3 4 5 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 6 7

42、8证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 42 环的零因子和特征 一、主要内容 环的左、右零因子和特征的定义与例子 2若环 R无零因子且阶大于 1，则 R中所有非零元素对加法有相同的阶而且这个相同的阶不是无限就是一个素数 这就是说，阶大于 l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶 3整环(无零因子的交换环)的定义和例子 二、释疑解难 由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则 R也必然有右零因子反之亦然 但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子例如，教材例 l

43、 中的元素0001就是一个例子反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子例如，设置为由一切方阵),(00Qyxyx 对方阵普通加法与乘法作成的环则易知0001是 R的一个右零因子，但它却不是 R的左零因子 2.关于零因子的定义 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环中的零元也算作零因子本教材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作零因子但把非牢的零因子称做真零因子这种不算太大的差异，读者看参考书时请留意 3关于整环的定义 整环的定义在不同的书中也常有差异大致有以下 4 种定义方法：定义 1 无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定

44、义方法)定义 2 阶大于 l 且无零因子的交换环，称为整环 定义 3 有单位元且无零因子的交换环，称为整环 定义 4 阶大于 1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环 以上 4 种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于 1不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好这种情况也许到某个时期会得到统一但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异 本教材采用定义 1 的方法也有很多原因，现举一例。本章8定理 1：设 P是交换环 R的一个理想则 P是 R的素理想RP 是整环 这样看起来本定理表述显得干净利索但若整环按定义 2(或定义 3、4)要求，那么以上

45、定理表述就需变动究竟要怎样变动，作为练习请读者自己给出 。三、习题 42 解答 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 设 R是一个无零因子的环证明：若R偶数，则 R的特征必为 2 证明：P环无非零幂零元 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 4.3 除环和域 一、主要内容 1除环和域的定义及例子四元数除环 2有限环若有非零元素不是零因子，则必有单位元，且每个非零又非零因子的元素都是可逆元 3有单位元环的乘群(单位群)的定义和例子 有单位元的环的全体可逆元作成的群，称为该环的乘群或

46、单位群 除环或域的乘群为其全体非零元作成的群；整数环 Z 的乘群为 Z，；数域上 n阶全阵环的乘群为全体 n 阶可逆方阵对乘法作成的群；Gaus s 整环的乘群为 U(Zi)，ii，二、释疑解难 1阶大于 l 的有限环可分为两类：”1)一类是有零因子的有限环例如，有限集 M(M1)上的幂集环 P(M)，不仅是个有零因子的有限环，而且除单位元M外其余每个非零元素都是零因子；后面所讲的以合数n 为模的剩余类环 Zn 也是一个有零因子的有限环 2)另一类就是无零因子的有限环实际上根据本节推论和魏得邦定理可知，这种有限环就是有限域例如，以素数 p为模的剩余类环 Zp以及教材第六章所介绍的伽罗瓦域都属于

47、这种倩形 这就是说，阶大子 1 的有限环或者有零因子或者无零因子，从而为域 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 与群定义中要求两个方程 axb与 yab都有解不同,这里仅要求方程 axb 或 y ab(0a,bR)中有一个在 R中有解即可教材中利用方程 axb有解得到 R的全体非零元有右单位元且每个非零元素都有右逆元，从而得到 R是除环 如果利用方程 yab在 R中有解，则将得到 R 的全体非零元有左单位元且每个非零元都有左逆元，从而也得到只是除环 3关于有单位元环的单位群 设 R是阶大于 l 的有单位元的环则显然 R是除环R的单位群是 R；R是域 R是交换群 显然，除环或域有“最

48、大的单位群又显然幂集环 P(M)的单位群只有单位元(因其他元素那是零因子)，它是“最小”的单位群 三、习题 43 解答 1证略 2证略 3证明：域和其子域有相同的单位元 即 F与 F1有相同的单位元(也可由 F与1F有相同单位元直接得出)4 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 5 6 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 4 环的同态与同构 一、主要内容 1环的同态映射和同构映射的定义和例子 2环同态映射的简单性质 设是环 R到环豆R的同态满射，则 1)(0)是R的零元，(a)(a)(aR)；2)当 R是交换环时，R也是交换环；3)当 R有单位元时，R也有；并且 R的单位

49、元的象是R的单位元 3在环同态映射下，是否有零因子不会传递即若环 RR，则当 R有零因子时，R可能没有，当 R无零因子时，R却可能有 二、释疑解难 1在1已经强调过，对于环的两个代数运算一定要区分前后顺序同样，对于环的同态映射，也要注意其保持运算必须是：加法对加法，乘法对乘法即(ab)(a)(b)，(ab)(a)(b)第一式中等号左边的加号“”是环 R的加法，而等号右边的加号“”是环 R 的代数运算二者虽然都用同一符号，但在实际例子中这两个代数运算却可能点很大差异，根本不是一回事 对上述第二个式子中等号两端的乘法完全类似，不再赘述 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 2由于零因子在

50、环同态映射下不具有传递性，因此，若环 RR，则当 R为整环时，R不一定是整环；又当 R不是整环时，R却可能是整环教材中的例 1和例 2 说明了这一点 3关于环的挖补定理，三、习题 44 解答 1.证 略 2.3.4.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 5.6.7.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 45 模 n 剩余类环 一、主要内容 2循环环定义、例子和简单性质 1)整数环及其子环以及剩余类环及其子环都是循环环而且在同构意义下这也是全部的循环环 2)循环环是交换环，但不一定有单位元而且这种环的子加群同子环、理想三者是一回事因此，n 阶循环环有且只有 T(n)(n的正因