中考数学(甘肃)总复习练习题：专题聚焦.pdf

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1、题型一 规律探索 类型一 数与式规律探索 1(2017百色)观察以下一列数的特点：0，1，4，9，16，25，则第 11 个数是(B)A121 B100 C100 D121 2(2017武汉)按照一定规律排列的n个数：2、4、8、16、32、64、，若最后三个数的和为 768，则n为(B)A9 B10 C11 D12 3古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为x2，第n个三角形数记为xn，则xnxn1_(n1)2_ 4若x是不等于 1 的实数，我们把11x称为x的差倒数，如 2 的差倒数是1121，1 的差倒

2、数为11（1）12，现已知x113，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，以此类推，则x2018_34_ 5观察下列等式：112，1322，13532，135742，则 13572015_1016064_ 6小明写出如下一组数：15，39，717，1533，请用你发现的规律，猜想第 2014个数为_220141220151_ 7(2017云南)观察下列各个等式的规律：第一个等式：2212121，第二个等式：3222122，第三个等式：4232123，请用上述等式反映出的规律解决下列问题：(1)直接写出第四个等式；(2)猜想第n个等式(用n的代数式表示)，并证明你猜想的等式

3、是正确的 解：(1)第四个等式为：5242124；(2)第n个等式为：（n1）2n212n;证明如下：（n1）2n212n22n1n2122n2n，左边右边，等式成立 类型二 图形规律探索 1(2017德州)观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成 4 个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，将这种做法继续下去(如图，图)，则图中挖去三角形的个数为(C)A121 B362 C364 D729 2如图，在ABC中，BC1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM

4、2的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为_12n_(n为正整数)3如图，在ABC中，Am，ABC和ACD的平分线交于点A1，得A1；A1BC和A1CD的平分线交于点A2，得A2；A2016BC和A2016CD的平分线交于点A2017，则A2017_m22017_.4如图，是一组按照某种规律摆放成的图案，则图中三角形的个数是(C)A8 B9 C16 D17 5如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第 1 个图案需 7 根火柴，第 2 个图案需 13 根火柴，依此规律，第 11 个图案需(B)根火柴 A156 B157 C158 D159 6观察下列图形中点的个数，若按其规律再画

5、下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为_(n1)2_(用含n的代数式表示)类型三 与坐标系结合的规律探索 1如图，在平面直角坐标系中，将ABO绕点A顺指针旋转到AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将AB1C1绕点B1顺时针旋转到A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将A1B1C2绕点C2顺时针旋转到A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去，若点A(53，0)，B(0，4)，则点B2016的横坐标为(D)A5 B12 C10070 D10080 2如图，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，

6、1)，(3，0)，(3，1)，根据这个规律探索可得第 100 个点的坐标为(D)A(14，0)B(14，1)C(14，1)D(14，2)3如图，已知菱形OABC的两个顶点O(0，0)，B(2，2)，若将菱形绕点O以每秒 45的速度逆时针旋转，则第 2017 秒时，菱形两对角线交点D的坐标为_(0，2)_ 4(2017赤峰)在平面直角坐标系中，点P(x，y)经过某种变换后得到点P(y1，x2)，我们把点P(y1，x2)叫做点P(x，y)的终结点已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、Pn、，若点P1的坐标为(2，0)，则点P201

7、7的坐标为_(2，0)_ 5如图，在平面直角坐标系中有一菱形OABC，且A120，点O、B在y轴上，OA1，现在把菱形向右无滑动翻转，每次翻转 60，点B的落点依次为B1、B2、B3，连续翻转 2017 次，则B2017的坐标为_(1345.5，32)_ 题型二 尺规作图 类型一 作与两条直线距离有关的点 1(2017陕西)如图，在钝角ABC 中，过钝角顶点 B 作 BDBC 交 AC 于点 D.请用尺规作图法在 BC 边上求作一点 P，使得点 P 到 AC 的距离等于 BP 的长(保留作图痕迹，不写作法)解：如解图，点 P 即为所求 2如图，两条公路 OA 和 OB 相交于 O 点，在AOB

8、 的内部有工厂 C 和 D，现要修建一个货站 P，使货站 P 到两条公路 OA、OB 的距离相等，且到两工厂 C、D 的距离相等，用尺规作出货站 P 的位置(要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论)解：如解图所示，作 CD 的垂直平分线，AOB 的平分线的交点 P 即为所求，此时货站 P 到两条公路 OA、OB 的距离相等 P 和 P1都是所求的点 3(2017绥化)如图，A、B、C 为某公园的三个景点，景点 A 和景点 B 之间有一条笔直的小路，现要在小路上建一个凉亭 P，使景点 B、景点 C 到凉亭 P 的距离之和等于景点 B 到景点 A 的距离，请用直尺和圆规在所给的图中作出点 P.(不

9、写作法和证明，只保留作图痕迹)解：如解图，连接 AC，作线段 AC 的垂直平分线 MN，直线 MN 交 AB 于点 P.点 P 即为所求的点 4如图，RtABC 中，C90，用直尺和圆规在边 BC 上找一点 D，使 D 到 AB 的距离等于 CD.(保留作图痕迹，不写作法)解：如解图，点 D 即为所求 类型二 作角平分线和垂直平分线 1(2017福建)如图，ABC 中，BAC90，ADBC，垂足为 D，求作ABC 的平分线，分别交 AD，AC 于 P，Q 两点；并证明 APAQ.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)解：BQ 就是所求的ABC 的平分线，P、Q 就是所求作的点 证明：ADB

10、C，ADB90，BPDPBD90.BAC90，AQPABQ90.ABQPBD，BPDAQP.BPDAPQ，APQAQP，APAQ.2(2017赤峰)已知平行四边形 ABCD.(1)尺规作图：作BAD 的平分线交直线 BC 于点 E，交 DC 延长线于点 F(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)的条件下，求证：CECF.(1)解：如解图所示，AF 即为所求；(2)证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ABDC，ADBC，12，34.AF 平分BAD，13，24，CECF.3如图，ABC 中，ABAC，A40.(1)作边 AB 的垂直平分线 MN；(保留作图痕迹，不写作法)(2

11、)在已知的图中，若 MN 交 AC 于点 D，连接 BD，求DBC 的度数 解：(1)如解图即为所求垂直平分线 MN；(2)如解图，连接 BD，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，ADBD，A40，ABDA40，ABAC，ABCC12(180A)70，DBCABCABD704030.4如图，已知ABC 中，ABC90.(1)尺规作图：按下列要求完成作图(保留作图痕迹，请标明字母)作线段 AC 的垂直平分线 l，交 AC 于点 O；连接 BO 并延长，在 BO 的延长线上截取 OD，使得 ODOB；连接 DA、DC；(2)判断四边形 ABCD 的形状，并说明理由(1)如解图所示；(2)

12、四边形 ABCD 是矩形，理由：在RtABC 中，ABC90，BO 是 AC 边上的中线，BO12AC，BODO，AOCO，AOCOBODO，四边形 ABCD 是矩形 类型三 作圆 1如图，在图中求作P，使P 满足以线段 MN 为弦且圆心 P 到AOB 两边的距离相等(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑)解：如解图所示，P 即为所作的圆 2如图，已知在ABC 中，A90.(1)请用圆规和直尺作出P，使圆心 P 在 AC 边上，且与 AB，BC 两边都相切(保留作图痕迹，不写作法和证明)；(2)若B60，AB3，求P 的面积 解：(1)如解图所示，P 为所求作的

13、圆；(2)B60，BP 平分ABC，ABP30，tanABPAPAB，AP3，SP3.3(2017舟山)如图，已知ABC，B40.(1)在图中，用尺规作出ABC 的内切圆 O，并标出O 与边 AB，BC，AC 的切点 D，E，F(保留痕迹，不必写作法)；(2)连接 EF，DF，求EFD 的度数 解：(1)如解图，O 即为所求；(2)如解图，连接 OD，OE，ODAB，OEBC，ODBOEB90，B40，DOE140，EFD70.4已知ABC 中，A25，B40.(1)求作：O，使得O 经过 A、C 两点，且圆心 O 落在 AB 边上(要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法)；(2)求证：BC

14、是(1)中所作O 的切线(1)解：作图如解图；(2)证明：如解图，连接 OC，OAOC，A25，BOC50，又B40，BOCB90，OCB90，OCBC，BC 是O 的切线 5如图，在直角三角形 ABC 中，ABC90.(1)先作ACB 的平分线，设它交 AB 边于点 O，再以点 O 为圆心 OB 为半径作O(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；(2)证明：AC 是所作O 的切线；(3)若 BC3，sinA12，求AOC 的面积 (1)解：作图如解图所示：(2)证明：过点 O 作 OEAC 于点 E，FC 平分ACB，OBOE，AC 是所作O 的切线；(3)解：sinA12，ABC90，A30

15、，ACOOCB12ACB30，BC3，AC23，BOBCtan303331，SAOC12ACOE122313.题型三 与三角形、四边形有关的证明与计算 类型一 与三角形有关的证明与计算 1(2017黄冈)已知：如图，BACDAM，ABAN，ADAM，求证：BANM.证明：BACDAM，BACBADDAC，DAMDACNAM，BADNAM，在BAD 和NAM 中，ABAN，BADNAM，ADAM，BADNAM(SAS)，BANM.2(2017孝感)如图，已知 ABCD，AEBD，CFBD，垂足分别为 E，F，BFDE，求证：ABCD.证明：AEBD，CFBD，AEBCFD90，BFDE，BFEF

16、DEEF，BEDF.在RtAEB 和RtCFD 中，ABCD，BEDF，RtAEBRtCFD(HL)，BD，ABCD.3(2017连云港)如图，已知等腰三角形 ABC 中，ABAC，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且 ADAE，连接 BE、CD，交于点 F.(1)判断ABE 与ACD 的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点 A、F 的直线垂直平分线段 BC.(1)解：ABEACD；理由如下：在ABE 和ACD 中，ABAC，AA，AEAD，ABEACD(SAS)，ABEACD；(2)证明：ABAC，ABCACB，由(1)可知ABEACD，FBCFCB，FBFC，ABAC，点 A、F 均

17、在线段 BC 的垂直平分线上，即直线 AF 垂直平分线段 BC.4(2017荆门)已知：如图，在RtACB 中，ACB90，点 D 是 AB 的中点，点 E 是CD 的中点，过点 C 作 CFAB 交 AE 的延长线于点 F.(1)求证：ADEFCE；(2)若DCF120，DE2，求 BC 的长 (1)证明：点 E 是 CD 的中点，DECE，ABCF，BAFAFC，在ADE 与FCE 中，DAFAFC，AEDFEC，DECE，ADEFCE(AAS)；(2)解：由(1)得，CD2DE，DE2，CD4.点 D 为 AB 的中点，ACB90，AB2CD8，ADCD12AB.ABCF，BDC180D

18、CF18012060，DACACD12BDC126030，BC12AB1284.5(2017重庆A)在ABM 中，ABM45，AMBM，垂足为 M，点 C 是 BM 延长线上一点，连接 AC.(1)如图，若 AB32，BC5，求 AC 的长；(2)如图，点 D 是线段 AM 上一点，MDMC，点 E 是ABC 外一点，ECAC，连接 ED 并延长交 BC 于点 F，且点 F 是线段 BC 的中点，求证：BDFCEF.(1)解：AC13；(2)证明：如解图，延长 EF 到点 G，使得 FGEF，连接 BG.DMMC，BMDAMC，BMAM，BMDAMC(SAS)，ACBD，又CEAC，BDCE，

19、BFFC，BFGCFE，FGFE，BFGCFE(SAS)，BGCE，GCEF，BDCEBG，BDGGCEF.6(2017呼和浩特)如图，等腰三角形 ABC 中，BD，CE 分别是两腰上的中线(1)求证：BDCE；(2)设 BD 与 CE 相交于点 O，点 M，N 分别为线段 BO 和 CO 的中点，当ABC 的重心到顶点 A 的距离与底边长相等时，判断四边形 DEMN 的形状，无需说明理由 (1)证明：由题意得，ABAC，BD，CE 分别是两腰上的中线，AD12AC，AE12AB，ADAE，在ABD 和ACE 中，ABAC，AA，ADAE，ABDACE(SAS)BDCE；(2)解：四边形 DE

20、MN 是正方形，证明：略 7ABC 的三条角平分线相交于点 I，过点 I 作 DIIC，交 AC 于点 D.(1)如图，求证：AIBADI；(2)如图，延长 BI，交外角ACE 的平分线于点 F.判断 DI 与 CF 的位置关系，并说明理由；若BAC70，求F 的度数 (1)证明：AI、BI 分别平分BAC，ABC，BAI12BAC，ABI12ABC，BAIABI12(BACABC)12(180ACB)9012ACB，在ABI 中，AIB180(BAIABI)180(9012ACB)9012ACB，CI 平分ACB，DCI12ACB，DIIC，DIC90，ADIDICDCI9012ACB，AI

21、BADI；(2)解：结论：DICF.理由：IDC90DCI9012ACB，CF 平分ACE，ACF12ACE12(180ACB)9012ACB，IDCACF，DICF；ACEABCBAC，ACEABCBAC70，FCEFBCF，FFCEFBC，FCE12ACE，FBC12ABC，F12ACE12ABC12(ACEABC)35.8(8 分)(2017北京)在等腰直角ABC 中，ACB90，P 是线段 BC 上一动点(与点 B、C 不重合)，连接 AP，延长 BC 至点 Q，使得 CQCP，过点 Q 作 QHAP 于点 H，交 AB于点 M.(1)若PAC，求AMQ 的大小(用含的式子表示)；(2

22、)用等式表示线段 MB 与 PQ 之间的数量关系，并证明 解：(1)AMQ45；理由如下：PAC，ACB 是等腰直角三角形，BACB45，PAB45，QHAP，AHM90，AMQ180AHMPAB45；(2)PQ2MB.理由如下：如解图，连接 AQ，作 MEQB，ACQP，CQCP，QACPAC，QAM45AMQ，APAQQM，在APC 和QME 中，MQEPAC，ACPQEM，APQM，APCQME(AAS)，PCME，MEB 是等腰直角三角形，12PQ22MB，PQ2MB.类型二 与四边形有关的证明与计算 1在 ABCD 中，点 E、F 分别在 AB、CD 上，且 AECF.(1)求证：A

23、DECBF；(2)若 DFBF，求证：四边形 DEBF 为菱形 证明：(1)四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，AC，在ADE 和CBF 中，ADBC，AC，AECF，ADECBF(SAS)；(2)四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，ABCD，AECF，DFEB，四边形 DEBF 是平行四边形，又DFFB，四边形 DEBF 为菱形 2如图，四边形 ABCD 中，BD 垂直平分 AC，垂足为点 F，E 为四边形 ABCD 外一点，且ADEBAD，AEAC.(1)求证：四边形 ABDE 是平行四边形；(2)如果 DA 平分BDE，AB5，AD6，求 AC 的长 (1)证明：AEAC，B

24、D 垂直平分 AC，AEBD，ADEBAD，DEAB，四边形 ABDE 是平行四边形；(2)解：DA 平分BDE，BADADB，ABBD5，设 BFx，则 52x262(5x)2，解得 x75，AFAB2BF2245，AC2AF485.3(2017上海)已知：如图，四边形 ABCD 中，ADBC，ADCD，E 是对角线 BD 上一点，且 EAEC.(1)求证：四边形 ABCD 是菱形；(2)如果 BEBC，且CBEBCE23，求证：四边形 ABCD 是正方形 证明：(1)在ADE 和CDE 中，ADCD，DEDE，EAEC，ADECDE(SSS)，ADECDE，ADBC，ADECBD，CDEC

25、BD，BCCD，ADCD，BCAD，四边形 ABCD 为平行四边形，ADCD，四边形 ABCD 是菱形；(2)BEBC，BCEBEC，CBEBCE23，CBE180223345，四边形 ABCD 是菱形，ABE45，ABC90，四边形 ABCD 是正方形 4如图，在 ABCD 中，BAD 的平分线交 CD 于点 E，交 BC 的延长线于点 F，连接BE，F45.(1)求证：四边形 ABCD 是矩形；(2)若 AB14，DE8，求sinAEB 的值 (1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，DAFF45.AE 是BAD 的平分线，EABDAE45，DAB90，又四边形 ABCD 是平

26、行四边形，四边形 ABCD 是矩形；(2)解：如解图，过点 B 作 BHAE 于点 H，四边形 ABCD 是矩形，ABCD，ADBC，DCBD90，AB14，DE8，CE6.在RtADE 中，DAE45，ADDE8，BC8.在RtBCE 中，由勾股定理得 BEBC2CE210，在RtAHB 中，HAB45，BHABsin4572，在RtBHE 中，BHE90，sinAEBBHBE7210.5(2017大庆)如图，以 BC 为底边的等腰ABC，点 D，E，G 分别在 BC，AB，AC 上，且 EGBC，DEAC，延长 GE 至点 F，使得 BEBF.(1)求证：四边形 BDEF 为平行四边形；(

27、2)当C45，BD2 时，求 D，F 两点间的距离(1)证明：ABC 是等腰三角形，ABCC，EGBC，DEAC，AEGABCC，四边形 CDEG 是平行四边形，DEGC，BEBF，BFEBEFAEGABC，FDEG，BFDE，四边形 BDEF 为平行四边形；(2)解：C45，ABCBFEBEF45，BDE、BEF 是等腰直角三角形，BFBE22BD2，作 FMBD 于点 M，连接 DF，如解图所示，则BFM 是等腰直角三角形，FMBM22BF1，DM3，在RtDFM 中，由勾股定理得：DF123210，即 D，F 两点间的距离为10.6(2017张家界)如图，在平行四边形 ABCD 中，边

28、AB 的垂直平分线交 AD 于点 E，交 CB 的延长线于点 F，连接 AF，BE.(1)求证：AGEBGF；(2)试判断四边形 AFBE 的形状，并说明理由.(1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，AEGBFG，EF 垂直平分 AB，AGBG，在AGE 和BGF 中，AEGBFG，AGEBGF，AGBG，AGEBGF(AAS)；(2)解：四边形 AFBE 是菱形，理由如下：AGEBGF，AEBF，ADBC，四边形 AFBE 是平行四边形，又EFAB，四边形 AFBE 是菱形.7如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AOCO，BODO，且ABCADC180

29、.(1)求证：四边形 ABCD 是矩形(2)若ADFFDC32，DFAC，则BDF 的度数是多少？(1)证明：AOCO，BODO 四边形 ABCD 是平行四边形，ABCADC，ABCADC180，ABCADC90，四边形 ABCD 是矩形；(2)解：ADC90，ADFFDC32，FDC36，DFAC，DCO903654，四边形 ABCD 是矩形，OCOD，ODC54，BDFODCFDC18.8(2017娄底)如图，在 ABCD 中，各内角的平分线分别相交于点 E，F，G，H.(1)求证：ABGCDE；(2)猜一猜：四边形 EFGH 是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；(3)若 AB6，BC4，

30、DAB60，求四边形 EFGH 的面积 (1)证明：GA 平分BAD，EC 平分BCD，BAG12BAD，DCE12DCB，在 ABCD 中，BADDCB，ABCD，BAGDCE，同理可得，ABGCDE，在ABG 和CDE 中，BAGDCE，ABCD，ABGCDE，ABGCDE(ASA)；(2)解：四边形 EFGH 是矩形 证明：GA 平分BAD，GB 平分ABC，GAB12BAD，GBA12ABC，在 ABCD 中，DABABC180，GABGBA12(DABABC)90，即AGB90，同理可得，DEC90，AHD90EHG，四边形 EFGH 是矩形；(3)解：依题意得：BAG12BAD30

31、，AB6，BG12AB3，AG33CE，BC4，BCF12BCD30，BF12BC2，CF23，EF33233，GF321，S矩形 EFGH的面积EFGF3.题型四 解直角三角形的实际应用 1(2017镇江)如图，小明在教学楼 A 处分别观测对面实验楼 CD 底部的俯角为 45，顶部的仰角为 37，已知教学楼和实验楼在同一平面上，观测点距地面的垂直高度 AB 为 15 m，求实验楼的垂直高度即 CD 长(精确到 1 m，参考值：sin370.60，cos370.80，tan370.75)解：作 AECD 于 E，如解图，AB15 m，DEAB15 m，DAE45，AEDE15 m，在RtACE

32、 中，tanCAECEAE，则 CEAEtan37150.7511 m，CDCEDE111526 m.答：实验楼的垂直高度 CD 长为 26 m.2(2017宜宾)如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点 A，又在河的另一岸边取两点 B、C 测得30，45，量得 BC 长为 100 米，求河的宽度(结果保留根号)解：过点 A 作 ADBC 于点 D，如解图，45，ADC90，ADDC，设 ADDCx m，则tan30 xx10033，解得 x50(31)答：河的宽度为 50(31)m.3(2017宿迁)如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点 A 处测得正前方小岛 C 的

33、俯角为 30，面向小岛方向继续飞行 10 km到达 B 处，发现小岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为 45，如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度(结果保留根号)解：过点 C 作 CDAB 于点 D，如解图，设 CDx，CBD45，BDCDx，在RtACD 中，tanCADCDAD，ADCDtanCADxtan30 x333x，由 ADBDAB 可得3xx10，解得 x535.答：飞机飞行的高度为(535)km.4(2016菏泽)南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至 B 处时，测得该岛位于正北方向 20(13)海里的 C 处，为了防止某国海巡警干扰

34、，就请求我 A 处的渔监船前往 C 处护航，已知 C 位于 A 处的北偏东 45方向上，A 位于 B 的北偏西 30的方向上，求 A、C 之间的距离 解：如解图，作 ADBC，垂足为 D，由题意得，ACD45，ABD30.设 CDx，在RtACD 中，可得 ADx，在RtABD 中，可得 BD3x，又BC20(13)，CDBDBC，即 x3x20(13)，解得：x20，AC2x202(海里)答：A、C 之间的距离为 202 海里 5(2017荆门)金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆 AB 的高，他们在旗杆正前方台阶上的点 C 处，测得旗杆顶端 A 的仰角为 45

35、，朝着旗杆的方向走到台阶下的点 F 处，测得旗杆顶端 A 的仰角为 60，已知升旗台的高度 BE 为 1米，点 C 距地面的高度 CD 为 3 米，台阶 CF 的坡角为 30，且点 E、F、D 在同一条直线上，求旗杆 AB 的高度(计算结果精确到 0.1 米，参考数据：21.41，31.73)解：如解图，过点 C 作 CMAB 于 M.则四边形 MEDC 是矩形，MEDC3，CMED，在RtAEF 中，AFE60，设 EFx，则 AF2x，AE3x，在RtFCD 中，CD3，CFD30，DF33，在RtAMC 中，ACM45，MACACM45，MAMC，EDCM，AMED，AMAEME，EDE

36、FDF，3x3x33，解得 x633，AE3(633)639，ABAEBE963118.4 米 答：旗杆 AB 的高度约为 18.4 米 6(2016贺州)如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高 BC 是 10 米，坡面 10 米处有一建筑物 HQ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面 DC 的倾斜角BDC30，若新坡面下 D 处与建筑物之间需留下至少 3 米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除(计算最后结果保留一位小数参考数据：21.414，31.732)解：由题意得，AH10 米，BC10 米，在RtABC 中，CAB45，ABBC10，在RtDBC 中，CD

37、B30，DBBCtanCDB103，DHAHADAH(DBAB)1010310201032.7(米)，2.7 米3 米，该建筑物需要拆除 7(2017鄂州)小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底 M 处出发，向前走 3 米到达 A 处，测得树顶端 E 的仰角为 30，他又继续走下台阶到达 C 处，测得树的顶端 E 的仰角是 60，再继续向前走到大树底 D 处，测得食堂楼顶 N 的仰角为 45.已知 A 点离地面的高度 AB2 米，BCA30，且 B、C、D 三点在同一直线上(1)求树 DE 的高度；(2)求食堂 MN 的高度 解：(1)如解图，设 DEx，ABDF2，EFD

38、EDFx2，EAF30，AFEFtanEAFx2333(x2)，又CDDEtanDCEx333x，BCABtanACB23323，BDBCCD2333x，由 AFBD 可得3(x2)2333x，解得：x6，树 DE 的高度为 6 米；(2)延长 NM 交 DB 延长线于点 P，如解图，则 AMBP3，由(1)知 CD33x33623，BC23，PDBPBCCD32323343，NDP45，且 MPAB2，NPPD343，NMNPMP3432143，食堂 MN 的高度为 143 米 题型五 与圆有关的证明与计算 类型一 与切线判定有关的证明与计算 1如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径

39、的O 分别与 BC、AC 交于点 D、E，过点 D 作 DFAC 于点 F.(1)求证：DF 是O 的切线；(2)若O 的半径为 2，BC22，求 DF 的长 (1)证明：连接 OD，如解图，OBOD，ABCODB，ABAC，ABCACB，ODAC，DFAC，DFOD，DF 是O 的切线；(2)解：连接 AD，如解图，AB 是O 的直径，ADBC，又ABAC，BDDC2，ADAB2BD242（2）214，DFAC，ADCDFC，ADDFACDC，14DF42，DF72.2如图，在ABC 中，以 BC 为直径的O 交 AC 于点 D，ABDACB.(1)求证：AB 是O 的切线；(2)若点 E

40、是 BC 上一点，已知 BE4，tanAEB53，ABBC23，求O 的直径 (1)证明：BC 是直径，BDC90，ACBDBC90，ABDACB，ABDDBC90，ABC90，ABBC，AB 是O 的切线；(2)解：在RtAEB 中，tanAEB53，ABBE53，即 AB53BE203，在RtABC 中，ABBC23，BC32AB10，O 的直径为 10.3如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，点 D 是BC的中点，DEAC 于点 E，DFAB 于点 F.(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若 OF2，求 AC 的长度(1)证明：如解图，连接 OD、AD，点 D 是BC的中点，BD

41、CD，DAODAC，OAOD，DAOODA，图 DACODA，ODAE，DEAE，AED90，AEDODE90，ODDE，DE 是O 的切线；图(2)解：如解图，连接 BC，AB 是O 的直径，ACB90，ODAE，DOBEAB，DFOACB90，DFOBCA，OFACODAB12，即2AC12，AC4.4(2017张家界)在等腰ABC 中，ACBC，以 BC 为直径的O 分别与 AB，AC 相交于点 D，E，过点 D 作 DFAC，垂足为点 F.(1)求证：DF 是O 的切线；(2)分别延长 CB，FD，相交于点 G，A60，O 的半径为 6，求阴影部分的面积 (1)证明：连接 OD，如解图

42、所示，ACBC，OBOD，ABCA，ABCODB，AODB，ODAC，DFAC，DFOD，OD 是O 的半径，DF 是O 的切线；(2)解：ACBC，A60，ABC 是等边三角形，ABC60，ODOB，OBD 是等边三角形，BOD60，DFOD，ODG90，G30，DG3OD63，S阴影部分SODGS扇形 OBD1266360623601836.5(2017安顺)如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，ODBC 于点 D，过点 C作O 的切线，交 OD 的延长线于点 E，连接 BE.(1)求证：BE 与O 相切；(2)设 OE 交O 于点 F，若 DF1，BC23，求阴影部分的面积 (1)

43、证明：连接 OC，如解图，CE 为切线，OCCE，OCE90，ODBC，CDBD，即 OD 垂中平分 BC，ECEB，在OCE 和OBE 中，OCOB，OEOE，ECEB，OCEOBE，OBEOCE90，OBBE，BE 与O 相切；(2)解：设O 的半径为 r，则 ODr1，在RtOBD 中，BDCD12BC3，(r1)2(3)2r2，解得 r2，tanBODBDOD3，BOD60，BOC2BOD120，在RtOBE 中，BE3OB23，S阴影部分S四边形 OBECS扇形 BOC 2SOBES扇形 BOC 21222312022360 4343.类型二 与切线性质有关的证明与计算 1(2017

44、绵阳)如图，已知 AB 是O 的直径，弦 CDAB，垂足为 H，与 AC 平行的O 的一条切线交 CD 的延长线于点 M，交 AB 的延长线于点 E，切点为 F，连接 AF 交 CD于点 N.(1)求证：CACN；(2)连接 OF，若cosDFA45，AN210，求O 的直径的长度 (1)证明：连接 OF，则OAFOFA，如解图所示，ME 与O 相切，OFME.CDAB，MFOH180.BOFOAFOFA2OAF，FOHBOF180，M2OAF.MEAC，MC2OAF.CDAB，ANCOAFBACC90，ANC90OAF，BAC90C902OAF，CANOAFBAC90OAFANC，CACN；

45、(2)解：连接 OC，如解图所示 cosDFA45，DFAACH，CHAC45.设 CH4a，则 AC5a，AH3a，CACN，NHa，ANAH2NH2（3a）2a210a210，a2，AH3a6，CH4a8.设O 的半径为 r，则 OHr6，在RtOCH 中，OCr，CH8，OHr6，OC2CH2OH2，r282(r6)2，解得：r253，O 的直径的长度为 2r503.2(2017大连)如图，AB 是O 直径，点 C 在O 上，AD 平分CAB，BD 是O 的切线，AD 与 BC 相交于点 E.(1)求证：BDBE；(2)若 DE2，BD5，求 CE 的长 (1)证明：设BAD，AD 平分

46、BAC，CADBAD，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，ACB90，ABC902，BD 是O 的切线，BDAB，DBE2，BEDBADABC90，D180DBEBED90，DBED，BDBE；(2)解：设 AD 交O 于点 F，CEx，则 AC2x，连接 BF，如解图，AB 是O 的直径，AFB90，BDBE，DE2，FEFD1，BD5，BF2，BADD90，DFBD90，FBDBAD，tanFDBF12，ABBFsin25525，在RtABC 中，由勾股定理可知(2x)2(x5)2(25)2，解得 x5(舍去)或 x355，CE355.3(2017南京)如图，PA，PB 是O 的切线，A

47、，B 为切点，连接 AO 并延长，交 PB的延长线于点 C，连接 PO，交O 于点 D.(1)求证：PO 平分APC；(2)连接 DB，若C30，求证：DBAC.证明：(1)如解图，连接 OB，PA，PB 是O 的切线，OAAP，OBBP，又 OAOB，PO 平分APC；(2)OAAP，OBBP，CAPOBP90，C30，APC903060，PO 平分APC，OPC12APC126030，POB90OPC903060，又ODOB，ODB 是等边三角形，OBD60，DBPOBPOBD906030，DBPC，DBAC.4如图，直线 l 经过点 A(4，0)，B(0，3)(1)求直线 l 的函数表达

48、式；(2)若圆 M 的半径为 2，圆心 M 在 y 轴上，当圆 M 与直线 l 相切时，求点 M 的坐标 (1)A(4，0)，B(0，3)，直线 l 的解析式为：y34x3；(2)作 MHAB，垂足为 H，如解图所示，M 在 y 轴上，设 M(0，t)，2SABMBMAOABMH，|3t|452，解得 t112，t2112，M1(0，12)，M2(0，112)题型六 二次函数与几何图形综合题 类型一 探究特殊三角形的存在性问题 1(2017乌鲁木齐)如图，抛物线 yax2bxc(a0)与直线 yx1 相交于 A(1，0)，B(4，m)两点，且抛物线经过点 C(5，0)(1)求抛物线的解析式；(

49、2)点 P 是抛物线上的一个动点(不与点 A、点 B 重合)，过点 P 作直线 PDx 轴于点 D，交直线 AB 于点 E.当 PE2ED 时，求 P 点坐标；是否存在点 P，使BEC 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 解：(1)点 B(4，m)在直线 yx1 上，m415，B(4，5)，把 A、B、C 三点坐标代入抛物线解析式可得 abc0，16a4bc5，25a5bc0，解得a1，b4，c5，抛物线的解析式为 yx24x5；(2)设 P(x，x24x5)，则 E(x，x1)，D(x，0)，则 PE|x24x5(x1)|x23x4|，DE|x1|，PE2E

50、D，|x23x4|2|x1|，当x23x42(x1)时，解得 x1 或 x2，但当 x1 时，P 与 A 重合不合题意，舍去，P(2，9)；当x23x42(x1)时，解得 x1 或 x6，但当 x1 时，P 与 A 重合，不合题意，舍去，P(6，7)；综上可知，P 点坐标为(2，9)或(6，7)；点 P 的坐标为(34，11916)或(413，4138)或(413，4138)或(0，5)时，BEC 为等腰三角形 2(2017阜新)如图，抛物线 yx2bxc 的图象与 x 轴交于 A(5，0)，B(1，0)两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D.(1)求抛物线的函数表达式