初三数学圆的经典讲义.pdf

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1、 1 圆目 录 一 圆的定义及相关概念 二 垂经定理及其推论 三 圆周角与圆心角 四 圆心角、弧、弦、弦心距关系定理 五 圆内接四边形 六 会用切线,能证切线 七 切线长定理 八 三角形的内切圆 九 了解弦切角与圆幂定理（选学）十 圆与圆的位置关系 十一 圆的有关计算 十二 圆的基础综合测试 十三 圆的终极综合测试 2 一圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。考点2：确定圆的条件；圆心和半径 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线

2、段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：3 考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。考点5 点和圆的位置关系 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d

3、，则点与圆的位置关系有三种。点在圆外d r；点在圆上d=r；点在圆内 d r；【典型例题】例 1 在ABC 中，ACB=90,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与C有怎样的位置关系，并说明你的理由。例 2已知，如图，CD 是直径，84EOD，AE 交O 于 B，且AB=OC，求A 的度数。M A B C D O E B A C 4 例 3 O 平面内一点P 和O 上一点的距离最小为3cm，最大为8cm，则这圆的半径是_cm。例 4 在半径为5cm 的圆中，弦AB CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB 和 CD 的距离是多少？例

4、5 如图,O 的直径AB 和弦CD 相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm,30CEA，求 CD 的长 例 6.已知：O 的半径0A=1，弦AB、AC 的长分别为3,2，求BAC的度数 A B D C O E 5【考点速练】1.下列命题中，正确的是（）A三点确定一个圆 B任何一个三角形有且仅有一个外接圆 C任何一个四边形都有一个外接圆 D等腰三角形的外心一定在它的外部 2如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（）A等腰三角形B直角三角形 C等边三角形 D钝角三角形 3圆的内接三角形的个数为（）A 1 个 B 2 C 3 个 D无数个 4三角形的外接圆的个数为（）A 1 个

5、B 2 C 3 个 D无数个 5下列说法中，正确的个数为（）任意一点可以确定一个圆；任意两点可以确定一个圆；任意三点可以确定一个圆；经过任一点可以作圆；经过任意两点一定有圆 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是()A.圆的外部(包括边界)；B.圆的内部(不包括边界)；C.圆；D.圆的内部(包括边界)7.已知O的半径为6cm,P 为线段OA 的中点,若点P 在O上,则 OA 的长()A.等于6cm B.等于12cm；C.小于6cm D.大于12cm 8.如图,O的直径为10cm,弦 AB 为 8cm,P 是弦AB 上一点,若 OP 的长为整

6、数,则满足条件的点P 有()A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 9.如图,A 是半径为5 的O内一点,且 OA=3,过点A 且长小于8 的弦有()A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.4 条 10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片，需要知道它的半径，用圆规和直尺在图中作出它的一条半径（要求保留作图痕迹）BPAOAO 6 ACBDOP 11.如图，已知在ABC中，90A，AB=3cm，AC=4cm，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧交CB 的延长线于点D，求CD 的长 12、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB 16cm，拱高CD 4cm，那么拱形的半径是 m。13、ABC 中

7、，AB=AC=10，BC=12，则它的外接圆半径是。14、如图，点P 是半径为5 的O 内一点，且OP 3，在过点P 的所有的O 的弦中，弦长为整数的弦的条数为。15.思考题 如图所示,已知O 的半径为10cm，P 是直径AB 上一点,弦 CD 过点P,CD=16cm,过点A 和 B分别向CD 引垂线AE 和 BF,求 AE-BF 的值.C B D A A B C E P F O 7 【作业】日期 姓名 完成时间 成绩 1、在半径为2 的圆中，弦长等于23的弦的弦心距为 _ 2.ABC的三个顶点在O上,且 AB=AC=2,BAC=120,则O的半径=_,BC=_.3 P 为O 内一点，OP=3

8、cm，O 半径为5cm，则经过P 点的最短弦长为_；最长弦长为_ 4.如图,A,B,C三点在O上,且 AB是O的直径,半径OD AC,垂足为F,若A=30,OF=3,则 OA=_ ,AC=_ ,BC=_ .5.如图5,为直径是52cm圆柱形油槽,装入油后,油深CD为 16cm,那么油面宽度AB=_ 6.如图6,O中弦AB AC,D,E分别是AB,AC的中点.若AB=AC,则四边形OEAD是 形;若OD=3,半径5r,则 AB=_cm,AC=_ _ cm 7.如图7，O 的直径AB 和弦CD 相交于点E，已知AE=8cm，EB=4cm，CEA=30，则CD的长为_ (5)(6)(7)DOBCAA

9、EDBOCFADCBO 8 二垂径定理及其推论【考点速览】考点1 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤 推论1：平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤 平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤 推论2圆的两条平行弦所夹的孤相等 垂径定理及推论1 中的三条可概括为：经过圆心；垂直于弦；平分弦(不是直径)；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧 以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点 【典型例题】例 1 如图AB、CD 是O 的弦，M、N 分别是AB、CD 的中点，且CNMAMN 求证

10、：AB=CD A B D C O N M 9 例 2 已知，不过圆心的直线l交O 于 C、D 两点，AB 是O 的直径，AEl于 E，BFl于F。求证：CE=DF l问题一图1 OHFEDCBAl问题一图2 OHFEDCBA l问题一图3 OHFEDCBA 例 3 如图所示，O 的直径AB 15cm，有一条定长为9cm 的动弦CD 在弧AmB 上滑动（点C 与点A，点D 与 B 不重合），且CE CD 交 AB 于 E，DF CD 交 AB 于 F。（1）求证：AE BF（2）在动弦CD 滑动的过程中，四边形CDEF 的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值，若不是，请说明理由。

11、例 4 如图，在O 内，弦CD 与直径AB 交成045角，若弦CD 交直径AB 于点P，且O半径为1，试问：22PDPC 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.O A B C D E F m A B C D P O。10 【考点速练】1.已知O 的半径为2cm，弦AB 长cm32，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（）.A 1cm B.2cm C.cm2 D.cm3cm 3如图1，O 的半径为6cm，AB、CD 为两弦，且 AB CD，垂足为点E，若 CE=3cm，DE=7cm，则 AB 的长为（）A 10cm B.8cm C.cm24 D.cm28 4.有下列判断：直径是圆的

12、对称轴；圆的对称轴是一条直径；直径平分弦与弦所对的孤；圆的对称轴有无数条.其中正确的判断有（）A 0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 5 如图2，同心圆中，大圆的弦交AB 于 C、D 若 AB=4，CD=2，圆心O 到 AB 的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为（）A 3:2 B.5:2 C.5:2 D.5:4 6.等腰三角形腰长为4cm,底角为30,则外接圆直径为（）A 2cm B.4cm C.6cm D.8cm 7.如图,O的直径为10,弦 AB=8,P 是弦AB 上的一个动点,那么OP 长的取值范围是 .8.如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,

13、那么拱形的半径是_ _m.BPAODCBAA D E C B 图 1 A O C D B 图 2 11 A B D C O 800 9.如图，直径为1000mm 的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为 800mm，求水的最大深度CD 10.如图，已知ABC 中，ACB=90，AC=6cm，BC=8cm，以C 为圆心，CA 为半径作圆交斜边AB 于 D，则AD 的长为 。11.已知:如图,在O中,弦 AB 的长是半径OA 的3倍,C 为弧AB 的中点,AB、OC 相交于点 M.试判断四边形OACB 的形状,并说明理由.12.如图所示，在O 中，弦 AB AC，弦 BD BA，AC、BD

14、 交直径MN 于 E、F.求证：ME=NF.13.（思考题）如图，1o与2o交于点A，B，过A 的直线分别交1o，2o于 M,N，C为 MN 的中点，P 为21OO的中点，求证：PA=PC.A B C D MCBAO O A B D C E F M N A M N C 12 【作业】日期 姓名 完成时间 成绩 1.已知O 的直径AB=10cm，弦CD AB，垂足为M。且OM=3cm，则CD=.2D是半径为5cm的O内的一点，且 D0=3cm，则过点D的所有弦中，最小的弦AB=cm.3.若圆的半径为2cm，圆中一条弦长为32cm，则此弦所对应弓形的弓高是 .4.已知O 的弦AB=2cm,圆心到A

15、B 的距离为n,则O 的半径R=，O 的周长为 .O 的面积为 .5在O 中，弦AB=10cm，C 为劣孤AB的中点，OC 交 AB 于D，CD=1cm，则O 的半径是 .6O 中，AB、CD 是弦，且AB CD，且AB=8cm，CD=6cm，O 的半径为5cm，连接AD、BC，则梯形ABCD 的面积等于 .7如图，O 的半径为4cm，弦AB、CD 交于E 点，AC=BC，OF CD 于 F，OF=2cm，则 BED=.8已知O 的半径为10cm，弦MN EF，且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN 和 EF 之间的距离为 .A E F B C D O 13 三圆周角与圆心角【考点速览】考

16、点 1 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。Eg:判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可 Eg:判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由 14 考点2 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 Eg:如下三图，请证明。考点3 4.推论：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 经典例题 例 1：下图中是圆周角的有 .是圆

17、心角的有 。15 例2：如图，A 是O 的圆周角，且A 35,则OBC=_.例3：如图，圆心角AOB=100，则ACB=例：如图，AB是O 的直径，点CDE，都在O 上，若CDE，则AB 例5：如图2，O 的直径CD过弦EF的中点G，40EOD，则D C F 例6：已知：如图，AD 是O 的直径，ABC=30，则CAD=_ 例7：已知O 中，30C，2cmAB，则O 的半径为 cm 例8 已知：如图所示，ABC是O 的内接三角形，O 的直径BD 交AC 于E，AF BD于F，延长AF 交BC 于G求证：BCBGAB2 _ ._ D _ C _ B _ A _ O B O C A O A B C

18、（例）A B C D E O E F C D G O 例 BOCAA B D F 1 E 16 考点练习 1.如图，已知ACB是O 的圆周角，50ACB，则圆心角AOB是（）A40 B.50 C.80 D.100 2.已知：如图，四边形ABCD 是O 的内接正方形，点 P 是劣弧CD上不同于点C 的任意一点，则BPC 的度数是（）A 45 B 60 C 75 D 90 3.ABC 中，A 30，B 60，AC 6，则ABC 外接圆的半径为（）A32 B33 C3 D 3 4.圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是（）A 30 B 150 C 30或150 D 60 5.如图所示

19、，AB 是O 的直径，AD DE，AE 与 BD 交于点C，则图中与BCE 相等的角有（）A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 6.下列命题中，正确的是（）PODCBA B E D A C O 17 顶点在圆周上的角是圆周角；圆周角的度数等于圆心角度数的一半；90的圆周角所对的弦是直径；不在同一条直线上的三个点确定一个圆；同弧所对的圆周角相等 A B C D 7.如图，O 是等边三角形ABC的外接圆，O 的半径为2，则等边三角形ABC的边长为（）A3 B5 C2 3 D2 5 8.如图，ABC内接于O，BAC=120，AB=AC，BD为 O的直径，AD=6，则BC 。9.如图9，有一

20、圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视 器 台。10.如图，量角器外沿上有A、B 两点，它们的读数分别是70、40，则1 的度数为 。11.如图,AB 是O 的直径，点C 在O 上，BAC=30，点P 在线段OB 上运动.设 ACP=x，则x 的取值范围是 .12.如图所示，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为 的方向行走，走到场地边缘B 后，再沿着与半径OB 夹角为 的方向折向行走。按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时AOE 56，则 的度数是 .A B C O（第9 题）

21、A 65 O A B O C x P 18 13.如图，已知A、B、C、D 是O 上的四个点，AB BC，BD 交 AC 于点E，连接CD、AD（1）求证：DB 平分ADC；（2）若BE 3，ED 6，求AB 的长 14.如图所示，已知AB 为O 的直径，CD 是弦，且ABCD 于点E连接AC、OC、BC （1）求证：ACO=BCD （2）若EB=8cm，CD=24cm，求O 的直径 15.如图，在Rt ABC 中，ACB 90，AC 5，CB 12，AD 是ABC 的角平分线，过A、C、D 三点的圆与斜边AB 交于点E，连接DE。（1）求证：AC AE；（2）求ACD 外接圆的半径。16.已

22、知：如图等边ABC内接于O，点P是劣弧BC上的一点（端点除外），延长BP至D，使BDAP，连结CD （1）若AP过圆心O，如图，请你判断PDC是什么三角形？并说明理由（2）若AP不过圆心O，如图，PDC又是什么三角形？为什么？E D B A O C A C B D E 19 四圆心角、弧、弦、弦心距关系定理 【考点速览】圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.A O C D P B 图 A O C D

23、 P B 图 20 （务必注意前提为：在同圆或等圆中）例 1如图所示，点O 是EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于A、B 和 C、D，求证：AB=CD 例 2、已知：如图，EF为O的直径，过EF上一点P作弦AB、CD，且APF=CPF。求证：PA=PC。例 3如图所示，在ABC中，A=72，O 截ABC的三条边长所得的三条弦等长，求BOC.A B E F OPC12DA 21 例 4如图，O 的弦CB、ED 的延长线交于点A，且BC=DE求证：AC=AE 例 5如图所示，已知在O 中，弦AB=CB，ABC=120，OD AB 于 D，OE BC 于 E 求证：ODE是等边

24、三角形 综合练习 一、选择题 1下列说法中正确的是（）A、相等的圆心角所对的弧相等 B、相等的弧所对的圆心角相等 C、相等的弦所对的弦心距相等 D、弦心距相等，则弦相等 2如图，在O 中，AB 的度数是50，OBC=40，那么OAC 等于（）A、15 B、20 C、25 D、30 3P 为O 内一点，已知OP=1cm，O 的半径r=2cm，则过P 点弦中，最短的弦长为（）O 图 A B C O C A E B D O A D E B C 22 ABCODEA、1cm B、3cm C、32cm D、4cm 4在O 中，AB 与 CD 为两平行弦，ABCD，AB、CD 所对圆心角分别为 60,12

25、0，若O 的半径为6，则AB、CD 两弦相距（）A、3 B、6 C、13 D、333 5.如图所示，已知ABC 是等边三角形，以BC 为直径的O 分别交AB、AC 于点D、E。（1）试说明ODE 的形状；（2）如图2，若A=60，AB AC，则的结论是否仍然成立，说明你的理由。6 如图，ABC 是等边三角形，O 过点B，C，且与BA、CA 的延长线分别交于点D、E.弦 DF AC，EF 的延长线交BC 的延长线于点G.（1）求证：BEF 是等边三角形；（2）BA=4，CG=2，求BF 的长.7 已知：如图，AOB=90，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F。求证：AE=BF

26、=CD。ABCODE A O B E D C G F 23 如图3 如图4 如图5 【作业】日期 姓名 完成时间 成绩 1.如图1，ABC内接于O，445，ABC则O的半径为（）.A22 B 4 C32 D 5 2.如图2，在O中，点C 是 AB 的中点，40A，则BOC等于（）.A40 B50 C70 D80 3.如图3，A、B、C、D 是O上四点，且D 是AB 的中点，CD 交OB 于E，55,100OBCAOB，OEC=度.4.如图4，已知AB 是O的直径，C、D 是O上的两点，130D，则BAC的度数是 .5.如图5，AB 是半圆O的直径，E 是 BC 的中点，OE 交弦BC 于点D，

27、已知BC=8cm,DE=2cm，则 AD 的长为 cm.6如图所示，在O 中，AB 是直径，CO AB，D 是 CO 的中点，DE AB求证:EC=2EA 如图1 如图2 A B O D E C 24 五圆内接四边形 【考点速览】圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形。判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可。【典型例题】例 1（1）已知圆内接四边形ABCD 中，A:B:C=2:3:4，求D 的度数 （2）已知圆内接四边形ABCD 中，如图所示，AB、BC、CD、AD 的度数之比为1:2:3:4,求 A、B、C、D 的度数 例 2 四边形ABCD内

28、接于O，点 P在 CD的延长线上，且 AP BD求证：ADABBCPD A D C B O P A B C D O 25 例 3 如图所示，ABC是等边三角形，D 是 BC 上任一点求证：DB+DC=DA 例 4 AB是O的直径，弦DE AB，弦AF和 DE的延长线交于C，连结DF、EF，求证：FEFDFAFC 例5 如图所示，在ABC中，AB=AC，过A 点的直线与ABC的外接圆交于E，与BC的延长线交于D求证：EDADACAD22 A B C D O A B C D E O 26 【考点速练】1圆内接四边形的对角 ，并且任何一个外角都 它的内对角 2已知四边形ABCD 内接于O，则A:B:

29、C:D=3:2:7，且最大的内角为 3 如右图，已知四边形ABCD 内接于O，AE CD 于 E，若ABC=130，则DAE=4已知圆内接四边形ABCD 的A、B、C 的外角度数比为2:3:4，则A=，B=5圆内接梯形是 梯形，圆内接平行四边形是 6若E 是圆内接四边形ABCD 的边BA 的延长线上一点，BD=CD，EAD=55，则BDC=7四边形ABCD 内接于圆，A、C 的度数之比是5:4，B 比D 大30，则A=。D=8圆内接四边形ABCD 中，A、B、C 的度数比是2：3：6,则D 的度数是（）A、5.67 B、135 C、5.112 D、110 9如图1 所示，圆的内接四边形ABCD

30、，DA、CB 延长线交于P，AC 和 BD 交于Q，则图中相似三角形有（）A、1 对 B、2 对 C、3 对 D、4 对 10如果圆的半径是15，那么它的内接正方形的边长等于（）A、215 B、315 C、2315 D、2215 11下列四边形中，有外接圆的四边形是（）A、有一个角为60的平行四边形 B、菱形 C、矩形 D、直角梯形 12如图2，四边形ABCD 是圆的内接四边形，如果BCD 的度数为240，那么C 等于（）A、120 B、80 C、60 D、40 13若四边形ABCD 内接于圆，且A:B:C:D=5:m:4:n，则（）A、5m=4n B、4m=5n C、m+n=9 D、m=n=

31、180 A B C E D O A D C B P Q 图 1 A D B C O 图 2 27 14如图，已知O 的半径为2，弦AB 的长为32，点C 与点D 分别是劣弧AB 与优弧 ADB 上任一点（点C、D 均不与A、B 重合）.(1)求ACB；(2)求三角形ABD 的最大面积 15如图所示，已知ABC 内接于O，AB=AC，点D 为劣弧BC 上一动点（不与B、A、C 重合），直线AD 与 BC 交于E 点，连结BD、DC.（1）求证:BD DC=DE DA；（2）若将D 改为优弧BAC 上一动点（不与B、A、C 重合），其他条件均不改变，则（1）中的结论还成立吗？请画图并证明你的结论.

32、【作业】日期 姓名 完成时间 成绩 1过四边形ABCD 顶点A、B、C 作一个圆，若B+D180，则D 点在（）A、圆上 B、圆内 C、圆外 D、不能确定 2如图1，若AC=AD，那么圆中相等的圆周角所有的对数共有（）A、5 对 B、6 对 C、7 对 D、8 对 3如图2，已知ABC的外角BCD 的平分线CE 交ABC的外接圆于E，则ABE是（）A B C O D A B C O A E D C B 28 A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形 4如图3，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AE 是O 的弦，且AE CD，若B=120，则DAE 为（）A、60 B、3

33、0 C、50 D、70 5 已知：如图所示，四边形ABCD 内接于O，BD 是O 直径，若DAC=60，BC=337，AD=5求AC 的长 六会用切线，能证切线 考点速览：考点1 直线与圆的位置关系 图形 公共点个数 d 与 r 的关系 直线与圆的位置关系 0 dr 相离 1 d=r 相切 2 dPA），若PT 4，PA 2，则cosBPT等于（）A.45 B.12 C.18 D.34 4.如图3，AB 为O 的弦，且 AB OP 于 D，PA 为圆O 的切线，A 为切点，ABcmODcm83，则PA等于（）48 A.253cm B.203cm C.5cm D.8cm 5.如图4 所示，AB

34、是半圆的直径，C 是半圆上一点，CD AB于 D，CD 1，E 是AC上任意一点，且EDCFDC，以下结论正确的是（）（1）ECCF，（2）E 与F 互补，（3）DE DF 是变量，（4）DE DF 1，（5）FECD A.（1）（2）（3）B.（3）（5）C.（2）（4）D.（4）（5）二.填空题。1.在直径为2 的圆外有一点P 到圆的最近点的距离为3，则从P点所引圆的切线长是_。2.如图5 所示，AD 切O 于 D 点，ABC 为割线，AD 24，AB 18，A90，则O 半径为_。3.已知在Rt ABC中，C90，D 是 AC 上一点，以CD 为直径作O 切 AB 边于E点，AE 2，A

35、D 1，则SABC_。4.PA 切圆于A 点，PBC 是过圆心的割线，交圆于B、C 两点，PAcm 4 2，PBcm 2，则圆的半径等于_cm。三.解答题及证明题。1.如图所示，已知AD 是O 的切线，D 是切点，ABC 是O 的割线，DE AO 于 E。求证：AEBACO 2.已知：如图所示，AB 为半圆的直径，C、D 为半圆弧上的两点，若CDBD，DC 49 与 BA 的延长线交于P，若AP：CP 3：4，SADB 165，求AP 的长。3.如图所示，AB 切O 于 A，AC 经过圆心O 交圆于点D，BC 交圆于点M、N，且使MBMN NC，若AB 2，求O 的半径。4.如图所示，已知O

36、中弦AB/CD，BG 切O 于 B，交CD 延长线于点G，P 是CD上一点，PA、PB 分别交CD 于 E、F 两点。求证：EF FG FD FC 5.如图所示，AB 是O 的直径，M 是 AB 上一点，MP AB 交O 于 N，PD 是O 的割线交 O 于 C、D。50 求证：PC PD MA MB PM2 十圆与圆位置的关系 考点速览：1 圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为R 和 r，圆心距为d）外离 外切 相交 内切 内含 图形 公共点 0 个 1 个 2 个 1 个 0 个 d、r、R 的关系 dRr dRr RrdRr dRr dRr 外公切线 2 条 2 条 2 条 1 条 0 条

37、 内公切线 2 条 1 条 0 条 0 条 0 条 2有关性质：（1）连心线：通过两圆圆心的直线。如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。（2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。（3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。两个圆在公切线同旁 两个圆在公切线两旁 3相交两圆的性质 定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。外公切线 内公切线 O1 O2 O1 O2 O1 O2 O1 O2 O1 O2 51 4相切两圆的性质 定理：相切两圆的连心线经过切点 经典例题：例 1、如图，已知1O与2O相交于A、B 两点，P 是1O上一点，PB 的延长线交2O于点C，PA 交2O于

38、点D，CD 的延长线交1O于为N.（1）过点A 作 AE/CN 交1O于点E.求证：PA=PE.（2）连接PN，若PB=4，BC=2，求PN 的长.例 2 如图，在ABC中，22,90ACABBAC，圆A的半径为1，若点O在 BC边上运动（与点B、C不重合），设AOCxBO,的面积为y.（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）以点O为圆心，BO长为半径作O，当圆O与A相切时，求AOC的面积.经典得不能再经典的练习 一选择 P 2O A B C E N O1O D O B C A 52 1.已知O1与O2的半径分别为5cm 和 3cm，圆心距020=7cm，则两圆的位置关系为 A

39、外离 B外切 C相交 D内切 2.已知两圆半径分别为2 和3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（）A01d B5d C01d或5d D01d 或5d 3.大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆的位置关系为（）A外离 B外切 相交 D内含 4.右图是一张卡通图，图中两圆的位置关系（）A相交 B外离 C内切 D内含 5.若两圆的半径分别是1cm 和 5cm，圆心距为6cm，则这两圆的位置关系是（）A内切 B相交 C外切 D外离 6.外切两圆的圆心距是7，其中一圆的半径是4，则另一圆的半径是 A 11 B 7 C 4 D 3 7.已知O1和O2的半径分别为1 和 4，

40、如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距O1O2的取值范围在数轴上表示正确的是 8.若两圆的半径分别是2cm 和 3cm,圆心距为5cm，则这两个圆的位置关系是（）A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 9.若1O与2O相切，且125OO，1O的半径12r，则2O的半径2r是（）A 3 B 5 C 7 D 3 或 7 10.已知1O与2O外切，它们的半径分别为2 和 3，则圆心距12OO的长是（）A12OO=1 B12OO 5 C12OO D12OO 11.已知两圆的半径分别为3cm 和 2cm，圆心距为5cm，则两圆的位置关系是 A外离 B外切 C相交 D内切 12.如图，把O1向右平移8 个单

41、位长度得O2，两圆相交于A.B，且 O1AO2A，则图中阴影部分的面积是 A.4-8 B.8-16 C.16-16 D.16-32 13若两圆的直径分别是2cm 和10cm，圆心距为8cm，则这两个圆的位置关系是 （）B 3 1 0 2 4 5 D 3 1 0 2 4 5 A 3 1 0 2 4 5 C 3 1 0 2 4 5 53 A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 14.如图，两个同心圆的半径分别为3cm 和 5cm，弦AB与小圆相切于点C，则AB的长为（）A 4cm B 5cm C 6cm D 8cm 15.如图，两同心圆的圆心为O，大圆的弦AB 切小圆于P，两圆的半径分别为6，3，

42、则图中阴影部分的面积是（）A9 3 B6 3 C9 33 D6 32 16 若相交两圆的半径分别为1 和 2，则此两圆的圆心距可能是（）A 1 B 2 C 3 D 4 17.图中圆与圆之间不同的位置关系有 （）A 2 种 B 3 种 C 4 种 D 5 种 18已知1O的半径为3cm，2O的半径为4cm，两圆的圆心距12OO为7cm，则1O与2O的位置关系是 二填空 19.已知两圆的半径分别是2 和 3，圆心距为6，那么这两圆的位置关系是 .20.已知相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，则这两个圆的圆心距是_ 21.已知1O的半径为3cm，2O的半径为4cm，两圆的圆心距12

43、OO为 7cm，则1O与2O的位置关系是 22.已知1O和2O的半径分别是一元二次方程120 xx的两根，且122OO ，则1O和2O的位置关系是 23.如图，A，B的半径分别为1cm，2cm，圆心距AB为 5cm如果A由图示位置沿直线AB向右平移3cm，则此时该圆与B的位置关系是_ 24.已知相切两圆的半径分别为cm5和cm4，这两个圆的圆心距是 A B O C P O B A 54 25.已知O1和O2的半径分别为3cm和2cm，且121cmOO，则O1和O2的位置关系为 26已知ABC的三边分别是abc，两圆的半径12rarb，圆心距dc，则这两个圆的位置关系是 27 如图，正方形ABC

44、D中，E是BC边上一点，以E为圆心.EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sinEAB的值为 三解答 28.如图，在平面直角坐标系中，点1O的坐标为(4 0)，以点1O为圆心，8 为半径的圆与x轴交于AB，两点，过A作直线l与x轴负方向相交成60的角，且交y轴于C点，以点2(13 5)O，为圆心的圆与x轴相切于点D （1）求直线l的解析式；（2）将2O以每秒1 个单位的速度沿x轴向左平移，当2O第一次与1O外切时，求2O平移的时间 强化训练：1已知两个同心圆如图所示，其中大圆的半径为7，小圆半径为5，大圆的弦AD 与小O y x C D B A O1 O2 60 （第28 题）

45、l D C E B A（27）55 圆交于点B、C，则AB BD 的值是 。2如图，两个同心圆，点A 在大圆上，ABC 是小圆的割线，若 AB AC=8，则圆环的面积是（）。A4 B8 C12 D16 3 若两圆的半径分别为R 和 r，其圆心距为5，且2282170RrRr，则两圆的位置关系是 。4两圆的半径分别为4 和 5，圆心距为5，则这两圆的公切线共有 条。5如图，O1与相交于点A、B，且AO1，AO2分别是两圆的切线，A 是切点。若O1的半径13r，O2的半径2r 4，则弦AB=。6已知O1与O2的半径长分别为方程29140 xx的两根。若圆心距O1O2的 长为5，则O1与O2的位置关

46、系为 。7如图，两圆相交于A、B 两点，AC、AD 分别为两圆的直径，若连结BC、BD，则CBD 是（）。A钝角 B平角 C锐角 D直角 8已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是（）。A 1 B 5 C 2 或 3 D 1 或 5 9已知O 和O外切于点C，它们的半径分别为R、r，AB 为两圆的外公切线，切点为A、B 则公切线的长AB 等于（）。A4 Rr BRr C2 Rr D2Rr 10已知O1和O2的半径是方程2560 xx的两根，两圆心的坐标分别为（2，1），（1，3），则两圆的位置关系是（）。A相交 B外离 C外切 D内切 十一.圆的有关计算 A B C D

47、 O E A C D O B O2 O1 A BA B C D 56 考点速览：【例题经典】有关弧长公式的应用 例 1 如图，Rt ABC 的斜边AB=35，AC=21，点O 在 AB 边上，OB=20，一个以O 为圆心的圆，分别切两直角边边BC、AC 于 D、E 两点，求弧DE 的长度 有关阴影部分面积的求法 例2 如图所示，等腰直角三角形ABC的斜边4AB，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两腰相切于D、E求圆中阴影部分的面积 求曲面上最短距离 C O A B D E 57 例3 如图，底面半径为1，母线长为4 的圆锥，一只小蚂蚁若从A 点出发，绕侧面一周又回到A 点，它 爬行的最短路

48、线长是（）A 2 B 42 C 43 D 5 求圆锥的侧面积 例4 如图10，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径AB=12cm，高BC=8cm，求这个零件的表面积（结果保留根号）方案设计 例5.在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于 是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二（两个方案的图中，圆与正 方形相邻两

49、边及扇形的弧均相切方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）（1）请说明方案一不可行的理由；（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由 【考点速练】方案一 A B C D 方案二 A B C D O1 O2 58 一、基础训练 1已知扇形的圆心角为120，半径为2cm，则扇形的弧长是_cm，扇形的面积是_cm2 2如图1，两个同心圆中，大圆的半径OA=4cm，AOB=BOC=60，则图中阴影部分的面积是_cm2 （1）（2）（3）（4）3如图2，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，那么这个圆锥的侧面积是_cm2 4如图3，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸

50、片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于120，则r 与R 之间的关系是（）A R=2r B R=r C R=3r D R=4r 5如图4，圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则它的侧面积是（）A 60cm2 B 45cm2 C 30cm2 D 15cm2 6已知圆锥侧面展开图的圆心角为90，则该圆锥的底面半径与母线长的比为（）A 1：2 B 2：1 C 1：4 D 4：1 7 用半径为30cm，圆心角为120的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为（）A 10cm B 30cm C 45cm D 300cm 8将直径为64cm 的圆形铁皮，做成