概率论与数理统计习题解答.pdf

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1、第一章 随机事件及其概率 1.写出下列随机试验的样本空间：（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；（2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；（3）10 件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；（4）测量一汽车通过给定点的速度.解 所求的样本空间如下（1）S=2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12（2）S=(x,y)|x2+y20 2.设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件：（1）A发生，B和C不发生；（2）A与B都发生，而C不发生；（3）A、B、C都发生；（4）A、B、C都不发生；（5）A、B、C不都发生；（

2、6）A、B、C至少有一个发生；（7）A、B、C不多于一个发生；（8）A、B、C至少有两个发生.解 所求的事件表示如下 3在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则（1）事件AB 表示什么（2）在什么条件下ABC=C成立（3）在什么条件下关系式CB是正确的（4）在什么条件下A B成立 解 所求的事件表示如下（1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员.（2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立.（3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式CB是正确的.（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B成立.4

3、设P(A)，P(AB)，试求()P AB 解 由于 AB=A AB,P(A)=所以 P(AB)=P(AAB)=P(A)P(AB)=,所以 P(AB)=,故()P AB=1=.5.对事件 A、B 和 C，已知 P(A)=P(B)P(C)14，P(AB)=P(CB)=0,P(AC)=18 求 A、B、C 中至少有一个发生的概率.解 由于,()0,ABCABP AB故 P(ABC)=0 则 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)6.设盒中有 只红球和 b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率：A两球颜色相同，B两球颜色不同.解 由题意

4、，基本事件总数为2a bA，有利于 A 的事件数为22abAA，有利于 B 的事件数为1111112abbaabA AA AA A,则 2211222()()ababa ba bAAA AP AP BAA 7.若 10 件产品中有件正品，3 件次品,（1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率；（2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率.解（1）设 A=取得三件次品 则 333333101016()()120720或者CAP AP ACA.（2）设 B=取到三个次品,则 33327()101000P A.8.某旅行社 100 名导游中有 43 人会讲英语，3

5、5 人会讲日语，32 人会讲日语和英语，9 人会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，求：（1）此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率；（2）此人只会讲法语的概率.解 设 A=此人会讲英语,B=此人会讲日语,C=此人会讲法语 根据题意,可得(1)32923()()()100100100P ABCP ABP ABC(2)()()()P ABCP ABP ABC 9.罐中有 12 颗围棋子，其中8 颗白子 4 颗黑子，若从中任取3 颗，求：（1）取到的都是白子的概率；（2）取到两颗白子，一颗黑子的概率；（3）取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（4）取到三颗棋子颜色相同的概

6、率.解 (1)设 A=取到的都是白子 则 3831214()0.25555CP AC.(2)设 B=取到两颗白子,一颗黑子 2184312()0.509C CP BC.(3)设 C=取三颗子中至少的一颗黑子 ()1()0.745 P CP A.(4)设 D=取到三颗子颜色相同 3384312()0.273CCP DC.10.（1）500 人中，至少有一个的生日是 7 月 1 日的概率是多少(1 年按 365 日计算)（2）6 个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少 解 (1)设 A=至少有一个人生日在 7 月 1 日,则 (2)设所求的概率为 P(B)11.将 C，C，E，E，I，N，

7、S 7 个字母随意排成一行，试求恰好排成SCIENCE 的概率 p.解 由于两个 C，两个 E 共有2222A A种排法，而基本事件总数为77A，因此有 12.从 5 副不同的手套中任取款 4 只，求这 4 只都不配对的概率.解 要 4 只都不配对，我们先取出 4 双，再从每一双中任取一只，共有4452C中取法.设 A=4 只手套都不配对，则有 13.一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第 i 只零件是不合格的概率为11ipi，i=1，2，3，若以x表示零件中合格品的个数，则 P(x=2)为多少 解 设 Ai=第 i 个零件不合格，i=1,2,3,则1()1iiP Api 所以()1

8、1iiiP Api 由于零件制造相互独立，有：123123()()()()P A A AP A P A P A，123123()()()()P A A AP A P A P A 14.假设目标出现在射程之内的概率为，这时射击命中目标的概率为，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率 p.解 设 A=目标出现在射程内，B=射击击中目标，Bi=第 i 次击中目标,i=1,2.则 P(A)=,P(Bi|A)=另外 B=B1+B2，由全概率公式 另外,由于两次射击是独立的,故 P(B1B2|A)=P(B1|A)P(B2|A)=由加法公式 P(B1+B2)|A)=P(B1|A)+P(B2|A)P(B1B

9、2|A)=+因此 P(B)=P(A)P(B1+B2)|A)=15.设某种产品 50 件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为，有 1，2，3，4件次品的概率分别为,，今从某批产品中抽取 10 件，检查出一件次品，求该批产品中次品不超过两件的概率.解 设 Ai=一批产品中有 i 件次品，i=0,1,2,3,4,B=任取 10 件检查出一件次品,C=产品中次品不超两件,由题意 由于 A0,A1,A2,A3,A4构成了一个完备的事件组,由全概率公式 由 Bayes 公式 故 16.由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏 2%，10%和 90%的概率分别为，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的

10、，试分析这批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率）.解 设 B=三件都是好的，A1=损坏 2%,A2=损坏 10%,A1=损坏 90%，则 A1,A2,A3是两两互斥,且 A1+A2+A3=,P(A1)=,P(A2)=,P(A2)=.因此有 P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=,由全概率公式 由 Bayes 公式,这批货物的损坏率为 2%,10%,90%的概率分别为 由于 P(A1|B)远大于 P(A3|B),P(A2|B),因此可以认为这批货物的损坏率为.17.验收成箱包装的玻璃器皿，每箱 24 只装，统计资料表明，每箱最多有两只残次品，且含

11、0，1 和 2 件残次品的箱各占 80%，15%和 5%，现在随意抽取一箱，随意检查其中 4 只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残次品，试求：（1）一次通过验收的概率；（2）通过验收的箱中确定无残次品的概率.解 设 Hi=箱中实际有的次品数,0,1,2i,A=通过验收 则 P(H0)=,P(H1)=,P(H2)=,那么有：(1)由全概率公式(2)由 Bayes 公式 得 18.一建筑物内装有 5 台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，每台设备被 使用的概率为，问在同一时刻（1）恰有两台设备被使用的概率是多少（2）至少有三台设备被使用的概率是多少 解 设 5 台设备在同一时

12、刻是否工作是相互独立的,因此本题可以看作是 5 重伯努利试验.由题意，有 p=,q=1p=,故(1)223155(2)(0.1)(0.9)0.0729PPC(2)2555(3)(4)(5)PPPP第二章 随机变量及其分布 1.有 10 件产品，其中正品 8 件，次品两件，现从中任取两件，求取得次品数X 的分律.解 X 的分布率如下表所示：X 0 1 2 p 28/45 16/45 1/45 2.进行某种试验，设试验成功的概率为34，失败的概率为14，以 X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出 X 的分布律，并计算 X 取偶数的概率.解 X 的分布律为：X 取偶数的概率：3.从 5 个数 1

13、，2，3，4，5 中任取三个为数123,x xx.求：4.Xmax(123,x xx)的分布律及 P(X4)；5.Ymin(123,x xx)的分布律及 P(Y3).解 基本事件总数为：3510C，(1)X 的分布律为：P(X4)=P(3)+P(4)=(2)Y的分布律为 P(X3)=0 函数 f(k)=!kCk，k1，2，06.C 应取何值，成为分布律 解 由题意,1()1kf x,即 解得：1(1)Ce 7.已知 X 的分布律 X 1 1 2 P 16 26 36 求：（1）X 的分布函数；（2）12P X；（3）312PX.解 (1)X 的分布函数为()()kkxxF xP Xxp X 3

14、 4 5 p Y 1 2 3 p 0,11/6,11()1/2,121,2xxF xxx ;(2)11(1)26P XP X (3)31()02PXP 8.设某运动员投篮投中的概率为P，求一次投篮时投中次数X 的分布函数，并作出其图形.解 X 的分布函数 9.对同一目标作三次独立射击，设每次射击命中的概率为p，求：10.（1）三次射击中恰好命中两次的概率；11.（2）目标被击中两弹或两弹以上被击毁，目标被击毁的概率是多少 解 设 A=三次射击中恰好命中两次，B=目标被击毁，则(1)P(A)=223 2233(2)(1)3(1)PC pppp(2)P(B)=223 2333 3233333(2)

15、(3)(1)(1)32PPC ppC pppp 12.一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4 的泊松分布，求：13.（1）每分钟恰有 6 次呼唤的概率；14.（2）每分钟的呼唤次数不超过 10 次的概率.解 (1)P(X=6)=6440.104!6!keek或者 P(X=6)=!kek446744!kkkkeekk=.(2)P(X 10)10440114411 0.00284!kkkkeekk =15.设随机变量X 服从泊松分布，且 P(X1)P(X2)，求P(X4)解 由已知可得，12,1!2!ee 解得=2，(=0 不合题意)422,(4)4!P Xe因此=16.商店订购 1000 瓶鲜

16、橙汁，在运输途中瓶子被打碎的概率为，求商店收到的玻璃瓶，（1）恰有两只；（2）小于两只；（3）多于两只；（4）至少有一只的概率.解 设 X=1000 瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子数，则 X 服从参数为n=1000,p=的二项分布，即 XB(1000,由于 n 比较大，p 比较小，np=3,因此可以用泊松分布来近似,即 X(3).因此 (1)P(X=2)2330.2242!e (2)323(2)1(2)11 0.8008 0.1992!kkP XP Xek (3)333(2)(2)0.5768!kkP XP Xek(4)313(1)0.9502!kkP Xek 17.设连续型随机变量 X 的

17、分布函数为 18.20,0(),011,1xF xkxxx 19.求：（1）系数 k；（2）PX；（3）X 的密度函数；（4）四次独立试验中有三次恰好在区间，内取值的概率.解 (1)由于当 0 x1 时，有 F(x)=P(Xx)=P(X0)+P(0Xx)=kx2 又 F(1)=1,所以 k12=1 因此 k=1.(2)PX=FF=(3)X 的密度函数为 (4)由(2)知，PX80/100)=P(Z=120.812(1)0.0272xx dx 如果供电量只有 80 万千瓦，供电量不够用的概率为：P(Z90/100)=P(Z=120.912(1)0.0037xx dx 22.某仪器装有三只独立工作

18、的同型号电子元件，其寿命(单位 小时)都服从同一指数分布，分布密度为 试求在仪器使用的最初 200 小时以内，至少有一只电子元件损坏的概率.解 设 X 表示该型号电子元件的寿命，则 X 服从指数分布，设 A=X200，则 P(A)=12006003011600 xedxe 设 Y=三只电子元件在 200 小时内损坏的数量，则所求的概率为：23.设 X 为正态随机变量，且 XN(2，2)，又 P(2X4)=，求 P(X0)解 由题意知 即20.30.50.8 故 20222(0)10.2XP XP 24.设随机变量 X 服从正态分布 N(10，4)，求a，使 P(|X10|0时，22222211

19、2()()|()|()|22yyyYXXfyfyyfyyeee 当 y0 时，()Yfy 0 因此有 222,0()0,0yYeyfyy 30.若随机变量 X 的密度函数为 求 Y1x的分布函数和密度函数.解 y=1x 在(0,1)上 严 格 单 调，且 反 函 数 为 h(y)=1y,y1,h(y)=21y 因此有 43,1()0,Yyyfyother 2X-4 0 4 6 p 1/7 1/7 3/7 2/7 X2 0 4 9 p 1/7 4/7 2/7 Y 的分布函数为：433131,1()10,yYyy dyyyyFyother 31.设随机变量 X 的密度函数为 试求 YlnX 的密度

20、函数.解 由于lnyx严格单调，其反函数为(),()yyh yeh ye且,则 32.设随机变量 X 服从 N(,2)分布，求 Yxe的分布密度.解 由于xye严格单调，其反函数为1()ln,(),h yyh y且yy0,则 当0y 时()0Yfy 因此 221(ln)21,0()20,0yYeyfyyy 33.假设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，证明：Y21xe在区间(0,1)上服从均匀分布.解 由 于21xye 在(0,+)上 单 调 增 函 数，其 反 函 数 为：1()ln(1),01,2h yyy 并且1()2(1)h yy，则当01y 当 y0 或 y1 时，()Yfy=

21、0.因此 Y 在区间(0,1)上服从均匀分布.34.把一枚硬币连掷三次，以 X 表示在三次中正面出现的次数，Y 表示三次中出现正面的次数与出现反面的次数之差的绝对值，试求（X，Y）的联合概率分布.解 根据题意可知,(X,Y)可能出现的情况有：3 次正面，2 次正面 1 次反面,1 次正面 2 次反面,3 次反面,对应的 X,Y 的取值及概率分别为 P(X=3,Y=3)=18 P(X=2,Y=1)=223113228C P(X=1,Y=1)=3 113113228C P(X=0,Y=3)=31128 于是，（X，Y）的联合分布表如下：X Y 0 1 2 3 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8

22、 0 0 1/8 35.在 10件产品中有2 件一级品，7 件二级品和1 件次品，从 10 件产品中无放回抽取 3 件，用 X 表示其中一级品件数，Y 表示其中二级品件数，求：36.（1）X 与 Y 的联合概率分布；（2）X、Y 的边缘概率分布；（3）X 与 Y 相互独立吗 解 根据题意，X 只能取 0，1，2，Y 可取的值有：0，1，2，3，由古典概型公式得：(1)271310(,),ijkijC C CpP Xi YjC其中,3,0,1,2,ijki 0,1,2,3j 0,1k,可以计算出联合分布表如下 Y X 0 1 2 3 0 0 0 21/120 35/120 56/120 1 0

23、14/120 42/120 0 56/120 2 1/120 7/120 0 0 8/120 1/120 21/120 63/120 35/120 (2)X,Y 的边缘分布如上表(3)由 于P(X=0,Y=0)=0,而P(X=0)P(Y=0)0,P(X=0,Y=0)P(X=0)P(Y=0),因此 X,Y 不相互独立.37.袋中有 9 张纸牌，其中两张“2”，三张“3”，四张“4”，任取一张，不放回，再任取一张，前后所取纸牌上的数分别为 X 和 Y，求二维随机变量(X,Y)的联合分布律，以及概率 P(XY6)解 (1)X,Y 可取的值都为 2,3,4,则(X,Y)的联合概率分布为：Y X 2 3

24、 4 2 2/9 3 1/3 4 4/9 2/9 1/3 4/9 (2)P(X+Y6)=P(X=3,Y=4)+P(X=4,Y=3)+P(X=4,Y=4)=1/6+1/6+1/6=1/2.38.设二维连续型随机变量(X,Y)的联合分布函数为(,)arctanarctan23xyF x yA BC,求：（1）系数A、B 及 C；（2）(X,Y)的联合概率密度；（3）X，Y 的边缘分布函数及边缘概率密度；（4）随机变量X 与 Y 是否独立 解 (1)由(X,Y)的性质,F(x,-)=0,F(-,y)=0,F(-,-)=0,F(+,+)=1,可以得到如下方程组：解得：21,22ABC(2)2222(,

25、)6(,)(4)(9)F x yf x yx yxy (3)X 与 Y 的边缘分布函数为：X 与 Y 的边缘概率密度为：(4)由(2),(3)可知：(,)()()XYf x yfx fy,所以 X，Y 相互独立.39.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为（1）求分布函数 F(x,y)；（2）求(X，Y)落在由 x0，y0，xy1 所围成的三角形区域G 内的概率.解 (1)当 x0,y0 时，()00(,)(1)(1)yxu vxyF x yedudvee 否则，F(x,y)=0.(2)由题意，所求的概率为 40.设随机变量（X，Y）的联合概率密度为 求：（1）常数 A；（2）X，Y 的边缘

26、概率密度；（3）(01,02)PXY.解 (1)由联合概率密度的性质，可得 解得 A=12.(2)X,Y 的边缘概率密度分别为：(3)(01,02)Pxy 41.设随机变量（X，Y）的联合概率密度为 求 P(XY1).解 由题意，所求的概率就是(X,Y)落入由直线 x=0,x=1,y=0,y=2,x+y=1围的区域 G 中,则 42.设二维随机变量(X,Y)在图所示的区域 G 上服从均匀分布，试求(X,Y)的联合概率密度及边缘概率密度.解 由于(X,Y)服从均匀分布，则 G 的面积 A 为：2112001(,)()6xxGAf x y dxdydxdyxxdx,(X,Y)的联合概率密度为：6,

27、01(,)0,xf x yother.X,Y 的边缘概率密度为：43.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在(0,上服从均匀分布，Y 的概率密度是 求：（1）X 和 Y 和联合概率密度；（2）P(YX).解 由于 X 在(0,上服从均匀分布，所以()1/0.25Xfx (1)由于 X，Y 相互独立，因此 X,Y 的联合密度函数为：(2)由题意，所求的概率是由直线 x=0,x=,y=0,y=x 所围的区域，如右图所示，因此 44.设（X，Y）的联合概率密度为 求 X 与 Y 中至少有一个小于12的概率.解 所求的概率为 45.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 1 1 3 Y 3

28、 1 P 12 15 310 P 14 34 求二维随机变量（X，Y）的联合分布律.解 由独立性，计算如下表 X Y-1 1 3 -3 1/8 1/20 3/40 1/4 1 3/8 3/20 9/40 3/4 1/2 1/5 6/20 46.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为 X 1 2 3 Y 1 16 19 118 2 a b c（1）求常数a，b，c 应满足的条件；（2）设随机变量X 与 Y 相互独立，求常数a，b，c.解 由联合分布律的性质，有：11116918abc,即 a+b+c=12133 又，X,Y 相互独立，可得 1 11:6 9 18a b c 从而可以得到：121,

29、399abc 47.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 求边缘分布函数()xF x与()yFy，并判断随机变量 X 与 Y 是否相互独立.解 由题意,边缘分布函数 下面计算 FY(y)可以看出，F(x,y)=Fx(x)FY(y),因此，X，Y 相互独立.48.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 求边缘概率密度()Xfx与()Yfy，并判断随机变量 X 与 Y 是否相互独立.解 先计算()Xfx,当x1 时,()0Xfx 当x1 时,113331222()1yyXfxedyexxx 再计算()Yfy,当y1 时,()0Yfy 当y1 时,11132121()1yyyYfyedxeex

30、x 可见,(,)()()XYf x yfx fy,所以随机变量 X,Y 相互独立 49.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 求边缘概率密度()Xfx与()Yfy，并判断随机变量 X 与 Y 是否相互独立.解 先计算()Xfx,当x1 时,()0Xfx 当 1x0 时,1212011()02Xfxxydyxyyx 再计算()Yfy,当y1 时,()0Yfy 当 1y0 时,120111()022Yfyxydxxyxy 由于11(,)()()22XYf x yxyfx fyxy,所以随机变量X,Y不独立 50.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 求随机变量ZX2Y的分布密度.解 先求Z

31、 的分布函数F(z):2()()(2)(,)D XYzF zP ZzP XYzf x y dxdy 当 z0,y0,x2yz 求得2220()2zzyxyF zdyedx 当 z0 时，积分区域为：D=(x,y)|x0,y0,x2y z，2200()2zyxyF zdyedx 由此,随机变量 Z 的分布函数为 因此,得 Z 的密度函数为：51.设随机变量 X 和 Y 独立，X2()N，Y 服从b，b(b0)上的均匀分布，求随机变量 ZXY 的分布密度.解 解法一 由题意，令)/,zyatdydtyb b (则 解法二 52.设X服从参数为12的指数分布，Y服从参数为13的指数分布，且X与Y独立

32、，求ZXY的密度函数.解 由题设，X12120,0(),0Xxxfxex,Y13130,0(),0Yxxfyex 并且，X，Y相互独立，则()()()ZXYFzfx fzx dx 由于()Xfx仅在 x0 时有非零值，()Yfzx仅当zx0，即zx时有非零值，所以当 z0 时，有 0zx,因此 53.设（X，Y）的联合分布律为 X 0 1 2 3 Y 0 0 1 2 求：（1）ZXY的分布律；（2）Umax（X，Y）的分布律；（3）Vmin（X，Y）的分布律.解 (1)X+Y的可能取值为：0，1，2，3，4，5，且有 P(Z=0)=P(X=0,Y=0)=0 P(Z=1)=P(X=1,Y=0)+

33、P(X=0,Y=1)=P(Z=2)=P(X=2,Y=0)+P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=P(Z=3)=P(X=3,Y=0)+P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)=P(Z=4)=P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=1)=P(Z=5)=P(X=3,Y=2)=Z=X+Y 的分布如下 Z 0 1 2 3 4 5 p 0 同理，U=max(X,Y)的分布如下 U0,1,2,3 U 0 1 2 3 p 0 同理，V=min(X,Y)的分布分别如下 V0,1,2V 0 1 2 p 第三章 随机变量的数字特征 1.随机变量 X 的分布列为 X 1 0 12 1 2 P 13 16 16

34、112 14 求 E(X)，E(X1)，E(X2)解 111111136261243()1012E X 111111236261243(1)(1)1)(01)(1)(1 1)(21)EX 或者1233(1)()(1)()11EXEXEE X 2.一批零件中有 9 件合格品与三件废品，安装机器时从这批零件中任取一件，如果取出的废品不再放回，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望.解 设取得合格品之前已经取出的废品数为X,X 的取值为 0,1,2,3,Ak表示取出废品数为 k 的事件，则有：3.已知离散型随机变量 X 的可能取值为1、0、1，E(X)，E(X2)，求 P(X=1)，P(X0)，

35、P(X1).解 根据题意得：可以解得 P(X1)=,P(X=1)=,P(X=0)=1 P(X1)P(X=1)=1=4.设随机变量 X 的密度函数为 求 E(X).解 由题意,101()()2(1)3E Xxf x dxx xdx,5.设随机变量 X 的密度函数为 求 E(2X)，E(2xe).解 0(2)2()2xEXxf x dxxe dx 6.对球的直径作近似测量，其值均匀分布在区间a，b上，求球的体积的数学期望.解 由题意，球的直接 DU(a,b),球的体积 V=3432D 因此，341()()32baxE VVf x dxdxba 7.设随机变量 X，Y 的密度函数分别为 求 E(XY

36、)，E(2X3Y2).解 ()()()E XYE XE Y 8.设随机函数 X 和 Y 相互独立，其密度函数为 求 E(XY).解 由于 XY 相互独立,因此有 9.设随机函数 X 的密度为 求 E(X),D(X).解 1211()()01xE Xxf x dxdxx 10.设随机函数 X 服从瑞利(Rayleigh)分布,其密度函数为 其中0 是常数，求 E(X)，D(X).解 2222222200()()xxxE Xxf x dxedxxde 11.抛掷 12 颗骰子，求出现的点数之和的数学期望与方差.解 掷 1 颗骰子，点数的期望和方差分别为：E(X)=(1+2+3+4+5+6)/6=7

37、/2 E(X2)=(12+22+32+42+52+62)/6=91/6 因此 D(X)=E(X2)(E(X)2=35/12 掷 12 颗骰子,每一颗骰子都是相互独立的,因此有：E(X1+X2+X12)=12E(X)=42 D(X1+X2+X12)=D(X1)+D(X2)+D(X12)=12D(X)=35 12.将 n 只球（1n 号）随机地放进 n 只盒子（1n 号）中去，一只盒子装一只球，将一只球装入与球同号码的盒子中，称为一个配对，记 X 为配对的个数，求 E(X),D(X).解 （1）直接求 X 的分布律有些困难，我们引进新的随机变量 Xk 1,0,kkXk第 只球装入第k号盒子第 只球

38、没装入第k号盒子,则有：1nkkXX，Xk服 0-1 分布 因此：11(0)11,(1),kkP XpP Xpnn （2）kjX X服从 0-1 分布，则有 故，E(X)=D(X)=1.我们知道，泊松分布具有期望与方差相等的性质，可以认定，X 服从参数为 1 的泊松分布.13.在长为 l 的线段上任意选取两点，求两点间距离的数学期望及方差.解 设所取的两点为 X,Y,则 X,Y 为独立同分布的随机变量,其密度函数为 依题意有 D(XY)=E(XY)2)(E(XY)2=2221116918lll 14.设随机变量 X 服从均匀分布，其密度函数为 求 E(2X2)，D(2X2).解 1222220

39、1(2)2()2()226EXE Xx f x dxx dx 15.设随机变量 X 的方差为，试利用切比雪夫不等式估计概率 的值.解 由切比雪夫不等式,取27.5,2.5,得 22.52()7.5)7.545P XE X.16.在每次试验中，事件 A 发生的概率为，如果作 100 次独立试验，设事件 A 发生的次数为 X，试利用切比雪夫不等式估计 X 在 40 到 60 之间取值的概率 解 由题意，XB(100，,则 E(X)=np=50,D(X)=npq=25 根据切比雪夫不等式,有 25311004.17.设连续型随机变量 X 的一切可能值在区间a，b内，其密度函数为()fx，证明：（1）

40、aE(X)b；（2）D(X 2(b-a)4.解 (1)由题意，aXb,那么 ()(),E Xxf x dxaxb则 由于()1f x dx 所以aE(X)b(2)解法(一)即 2()0 xab xab,又 22()()()D XE XE X 解法(二),由于 18.设二维随机变量（X，Y）的分布律为 X 0 1 Y 1 2 求 E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，cov(X,Y)，XY及协方差矩阵.解 由题设，E(XY)=00+01+10+11=cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=协方差矩阵为 19.设二维随机变量（X，Y）的分布律为 X 1 0 1 Y 1 18 18 18 0

41、 18 0 18 1 18 18 18 试验证 X 和 Y 是不相关的，但 X 和 Y 不是相互独立的.解 由于 111111(1)(1)(1)0(1)10(1)(1)1 01 10888888 因此0XY,即 X 和 Y 是不相关的.但由于111(0)(0)0(0,0)8816P XP YP XY,因此 X,Y 不是相互独立的.20.设二维随机变量（X，Y）的密度函数为 求 E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，cov(X,Y)，XY及协方差矩阵.解 2011()(,)()(1)84Xfxf x y dyxy dyx 又2222015()()(1)43XE Xx fx dyxxdy 同理可

42、得 711(),()636E YD Y,协方差矩阵为 21.已知随机变量(X,Y)服从正态分布，且 E(X)E(Y)=0，D(X)=16，D(Y)=25，cov(X,Y)12，求(X,Y)的密度函数.解 由题意,cov(,)123205()()X YD XD Y 则密度函数为 22.设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 E(X)E(Y)0，D(X)D(Y)1，试求 E(XY)2).解 22222()2()()(2)E X YE XYXYE XE YE XY 由于222222D(X)=E(X)E(X)E(X)=1,D(Y)=E(Y)E(Y)E(Y)=1 因此有 23.设随机变量 X 和 Y 的方

43、差分别为 25，36，相关系数为，试求 D(XY)，D(XY).解 由题意，D(X+Y)=2(cov(X,Y)+D(X)+D(Y)=24+25+36=85 因为 cov(X,Y)=cov(X,Y)=12 因此 D(XY)=2(cov(X,Y)+D(X)+D(Y)=24+25+36=37.24.设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都服从正态分布 N(0,2)，令 UaXbY，VaXbY，试求 U 和 V 的相关系数.解 由于 X，Y 相互独立，则都服从 N(0,2)第四章 大数定律与中心极限定理 1.设 Xi，i1，2，50 是相互独立的随机变量，且它们都服从参数为的泊松分布.记 XX1X2+X

44、50，试利用中心限定理计算 P(X2).解 由题意，E(Xi)=D(Xi)=，501iiXX由中心极限定理随机变量50 0.02150 0.02XnXXn近似服从标准正态分布 所以有2.某计算机系统有 100 个终端，每个终端有 2的时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试分别用二项分布、泊松分布、中心极限定理，计算至少一个终端被使用的概率.解 设 X 为被使用的终端数,由题意,XB(100,(1)用二项分布计算 (2)用泊松分布近似计算 因为 np=100=2,查表得 (1)1(0)1P XP X =.(3)中心极限定近似计算 3.一个部件包括 10 个部分，每部分的长度是一个随机变量

45、，它们相互独立，服从同一分布，数学期望为 2mm，均方差不 0.05mm，规定部件总长度为 200.1mm 时为合格品，求该部件为合格产品的概率.解 设 Xi表示一部分的长度,i=1,2,10.由于 X1,X2,X10相互独立,且 E(Xi)=2,D(Xi)=,根据独立同分布中心极限定理，随机变量 10111(2)(20)0.1580.05kkXXn 近似地服从标准正态分布.于是 4.计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在,上服从均匀分布.(1)若将 1500 个数相加，试求误差总和的绝对值超过 15 的概率；(2)多少个数相加可使

46、误差总和绝对值小于 10 的概率为的概率.解 设 Xi表示一个加数的误差，则 XiU,E(Xi)=0,D(Xi)=1/12 (1)根据独立同分布中心极限定理，随机变量 近似地服从标准正态分布.于是 因此所求的概率为：1-P(-15X15)=(2)由题意，设有 n 个数相加可使误差总和绝对值小于 10 的概率为,X=nXi.由独立同分布的中心极限定理，随机变量111()/12niiiXE XXnn近似地服从标准正态分布.则 1010(10)(1010)/12/12/12XP XPXPnnn=查表得 10/12n=,解得：n=443 即 443个数相加可使误差总和绝对值小于 10 的概率为的概率

47、5.为了确定事件A 的概率，进行了一系列试验.在 100次试验中，事件 A 发生了 36 次，如果取频率作为事件A 的概率p 的近似值，求误差小于的概率.解(删除)6.一个复杂系统由10000个相互独立的部件组成，在系统运行期间，每个部件损坏的概率为，又知为使系统正常运行，至少有89的部件工作.（1）求系统的可靠度（系统正常运行的概率）；（2）上述系统由 n 个相互独立的部件组成，而且要求至少有 87的部件工作，才能使系统正常运行，问 n 至少为多在时，才能保证系统的可靠度达到 解 设 X 表示正常工作的部件数，XB(10000,(1)所求的概率为(0.89 10000)P X,由于 n 比较

48、大，可以使用中心极限定理，由于()9000,()(1)900E XnpD Xnpp，近似地有，XN(9000,900),则 (2)根据题意,设 X 为正常工作的部件数，则()0.9,E Xnpn ()(1)0.09D Xnppn 根据中心极限定理,近似地有 XN,查表得 2.010n,n=400,即,n 至少为 400 时,才能保证系统的可靠度达到%.7.某单位有 200 台电话分机，每台分机有 5的时间要使用外线通话，假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线才能以90以上的概率保证分机使用外线时不等待 解 设 X 为某时刻需要使用外线的户数（分机数），显然 X(20

49、0,，E(X)=np=10,D(X)=np(n-p)=.设 k 是为要设置的外线的条数，要保证每个要使用外线的用户能够使用上外线，必须有 kX.根据题意应有：这里 n=200，较大，可使用中心极限定理，近似地有 XN(10,：经过查表，101.29,13.979.5kk，取k=14 即至少 14 条外线时，才能保证要使用外线的用户都能使用外线的概率大于95%.8.设n为 n 重伯努利试验中成功的次数，p 为每次成功的概率，当 n 充分大时，试用棣莫弗拉普拉斯定律证明(|)21nnPpnpq .式中，pq1；x是标准正态分布的分布函数.证明 由题意，(,)nB n p,(),()nnEnp Dn

50、pq,当 n 很大时，n近似服 从 正 态 分 布，即(,)nN np npq,或 者 使 用 标 准 化 的 随 机 变 量：(0,1)nnpNnpq,1qp 因此，由棣莫弗-拉普拉斯定理，有=nnnpnPnpnPnpqnpq 9.现有一大批种子，其中良种占14，今在其中任选 4000 粒，试问在这些种子中，良种所占比例与14之差小于 1的概率是多少 解 设 X 为 4000 粒种子中良种粒数，则所求的概率为：因为，X B(4000,由棣莫弗-拉普拉斯定理，有 10.一批种子中良种占16，从中任取 6000 粒，问能以的概率保证其中良种的比例与16相差多少这时相应的良种粒数落在哪个范围 解