2011年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学试题(文科)(解析版).pdf

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1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文）试题解析 本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷 注意事项：1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。参考公式：如果事件 A，B 互斥，那么 棱柱的体积公式VSh ()()()P ABP AP

2、B 其中 S 表示棱柱的底面面积。h表示棱柱的高。一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1i是虚数单位，复数131ii=()A2i B2i C12i D12i 【答案】A【解析】1 3(1 3)(1)4221(1)(1)2iiiiiiii 2设变量 x，y 满足约束条件1,40,340,xxyxy则目标函数3zxy的最大值为()A-4 B0 C43 D4【答案】D【解析】可行域如图：联立40340 xyxy解得22yx当目标直线3zxy移 至（2.2）时，3zxy有最大值 4.3阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为-4，则输出y的值为()A,05 B1 C

3、2 D4【答案】C【解析】当4x 时，37xx；当7x 时，34xx 当4x 时，31|3|xx，22y.4设集合|20,|0AxR xBxR x，|(2)0CxR x x，则“xAB”是“xC”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D即不充分也不必要条件【答案】C【解析】20Axkx，0Bxk x，0ABx x，或2x，又(2)00Cxk x xxk x或2x，ABC，即“xAB”是“xC”的充分必要条件.5已知244log 3.6,log 3.2,log 3.6abc则()Aabc Bacb Cbac Dcab【答案】B【解析】3.6222loglog1a，又4lo

4、gxy 为单调递增函数，3.23.64444logloglog1，bca.6已知双曲线22221(0,0)xyabab的左顶点与抛物线22(0)ypx p的焦点的距离为 4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为（）A2 3 B2 5 C4 3 D4 5【答案】B【解析】双曲线22215xya的渐近线为byxa，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（2，1）得22p，即4p，又42 ap，2a，将（2，1）代入byxa得1b，224 15cab，即22 5c.7已知函数()2sin(),f xxxR，其中0,()f x若的最小正周期为6，

5、且当2x时，()f x取得最大值，则（）A()f x在区间 2,0上是增函数 B()f x在区间 3,上是增函数 C()f x在区间3,5 上是减函数 D()f x在区间4,6 上是减函数【答案】A【解析】62，31.又12,322kkz 且4，当0k 时，1,()2sin()333f xx，要使()f x递增，须有122,2332kxkkz，解之得566,22kxkkz，当0k 时，522x，()f x在5,22上递增.8对实数ab和，定义运算“”：,1,1.a ababb ab设函数2()(2)(1),f xxxxR。若函数()yf xc的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）

6、A(1,1(2,)B(2,1(1,2 C(,2)(1,2 D-2，-1【答案】B【解析】112,112,2)(2222xxxxxxxxf 2,1,121,22xxxxx或 则()f x的图象如图，函数cxfy)(的图象与x轴恰有两个公共点，函数()yf x与yc的图象有两个交点，由图象可得21,12,cc 或.第卷 注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2本卷共 12 小题，共 110 分。二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9 已知集合|12,AxRxZ为整数集，则集合AZ中所有元素的和等于_【答案】3【解析】1213A xk xxx.2,1,0Z

7、A，即.3210 10一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_3m【答案】4【解析】2 1 1 1 1 24v .x y o 1 2 3 4-1-2-3-4 1 2 3 4-1-2-3 11已知 na为等差数列，nS为其前n项和，*nN，若32016,20,aS则10S的值为_【答案】110【解析】设等差数列的首项为1a，公差为d，由题意得，202219202016212013aSdaa，解之得120,2ad，1010 910 20(2)1102s.12已知22loglog1ab，则39ab的最小值为_ 【答案】18【解析】1logloglog222abba，2ab，183

8、23233233932222abbabababa.13如图已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长 线上一点，且2,:4:2:1.DFCFAF FB BE 若CE与圆相切，则CE的长为_【答案】27【解析】设kAF4，kBF2，kBE，由BFAFFCDF得282k，即21k.27,21,1,2AEBEBFAF，由切割定理得4727212EABECE，27CE.14已知直角梯形ABCD中，AD/BC,090ADC,2,1ADBC,P是腰DC上的动点，则3PAPB的最小值为_【答案】5【解析】建立如图所示的坐标系，设PCh，则(2,0),(1,)ABh，设(0,),(0)Pyyh 则(2,

9、),(1,)PAy PBhy，2325(34)255PAPBhy.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（本小题满分 13 分）编号为1216,A AA的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 得分 15 35 21 28 25 36 18 34 运动员编号 9A 10A 11A 12A 13A 14A 15A 16A 得分 17 26 25 33 22 12 31 38（）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间 10,20 20,30 30,40 人数 （）从得分在

10、区间20,30内的运动员中随机抽取 2 人，（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这 2 人得分之和大于 50 的概率 （15）本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式的等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力，满分 13 分。（）解：4，6，6 （）（i）解：得分在区间20,30)内的运动员编号为345101113,.A A A AAA从中随机抽取 2 人，所有可能的抽取结果有：343531031131345,A AA AA AA AA AA A410,A A，411413510511513101110131113

11、,A AA AA AA AA AAAAAAA，共 15 种。（ii）解：“从得分在区间20,30)内的运动员中随机抽取 2 人，这 2 人得分之和大于 50”（记为事件 B）的所有可能结果有：454104115101011,A AA AA AA AAA，共 5 种。所以51().153P B 16（本小题满分 13 分）在ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b c，已知,23.BCba（）求cos A的值；（）cos(2)4A的值（16）本小题主要考查余弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力，满分 13 分。（）解：由3,2

12、3,2BCbacba可得 所以22222233144cos.2333222aaabcaAbcaa （）解：因为1cos,(0,)3AA，所以22 2sin1cos3AA 274 2cos22cos1.sin22sincos.99AAAAA 故 所以724 2287 2cos 2cos2 cossin2 sin.444929218AAA 17（本小题满分 13 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为 平行四边形，045ADC，1ADAC，O为AC中点，PO 平面ABCD，2PO，M为PD中点（）证明：PB/平面ACM；（）证明：AD 平面PAC；（）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值

13、 DCABPMO（17）本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分 13 分。（）证明：连接 BD，MO，在平行四边形 ABCD 中，因为 O 为 AC 的中点，所以 O 为 BD 的中点，又 M 为 PD 的中点，所以 PB/MO。因为PB 平面 ACM，MO 平面 ACM，所以 PB/平面 ACM。（）证明：因为45ADC，且 AD=AC=1，所以90DAC，即ADAC，又 PO平面 ABCD，AD 平面 ABCD，所以,POADACPOO而，所以AD 平面 PAC。（）解：取 DO 中点 N，连接 MN，AN

14、，因为 M 为 PD 的中点，所以 MN/PO，且11,2MNPOPO由平面 ABCD，得MN 平面 ABCD，所以MAN是直线 AM 与平面ABCD所成的角，在Rt DAO中，11,2ADAO，所以52DO，从而1524ANDO，在14 5,tan554MNRt ANMMANAN中，即直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值为4 5.5 18（本小题满分 13 分）设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为 F1，F2。点(,)P a b满足212|.PFF F （）求椭圆的离心率e；（）设直线 PF2与椭圆相交于 A，B 两点，若直线 PF2与圆22(1)(3)16xy相交于

15、 M，N 两点，且5|8MNAB，求椭圆的方程。（18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，满分 13 分。（）解：设12(,0),(,0)(0)FcF cc，因为212|PFF F，所以22()2acbc，整理得2210,1cccaaa 得（舍）或11,.22cea所以 （）解：由（）知2,3ac bc，可得椭圆方程为2223412xyc，直线 FF2的方程为3().yxc A，B 两点的坐标满足方程组2223412,3().x

16、ycyxc消去y并整理，得2580 xcx。解得1280,5xxc，得方程组的解21128,0,53,3 3.5xcxycyc 不妨设83 3,55Acc，(0,3)Bc，所以2283 316|3.555ABcccc 于是5|2.8MNABc 圆心1,3到直线 PF2的距离|333|3|2|.22ccd 因为222|42MNd，所以223(2)16.4cc 整理得2712520cc，得267c （舍），或2.c 所以椭圆方程为221.1612xy 19（本小题满分 14 分）已知函数32()4361,f xxtxtxtxR，其中tR（）当1t 时，求曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方

17、程；（）当0t 时，求()f x的单调区间；（）证明：对任意的(0,),()tf x在区间(0,1)内均存在零点 （19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分 14 分。（）解：当1t 时，322()436,(0)0,()1266f xxxx ffxxx (0)6.f 所以曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程为6.yx （）解：22()1266fxxtxt，令()0fx，解得.2txtx 或 因为0t，以下分两种情况讨论：（1）若0,2tttx 则当变化时，(),()fxf x的

18、变化情况如下表：x,2t,2tt,t ()fx+-+()f x 所以，()f x的单调递增区间是,;()2ttf x 的单调递减区间是,2tt。（2）若0,2ttt 则，当x变化时，(),()fxf x的变化情况如下表：x,t,2tt,2t()fx+-+()f x 所以，()f x的单调递增区间是,;()2ttf x 的单调递减区间是,.2tt （）证明：由（）可知，当0t 时，()f x在0,2t内的单调递减，在,2t内单调递增，以下分两种情况讨论：（1）当1,22tt即时，()f x在（0，1）内单调递减，2(0)10,(1)643644230.ftftt 所以对任意2,),()tf x在

19、区间（0，1）内均存在零点。（2）当01,022tt即时，()f x在0,2t内单调递减，在,12t内单调递增，若33177(0,1,10.244tfttt 2(1)643643230.fttttt 所以(),12tf x在内存在零点。若3377(1,2),110.244ttfttt (0)10ft 所以()0,2tf x在内存在零点。所以，对任意(0,2),()tf x在区间（0，1）内均存在零点。综上，对任意(0,),()tf x在区间（0，1）内均存在零点。20（本小题满分 14 分）已知数列 nnab与满足1*1113(1)(2)1,2.2nnnnnnnbab abnNa 且 （）求2

20、3,a a的值；（）设*2121,nnncaanN，证明 nc是等比数列；（）设nS为na的前n项和，证明*21212122121().3nnnnSSSSnnNaaaa （20）本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分 14 分。（）解：由1*3(1),2nnbnN，可得2,1,nnbn为奇数为偶数,又1121nnnnnbab a，当121231,21,2,;2naaaa 时由可得 当2332,25,8.naaa时可得 （）证明：对任意*nN 21212221nnnaa 2221221nnnaa -，得21211212132,32,4nnnnnnncaacc即于是 所以 nc是等比数列。（）证明：12a，由（）知，当*2kNk且时，2113153752123()()()()kkkaaaaaaaaaa 13523212(14)23(2222)23214kkk 故对任意*2121,2.kkkNa 由得212121*2212221,2,2kkkkkaakN 所以 因此，21234212()()().2kkkkSaaaaaa 于是，21222112.2kkkkkSSa 故21221221222121212121221.1222144(41)22kkkkkkkkkkkkkkkSSkkkaa