2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何Word版含答案.pdf

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1、2013 年全国高考理科数学试题分类汇编 7:立体几何 一、选择题 1（2013 年高考新课标 1（理)）如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 （)A35003cm B38663cm C313723cm D320483cm【答案】A 2 （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版）设,m n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A若，m,n，则mn B若/,m，n，则/mn C若mn，m,n,则 D若m，/mn，

2、/n，则【答案】D 3(2013 年上海市春季高考数学试卷（含答案)）若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为（)A1:2 B1:4 C1:8 D1:16【答案】C 4 （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案(已校对）已知正四棱柱1111ABCDABC D中12AAAB,则CD与平面1BDC所成角的正弦值等于(）A23 B33 C23 D13【答案】A 5 （2013 年高考新课标 1(理）)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （)A168 B88 C1616 D8 16【答案】A 6 （2013 年高考湖北卷（理）)一个几何体的三视图如

3、图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V，2V,3V，4V，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体,则有（）A1243VVVV B1324VVVV C213VVV 【答案】C 7(2013 年高考湖南卷（理)已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A1 B2 C2-12 D2+12 【答案】C 8 （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理）卷（纯 WORD 版）某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 （）A4 B143 C163 D6【答案】B 9 (2013 年普通高等学校

4、招生统一考试新课标卷数学(理）（纯 WORD 版含答案)）已知nm,为异面直线,m平面，n平面。直线l满足,lm ln ll,则（）A/,且/l B,且l C与相交,且交线垂直于l D与相交，且交线平行于l【答案】D 10（2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题（含答案）已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面垂直，体积为94,底面是边长为3的正三角形.若P为底面111ABC的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A512 B3 C4 D6【答案】B 11（2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理）试题(含答案）某几何体的三视图如题 5图所示，则该几何体的体积为（）

5、1 2 2 1 1 正视图 俯视图 侧视图 第 5 题图 A5603 B5803 C200 D240 【答案】C 12（2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题(WORD 版）已知三棱柱111ABCABC的6个顶点都在球O的球面上,若34ABAC，,ABAC,112AA,则球O的半径为（）A3 172 B2 10 C132 D3 10 【答案】C 13(2013 年高考江西卷(理)）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且ABCD,正方体的六个面所在的平面与直线 CE，EF 相交的平面个数分别记为,m n，那么mn （）A8 B9 C10 D11【答案】A 14（201

6、3 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学(理）（纯 WORD 版含答案）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为 （)A B C D【答案】A 15(2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版)）在下列命题中,不是公理的是(）A平行于同一个平面的两个平面相互平行 B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D如果两个不重合的平面有一个公共点,

7、那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A 16（2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题(纯 WORD 版）在空间中,过点A作平面的垂线,垂足为B,记)(AfB.设,是两个不同的平面，对空间任意一点P,)(),(21PffQPffQ，恒有21PQPQ,则（)A平面与平面垂直 B 平面与平面所成的（锐)二面角为045 C平面与平面平行 D 平面与平面所成的(锐)二面角为060 【答案】A 17（2013 年高考四川卷（理)）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 【答案】D 二、填空题 18（2013 年高考上海卷(理）在xOy平面上,将两个半圆弧22(1)1(

8、1)xyx和22(3)1(3)xyx、两条直线1y 和1y 围成的封闭图形记为 D，如图中阴影部分.记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为，过(0,)(|1)yy 作的水平截面,所得截面面积为2418y,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为_ 【答案】2216。19（2013 年高考陕西卷(理）某几何体的三视图如图所示，则其体积为_3_。1121【答案】3 20（2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理）WORD 版含答案（已校对）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，32OK，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60，则球O的表面积

9、等于_.【答案】16 21(2013 年高考北京卷（理）)如图，在棱长为 2 的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点,点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为_。【答案】2 55 22（2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学)（已校对纯 WORD 版含附加题）)如图,在三棱柱ABCCBA111中,FED，分别是1AAACAB，的中点,设三棱 锥ADEF 的 体 积 为1V,三 棱 柱ABCCBA111的 体 积 为2V，则21:VV_。【答案】1:24 23（2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理）试题（纯 WORD 版）)若某几何体的三视图

10、(单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于_2cm。【答案】24 24（2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理)试题（纯 WORD 版）)如图,正方体4 3 2 3 3 正视图 侧视图 俯视图（第 12 题图）ABC1ADEF1B1C1D 1B P D 1C C E B A 1A 1111ABCDABC D的棱长为 1，P 为 BC 的中点，Q 为线段1CC上的动点，过点 A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为 S。则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号）。当102CQ时,S 为四边形;当12CQ 时，S 为等腰梯形;当34CQ 时,S 与11C D的交点R满足1113C

11、R;当314CQ时,S为六边形;当1CQ 时,S的面积为62.【答案】25（2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理)试题(WORD 版）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是_.【答案】1616 26（2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理）试题（纯 WORD 版）)已知某一多面体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为 2 的正方形,则该球的表面积是_ 【答案】12 27（2013 年上海市春季高考数学试卷（含答案）在如图所示的正方体1111ABCDABC D中,异面直线1AB与1BC所成角的大小为_ 【答案】3

12、三、解答题 28（2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版）如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点。(I)求证：PACPBC平面平面；(II)2.ABACPACPBA若，1，1，求证：二面角的余弦值 【答案】D1 C1 B1 A1 D C A B 29（2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题(含答案）如图,四棱锥PABCD中，PAABCD 底面,2,4,3BCCDACACBACD，F为PC的中点,AFPB。(1）求PA的长;（2)求二面角BAFD的正弦值。【答案】1(2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯

13、WORD 版）如图，圆锥顶点为p.底面圆心为o,其母线与底面所成的角为 22.5。AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦,轴OP与平面PCD所成的角为 60.（)证明:平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；(）求cosCOD.【答案】解:（)PABP D,/CmABCDCDPCDABPCD设面面直线且面面 /ABm直线 ABCDmABCDAB面直线面/.所以，ABCDDPPAB的公共交线平行底面与面面C.（）rPOOPFFCDr5.22tan.60,由题知，则的中点为线段设底面半径为.5.22tan15.22tan245tan,2cos5.22tan60tan60tan,2CODrOFPOOF

14、.)223(3),1-2(321cos,1-25.22tan12cos2cos22CODCODCOD212-17cos.212-17cosCODCOD所以。法二:1（2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版）)如图,在四面体BCDA中，AD平面BCD,22,2,BDADCDBC。M是AD的中点,P 是BM的中点，点Q在线段AC上，且QCAQ3。（1）证明:/PQ平面BCD；（2）若二面角DBMC的大小为060，求BDC的大小。【答案】解:证明（）方法一：如图 6,取MD的中点F，且M是AD中点,所以3AFFD。因为P是BM中 点,所以/PFBD;又 因为()3A

15、QQC且A B C D P Q M（第 20 题图）3AFFD,所以/QFBD，所以面/PQF面BDC，且PQ 面BDC，所以/PQ面BDC；方法二:如图 7 所示,取BD中点O,且P是BM中点，所以1/2POMD；取CD的三等分点H，使3DHCH，且3AQQC，所以11/42QHADMD，所以/POQHPQOH，且OHBCD,所以/PQ面BDC；（）如图 8 所示,由已知得到面ADB 面BDC，过C作CGBD于G，所以CGBMD，过G作GHBM于H，连接CH,所以CHG就是CBMD的二面角;由已知得到813BM,设BDC，所以 cos,sin2 2cos,2 2cossin,2 2sin,C

16、DCGCBCDCGBCBDCDBD，在RT BCG中,2sin2 2sinBGBCGBGBC,所以在RT BHG中，2212 2sin332 2sinHGHG，所以在RT CHG中 22 2cossintantan6032 2sin3CGCHGHG tan3(0,90)6060BDC；2（2013 年上海市春季高考数学试卷（含答案)如图,在正三棱锥111ABCABC中,16AA,异面直线1BC与1AA所成角的大小为6,求该三棱柱的体积.【答案】解因为1CC 1AA。所以1BC C为异面直线1BC与1AA。所成的角,即1BC C=6。在 Rt1BC C中,113tan62 33BCCCBC C,

17、从而233 34ABCSBC，因此该三棱柱的体积为13 3 618 3ABCVSAA。3(2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯 WORD 版含附加题）本小题满分 14 分.如图，在三棱锥ABCS 中，平面SAB平面SBC，BCAB,ABAS,过A作SBAF,垂足为F，点GE，分别是棱SCSA，的中点.求证:（1)平面/EFG平面ABC；(2）SABC。【答案】证明：（1)ABAS,SBAF F 分别是 SB 的中点 A B C S G F E B1 A1 C1 A C B E。F 分别是 SA。SB 的中点 EFAB 又EF平面 ABC，AB平面 ABC EF平

18、面 ABC 同理：FG平面 ABC 又EFFG=F,EF。FG平面 ABC平面/EFG平面ABC （2)平面SAB平面SBC 平面SAB平面SBC=BC AF平面 SAB AFSB AF平面 SBC 又BC平面 SBC AFBC 又BCAB，ABAF=A，AB.AF平面 SAB BC平面 SAB 又SA平面SABBCSA 4（2013 年高考上海卷（理）如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1，A1A=1，证明直线 BC1平行于平面 DA1C，并求直线 BC1到平面 D1AC 的距离。D1C1B1A1DCBA【答案】因为 ABCD-A1B1C1D1为长方体,故1111/

19、,ABC D ABC D,故 ABC1D1为平行四边形，故11/BCAD，显然 B 不在平面 D1AC 上，于是直线 BC1平行于平面 DA1C;直线 BC1到平面 D1AC 的距离即为点 B 到平面 D1AC 的距离设为h 考虑三棱锥 ABCD1的体积，以 ABC 为底面，可得111(1 2)1323V 而1ADC中,115,2ACDCAD，故132AD CS 所以,13123233Vhh，即直线 BC1到平面 D1AC 的距离为23.5（2013 年高考湖北卷(理）)如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于,A B的点，直线PC 平面ABC，E,F分别是PA,PC的中点.（I)记平面BEF

20、与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明;(II）设(I)中的直线l与圆O的另一个交点为D,且点Q满足12DQCP。记直线PQ与平面ABC所成的角为，异面直线PQ与EF所成的角为，二面角ElC 的大小为,求证：sinsinsin.6(2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版）如图 1，在等腰直 角 三 角 形ABC中,90A,6BC,D E分 别 是,AC AB上 的点,2CD BE,O为BC的中点.将ADE沿DE折起，得到如图 2 所示的四棱锥ABCDE,其中3A O。（）证明:A O平面BCDE；（）求二面角ACDB的平面角的余

21、弦值。【答案】()在图 1 中，易得3,3 2,2 2OCACAD .C O B D E A C D O B E A 图 1 图 2 C D O x E A 向量法图 y z B 连结,OD OE，在OCD中，由余弦定理可得 222cos455ODOCCDOC CD 由翻折不变性可知2 2A D，所以222A OODA D，所以A OOD,理可证A OOE,又ODOEO,所以A O平面BCDE.(）传统法:过O作OHCD交CD的延长线于H，连结AH，因为A O平面BCDE，所以A HCD，所以A HO为二面角ACDB的平面角。结合图 1 可知，H为AC中点，故3 22OH，从而22302A H

22、OHOA 所以15cos5OHA HOA H,所以二面角ACDB的平面角的余弦值为155.向量法:以O点为原点,建立空间直角坐标系Oxyz如图所示,则0,0,3A，0,3,0C，1,2,0D 所以0,3,3CA，1,2,3DA 设,nx y z为平面A CD的法向量，则 00n CAn DA，即330230yzxyz，解得3yxzx,令1x,得1,1,3n 由()知,0,0,3OA 为平面CDB的一个法向量，所以315cos,535n OAn OAn OA,即二面角ACDB的平面角的余弦值为155.C D O B E A H 7（2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题(含答案)

23、）如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1中,侧棱A1A底面ABCD,AB/DC,ABAD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点。()证明B1C1CE;（)求二面角B1CE-C1的正弦值。(）设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为26,求线段AM的长.【答案】8(2013 年高考新课标 1(理）如图,三棱柱 ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,BA A1=60.（)证明 ABA1C；()若平面 ABC平面 AA1B1B,AB=CB=2，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值.直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值

24、为105 9（2013 年高考陕西卷（理）如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，12ABAA.（）证明：A1C平面BB1D1D；()求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小.OD1B1C1DACBA1【答案】解:（）BDOAABCDBDABCDOA11,面且面;又因为，在正方形AB CD中,BDCAACACAACABDAACOABDAC11111,，故面且面所以；且.在正方形 AB CD 中，AO=1。.111OAOAART中，在 OECAOCEAEDB1111111为正方形，所以，则四边形的中点为设。，所以由以上三点得且，面面又O

25、OBDDDBBODDBBBD111111E.E,DDBBCA111面。(证毕）（）建立直角坐标系统，使用向量解题.以 O 为原点,以 OC 为 X 轴正方向，以 OB 为 Y 轴正方向。则 )1,0,1()1,1,1(),100(),001(,0,1,0111CABACB，）（.由(）知，平面BB1D1D的一个法向量.0,0,1),1,1,1(),1,0,1(111）（OCOBCAn 设平面OCB1的法向量为，则0,0,2122OCnOBnn ).1-,1,0(法向量2n为解得其中一个OD1B1C1DACBA121221|,cos|cos212111nnnnnn。所以，平面OCB1与平面BB1

26、D1D的夹角为3 10 （2013年 高 考 江 西 卷（理）如 图,四 棱 锥PABCD中,PA,ABCD EBD 平面为的中点,GPD为的中点，3,12DABDCB EAEBABPA，连接CE并延长交AD于F。（1）求证:ADCFG 平面;（2）求平面BCP 与平面DCP的夹角的余弦值。【答案】解：（1）在ABD中,因为E是BD的中点,所以1EAEBEDAB，故,23BADABEAEB，因为DABDCB,所以EABECB，从而有FEDFEA，故,EFAD AFFD,又因为,PGGD所以FGPA.又PA平面ABCD，所以,GFAD故AD 平面CFG。(3）以 点A为 坐 标 原 点 建 立

27、如 图 所 示 的 坐 标 系,则33(0,0,0),(1,0,0),(,0),(0,3,0)22ABCD,(4)3(0,0,)2P,故1333 333(0),(,),(,0)2222222BCCPCD ，设平面BCP的法向量111(1,)ny z，则111130223330222yyz，解得113323yz，即13 2(1,)33n.设平面DCP的法向量222(1,)ny z，则222330223330222yyz，解得2232yz,即2(1,3,2)n.从 而 平 面BCP与 平 面DCP的 夹 角 的 余 弦 值 为1212423cos41689n nn n.11（2013 年高考四川卷

28、(理）)如图，在三棱柱11ABCABC中,侧棱1AA 底面ABC，12ABACAA，120BAC,1,D D分别是线段11,BC BC的中点,P是线段AD的中点。()在平面ABC内,试作出过点P与平面1ABC平行的直线l,说明理由，并证明直线l 平面11ADD A;（)设（）中的直线l交AB于点M，交AC于点N,求二面角1AAMN的余弦值.D1DCBA1B1C1AP 【答案】解：如图,在平面ABC内,过点P做直线l/BC，因为l在平面1ABC外，BC在平面1ABC内,由直线与平面平行的判定定理可知，l/平面1ABC.由已知，ABAC,D是BC的中点,所以,BCAD，则直线lAD.因为1AA 平

29、面ABC,所以1AA 直线l.又因为1,AD AA在平面11ADD A内,且AD与1AA相交,所以直线平面11ADD A 解法一：连接1AP,过A作1AEAP于E，过E作1EFAM于F,连接AF.由 知,MN 平面1AEA,所以平面1AEA平面1AMN.所以AE 平面1AMN,则1AMAE。所以1AM 平面AEF，则1AM AF.故AFE为二面角1AAMN的平面角(设为）。设11AA，则 由12ABACAA，120BAC,有60BAD，2,1ABAD。又P为AD的中点，所以M为AB的中点，且1,12APAM，在1Rt AAP中，152AP；在1Rt A AM中,12AM.从而，1115AAAP

30、AEAP,1112AAAMAFAM，所以2sin5AEAF.所以22215cos1 sin155。故二面角1AAMN的余弦值为155 解法二：设11AA.如图,过1A作1AE平行于11BC,以1A为坐标原点，分别以111,AE AD,1AA的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz(点O与点1A重合）。则10,0,0A,0,0,1A.因为P为AD的中点,所以,M N分别为,AB AC的中点，故3 13 1,1,12222MN,所以13 1,122AM,10,0,1A A,3,0,0NM.设平面1AAM的一个法向量为1111,nx y z，则 1111,nAMnA A即1111

31、0,0,nAMnA A故有 1111113 1,10,22,0,0,10,x y zx y z 从而1111310,220.xyzz 取11x,则13y ，所以11,3,0n。设平面1AMN的一个法向量为2222,nx y z，则 212,nAMnNM即2120,0,nAMnNM故有2222223 1,10,22,3,0,00,xy zxy z 从而2222310,2230.xyzx 取22y，则21z ,所以20,2,1n.设二面角1AAMN的平面角为,又为锐角,则12121,3,00,2,115cos525nnnn。故二面角1AAMN的余弦值为155 12(2013 年普通高等学校招生全国

32、统一招生考试江苏卷（数学)（已校对纯 WORD 版含附加题)）本小题满分 10 分。如图，在直三棱柱111ABCABC中,ACAB,2 ACAB，41AA,点D是BC的中点(1）求异面直线BA1与DC1所成角的余弦值（2)求平面1ADC与1ABA所成二面角的正弦值.【答案】本题主要考察异面直线.二面角。空间向量等基础知识以及基本运算，考察运用空间向量解决问题的能力.解：（1）以1,AAACAB为为单位正交基底建立空间直角坐标系xyzA，则)0,0,0(A)0,0,2(B，)0,2,0(C,)4,0,0(1A，)0,1,1(D，)4,2,0(1C )4,0,2(1BA，)4,1,1(1BA 10

33、103182018,cos111111DCBADCBADCBA 异面直线BA1与DC1所成角的余弦值为10103 (2）)0,2,0(AC 是平面1ABA的的一个法向量 设平面1ADC的法向量为),(zyxm，)0,1,1(AD,)4,2,0(1AC 由1,ACmADm 0420zyyx 取1z，得2,2xy，平面1ADC的法向量为)1,2,2(m 设平面1ADC与1ABA所成二面角为 32324,coscosmACmACmAC，得35sin 平面1ADC与1ABA所成二面角的正弦值为35 13(2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案(已校对）)如图,四棱锥PA

34、BCD中,902,ABCBADBCADPAB，与PAD都是等边三角形。（I）证明：;PBCD （II）求二面角APDC的大小.【答案】14（2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题（含答案）如图所示，在三棱锥PABQ中，PB 平 面ABQ，BABPBQ,D C E F 分 别 是,AQ BQ AP BP的中点,2AQBD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH。（)求证：ABGH;（)求二面角DGHE的余弦值。【答案】解:（）证明:因为,D C E F 分别是,AQ BQ AP BP的中点，所以EFAB,DCAB，所以EFDC,又EF 平面PCD，DC 平面PCD,所以

35、EF平面PCD,又EF 平面EFQ,平面EFQ平面PCDGH,所以EFGH，又EFAB,所以ABGH。()解法一：在ABQ中，2AQBD，ADDQ，所以=90ABQ，即ABBQ,因为PB 平面ABQ，所以ABPB，又BPBQB，所以AB 平面PBQ，由（)知ABGH，所以GH 平面PBQ,又FH 平面PBQ,所以GHFH，同理可得GHHC，所以FHC为二面角DGHE的平面角,设2BABQBP,连接PC，在tRFBC中,由勾股定理得，2FC，在tRPBC中,由勾股定理得，5PC,又H为PBQ的重心,所以1533HCPC 同理 53FH,在FHC中,由余弦定理得552499cos5529FHC，即

36、二面角DGHE的余弦值为45。解法二：在ABQ中,2AQBD，ADDQ,所以90ABQ,又PB 平面ABQ,所以,BA BQ BP两两垂直,以B为坐标原点，分别以,BA BQ BP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间 直 角 坐 标 系,设2BABQBP，则(1,0,1)E，(0,0,1)F，(0,2,0)Q,(1,1,0)D,(0,1,0)C(0,0,2)P,所以(1,2,1)EQ ,(0,2,1)FQ,(1,1,2)DP ，(0,1,2)CP,设平面EFQ的一个法向量为111(,)mx y z,由0m EQ，0m FQ，得111112020 xyzyz 取11y,得(0,1,2)

37、m。设平面PDC的一个法向量为222(,)nxy z 由0n DP,0n CP，得222222020 xyzyz 取21z,得(0,2,1)n.所以4cos,5m nm nm n 因为二面角DGHE为钝角,所以二面角DGHE的余弦值为45.15（2013 年高考湖南卷(理）如图 5,在直棱柱1111/ABCDABC DADBC中，90,1BADACBD BC，13ADAA.(I)证明：1ACB D；(II)求直线111BCACD与平面所成角的正弦值。【答案】解：()ACBBABCDBDABCDBBDCBAABCD111111,面且面是直棱柱 DBACBDBDBBDBACBBBBDBDAC111

38、11,，面。面且又.（证毕)()。的夹角与平面的夹角即直线与平面直线111111,/ACDADACDCBADBCCB 轴正半轴。为轴正半轴，为点，量解题。设原点在建立直角坐标系，用向XADYABA BDACyBDyACyCyBDDA),0,3(),0,1()0,1(),0,0(),3,0,3(),0,0,3(,00,01，则，设 ).3,0,3(),0,3,1(.30,003012ADACyyyBDAC），（），（的一个法向量平面则的法向量为设平面303,313-.00,111ADnACDADnACnnACD 【答案】18(2013 年高考北京卷(理)）如图,在三棱柱ABCA1B1C1中，AA

39、1C1C是边长为 4 的正方形,平面ABC平面AA1C1C,AB=3，BC=5。（）求证：AA1平面ABC;（)求二面角 A1-BC1-B1的余弦值;()证明：在线段 BC1存在点 D，使得ADA1B，并求1BDBC的值.【答案】解：(I)因为 AA1C1C 为正方形，所以 AA1 AC。因为平面 ABC平面 AA1C1C,且 AA1垂直于这两个平面的交线 AC,所以 AA1平面 ABC。（II)由（I）知 AA1 AC，AA1 AB.由题知 AB=3，BC=5,AC=4，所以 ABAC.如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系 A-xyz，则 B（0,3，0），A1（0,0,4)，B1（0，3

40、,4），C1（4，0,4),设平面 A1BC1的法向量为,)x y zn=(，则11100ABACnn,即34040yzx，令3z，则0 x,4y,所以(0,4,3)n=。同理可得,平面 BB1C1的法向量为(3,4,0)m=，所以16cos25n mn,m|n|m|.由题知二面角 A1BC1B1为锐角,所以二面角 A1BC1B1的余弦值为1625.（III)设D(,)x y z是直线BC1上一点，且1BDBC.所以(,3,)(4,3,4)x yz.解得4x，33y,4z。所以(4,33,4)AD.由10AD AB，即9250.解得925.因为90,125,所以在线段 BC1上存在点 D，使得 ADA1B.此时,1925BDBC.