2018年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理科数学试题及解析精编精校版.pdf

《2018年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理科数学试题及解析精编精校版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理科数学试题及解析精编精校版.pdf（8页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷）本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合 A=x|x|2，B=2，0，1，2，则 AB=（）（A）0，1 （B）1，0，1 （C）2，0，1，2 （D）1，0，1，2 1【答案】A【解析】2x，22x，因此 2,0,1,22,20,1AB ，故选 A （2）在复平面内，复数11i的共轭复

2、数对应的点位于（）（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 2【答案】D【解析】11i11i1i1i1i22的共轭复数为11i22，对应点为11,22，在第四象限，故选 D （3）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（）（A）12 （B）56 （C）76 （D）712 3【答案】B【解析】初始化数值1k，1s 循环结果执行如下：第一次：1111122s ，2k，23k 不成立；第二次：21151236s ，3k，33k 成立，循环结束，输出56s，故选 B （4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献十二

3、平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为（）（A）32f （B）322 f（C）1252 f （D）1272 f 4【答案】D【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为122，12122nnaannN，又1af，则 71277128122aa qff，故选 D （5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 5【答案】C【解析】由三视图可得四棱锥PABCD，在四棱锥PABCD中，2PD，2AD，2CD

4、，1AB，由勾股定理可知，2 2PA，2 2PC，3PB，5BC，则在四棱锥中，直角三角形有，PAD，PCD，PAB共三个，故选 C （6）设 a，b 均为单位向量，则“33abab”是“ab”的（）（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 6【答案】C【解析】2222223333699+6ababababaa bbaa bb，因为a，b均为单位向量，所以2222699+6=0aa bbaa bba bab，即“33abab”是“ab”的充分必要条件故选 C （7）在平面直角坐标系中，记 d 为点 P（cos，sin）到直线20 xmy的距

5、离，当，m 变化时，d 的最大值为（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 7【答案】C【解析】22cossin1，P为单位圆上一点，而直线20 xmy过点2,0A，所以d的最大值为1213OA，故选 C （8）设集合(,)|1,4,2,Ax yxyaxyxay则（）（A）对任意实数 a，(2,1)A （B）对任意实数 a，（2，1）A（C）当且仅当 af（0）对任意的 x（0，2都成立，则 f（x）在0，2上是增函数”为假命题的一个函数是_ 13【答案】sinyx（答案不唯一）【解析】令 00 40 2xf xxx，则 0f xf对任意的0,2x都成立，但 f x在0,2上不是增函数又如，

6、令 sinf xx，则 00f，0f xf对任意的0,2x都成立，但 f x在0,2上不是增函数 （14）已知椭圆22221(0)xyMabab：，双曲线22221xyNmn：若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为_；双曲线 N 的离心率为_ 14【答案】3 1；2【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为3cc，再根据椭圆定义得32cca，所以椭圆M的离心率为23113ca 双曲线N的渐近线方程为nyxm，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为3，222tan33nm，222222234mnmmemm，2

7、e 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题 13 分）在ABC 中，a=7，b=8，cosB=17（）求A；（）求 AC 边上的高 15【答案】（1）3A；(2)AC边上的高为3 32【解析】（1）在ABC中，17cosB ，,2B，24 3sin1cos7BB 由正弦定理得78sinsinsin4 37abABA，3sin2A,2B，0,2A，3A（2）在ABC中，sinsinsincossincosCABABBA3114 33 3 272714 如图所示，在ABC中，sinhCBC，3 33 3sin7142hBCC，AC边上的高为3

8、 32 （16）（本小题 14 分）如图，在三棱柱 ABC111ABC中，1CC 平面 ABC，D，E，F，G 分别为1AA，AC，11AC，1BB的中点，AB=BC=5，AC=1AA=2 （）求证：AC平面 BEF；（）求二面角 BCDC1的余弦值；（）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交 16【答案】（1）证明见解析；（2）1 BCDC的余弦值为2121；（3）证明过程见解析 【解析】（1）在三棱柱111ABCA B C中，1CC 平面ABC，四边形11A ACC为矩形又E，F分别为AC，11AC的中点，ACEF，ABBC，ACBE，AC平面BEF（2）由（1）知ACEF，ACBE，1E

9、FCC 又1CC 平面ABC，EF平面ABC BE 平面ABC，EFBE 如图建立空间直角坐称系Exyz 由题意得0,2,0B，1,0,0C，1,0,1D，0,0,2F，0,2,1G，=2,0 1CD,，=1,2,0CB，设平面BCD的法向量为,a b c,n，00CDCBnn，20 20acab，令2a，则1b ，4c ，平面BCD的法向量2,14，,n，又平面1CDC的法向量为=0,2,0EB，21cos=21EBEBEBnnn 由图可得二面角1BCDC为钝角，所以二面角1BCDC的余弦值为2121（3）平面BCD的法向量为2,1,4n，0,2,1G，0,0,2F，=02,1GF,，2GF

10、 n，n与GF不垂直，GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，GF与平面BCD相交 （17）（本小题 12 分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值 假设所有电影是否获得好评相互独立（）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（）假设

11、每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“1k”表示第 k 类电影得到人们喜欢，“0k”表示第 k 类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）写出方差1D，2D，3D，4D，5D，6D的大小关系 17【答案】（1）概率为0 025；（2）概率估计为0 35；（3）142536DDDDDD【解析】（1）由题知，样本中电影的总部数是140503002008005102000，第四类电影中获得好评的电影部数是2000 2550故所求概率为500 0252000 （2）设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”故所求

12、概率为 11P ABABP ABP ABP AP BP AP B 由题意知，P A估计为0 25，P B估计为0 2 故所求概率估计为0 250 80 750 20 35（3）142536DDDDDD （18）（本小题13分）设函数()f x=2(41)43axaxaex（）若曲线y=f（x）在点（1，(1)f）处的切线与x轴平行，求a；（）若()f x在x=2处取得极小值，求a的取值范围 18【答案】（1）a的值为 1；（2）a的取值范围是1,2【解析】（1）因为 24143 exf xaxaxa，所以 2241e4143 exxfxaxaaxaxa 2 212 exaxax，11efa，由

13、题设知 10f，即1e0a，解得1a 此时 13e0f，所以a的值为 1（2）由（1）得 2 212 e12 exxfxaxaxaxx 若12a，则当1,2xa时，0fx；当2,x时，0fx，所以 0f x 在2x 处取得极小值 若12a，则当0,2x时，20 x，11102axx，所以 0fx，所以 2 不是 f x的极小值点 综上可知，a的取值范围是1,2 （19）（本小题 14 分）已知抛物线 C：2y=2px 经过点P（1，2）过点 Q（0，1）的直线 l与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N（）求直线 l 的斜率的取值范围

14、；（）设 O 为原点，QMQO，QNQO，求证：11为定值 19【答案】（1）取值范围是 ,33,00,1；（2）证明过程见解析【解析】（1）因为抛物线22ypx经过点1,2P，所以42p，解得2p，所以抛物线的方程为24yx 由题意可知直线l的斜率存在且不为 0，设直线l的方程为10ykxk 由24 1yxykx得222410k xkx 依题意2224410kk，解得0k 或01k 又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点1,2，从而3k ，所以直线l斜率的取值范围是 ,33,00,1 （2）设11,A x y，22,B xy 由（1）知12224kxxk，1221x xk，直线PA的方程为1

15、12 211yyxx 令0 x，得点M的纵坐标为1111212211Mykxyxx 同理得点N的纵坐标为22121Nkxyx 由=QMQO，=QNQO得=1My，1Ny 221212121212222421111111121111111MNkx xxxxxkkyykxkxkx xkk，所以11为定值 （20）（本小题14分）设n为正整数，集合A=12|(,),0,1,1,2,nkt tttkn 对于集合A中的任意元素12(,)nx xx和12(,)ny yy，记 M（，）=111122221(|)(|)(|)2nnnnxyxyxyxyxyxy（）当 n=3 时，若(1,1,0)，(0,1,1)

16、，求 M（,）和 M（,）的值；（）当 n=4 时，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意元素,，当,相同时，M（，）是奇数；当,不同时，M（，）是偶数求集合 B 中元素个数的最大值；（）给定不小于 2 的 n，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意两个不同的元素,，M（，）=0写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说明理由 （20）（共 14 分）解：（）因为=（1，1，0），=（0，1，1），所以 M(，)=12(1+1|11|)+(1+1|11|)+(0+0|00|)=2，M(，）=12(1+0|10|)+(1+1|11|)+(0+1|01|)=1（）设=（x1，

17、x 2，x3，x4）B，则 M(，）=x1+x2+x3+x4 由题意知 x1，x 2，x3，x40，1，且 M(，)为奇数，所以 x1，x 2，x3，x4中 1 的个数为 1 或 3 所以 B(1，0，0，0），（0，1，0，0)，（0，0，1，0)，（0，0，0，1)，（0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0).将上述集合中的元素分成如下四组：（1，0，0，0)，(1，1，1，0)；（0，1，0，0)，(1，1，0，1)；（0，0，1，0)，（1，0，1，1)；（0，0，0，1)，（0，1，1，1).经验证，对于每组中两个元素，均有 M(，）=1.所以每组

18、中的两个元素不可能同时是集合 B 的元素 所以集合 B 中元素的个数不超过 4.又集合（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1)满足条件，所以集合 B 中元素个数的最大值为 4.（）设 Sk=(x1，x 2，xn）|(x1，x 2，xn）A，xk=1，x1=x2=xk1=0）（k=1，2，n)，Sn+1=(x1，x 2，xn）|x1=x2=xn=0，则 A=S1S1Sn+1 对于 Sk（k=1，2，n1）中的不同元素，经验证，M(，)1.所以 Sk（k=1，2，n1）中的两个元素不可能同时是集合 B 的元素 所以 B 中元素的个数不超过 n+1.取 ek=(x1，x 2，xn）Sk且 xk+1=xn=0（k=1，2，n1）.令 B=（e1，e2，en1）SnSn+1，则集合 B 的元素个数为 n+1，且满足条件.故 B 是一个满足条件且元素个数最多的集合