2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试题(理科)解析版.pdf

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1、 绝密启用前 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）本试题卷共 6 页，22 题，其中第 15、16 题为选考题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。祝考试顺利 注意事项：1答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域

2、均无效。4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1i为虚数单位，607i的共轭复数为（）Ai Bi C1 D1 【答案】A【解析】试题分析：iiii31514607,-i 的共轭复数为 i 选 A.考点：复数概念.2.我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一

3、把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（）A134 石 B169 石 C338 石 D1365 石【答案】B【解析】试题分析：依题意，这批米内夹谷约为169153425428石，选 B.考点：用样本估计总体.3.已知(1)nx的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A.122 B112 C102 D92【答案】D 考点：1.二项式系数，2.二项式系数和.4.设211(,)XN，222(,)YN，这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正确的是（）A21()()P YP Y B21()()P XP X C对任意正数t，()()P XtP Y

4、t D对任意正数t，()()P XtP Yt 【答案】C 考点：正态分布密度曲线.5设12,na aa R，3n.若p：12,na aa成等比数列；q：22222221212312231()()()nnnnaaaaaaa aa aaa，则（）Ap是q的充分条件，但不是q的必要条件 Bp是q的必要条件，但不是q的充分条件 Cp是q的充分必要条件 Dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】A【解析】试题分析：对命题p：12,na aa成等比数列，则公比)3(1naaqnn且0na；对命题q，当0na时，22222221212312231()()()nnnnaaaaaaa aa aaa成立；

5、当0na时，根据柯西不等式，等式22222221212312231()()()nnnnaaaaaaa aa aaa成立，则nnaaaaaa13221 ，所以12,na aa成等比数列，所以p是q的充分条件，但不是q的必要条件.考点：1.等比数列的判定，2.柯西不等式，3.充分条件与必要条件.6.已知符号函数1,0,sgn0,0,1,0.xxxx()f x是R上的增函数，()()()(1)g xf xf axa，则（）A sgn()sgng xx Bsgn()sgng xx Csgn()sgn()g xf x Dsgn()sgn()g xf x 【答案】B【解析】试题分析：因为()f x是R上的

6、增函数，令xxf)(，所以xaxg)1()(，因为1a，所 以)(xg是R上 的 减 函 数，由 符 号 函 数1,0sgn0,01,0 xxxx知，1,0sgn()0,0sgn1,0 xg xxxx.考点：1.符号函数，2.函数的单调性.7 在区间0,1上随机取两个数,x y，记1p为事件“12xy”的概率，2p为事件“1|2xy”的概率，3p为事件“12xy”的概率，则（）A123ppp B231ppp C312ppp D321ppp【答案】B （1）（2）（3）考点：几何概型.8将离心率为1e的双曲线1C的实半轴长a和虚半轴长()b ab同时增加(0)m m 个单位长度，得到离心率为2e

7、的双曲线2C，则（）A对任意的,a b，12ee B当ab时，12ee；当ab时，12ee C对任意的,a b，12ee D当ab时，12ee；当ab时，12ee【答案】D 考点：1.双曲线的性质，2.离心率.9已知集合22(,)1,Ax y xyx yZ，(,)|2,|2,Bx yxyx yZ，定义集合 12121122(,)(,),(,)ABxxyyx yAxyB，则AB中元素的个数为（）A77 B49 C45 D30【答案】C【解析】试题分析：因为集合22(,)1,Ax y xyx yZ，所以集合A中有 9 个元素（即 9 个点），即图中圆中的整点，集合(,)|2,|2,Bx yxyx

8、yZ中有 25 个元素（即 25 个点）：即图中正方形ABCD中的整点，集合12121122(,)(,),(,)ABxxyyx yAxyB的元素可看作正方形1111DCBA中的整点（除去四个顶点），即45477个.考点：1.集合的相关知识，2.新定义题型.10 设xR，x表示不超过x的最大整数.若存在实数t，使得 1t，2 2t，ntn 同时成立，则正整数n的最大值是（）A3 B4 C5 D6【答案】B 考点：1.函数的值域，2.不等式的性质.二、填空题：本大题共 6 小题，考生需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分

9、（一）必考题（1114 题）11.已知向量OAAB，|3OA，则OA OB.【答案】9【解析】试题分析：因为OAAB，|3OA，所以OA OB93|)(222OAOBOAOAABOAOA.考点：1.平面向量的加法法则，2.向量垂直，3.向量的模与数量积.12函数2()4coscos()2sin|ln(1)|22xf xxxx的零点个数为【答案】2 考点：1.二倍角的正弦、余弦公式，2.诱导公式，3.函数的零点.13如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶 600m 后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD

10、 m.【答案】6100【解析】试 题 分 析：依 题 意，30BAC，105ABC，在ABC中，由180ACBBACABC，所以45ACB，因为600AB，由正弦定理可得30sin45sin600BC，即2300BCm，在BCDRt中，因为30CBD，2300BC，所以230030tanCDBCCD，所以6100CDm.考点：1.三角形三内角和定理，2.三角函数的定义，3.有关测量中的的几个术语，4.正弦定理.14如图，圆C与x轴相切于点(1,0)T，与y轴正半轴交于两点,A B（B在A的上方），且2AB （）圆C的标准方程为；（）过点A任作一条直线与圆22:1O xy相交于,M N两点，下列

11、三个结论：NAMANBMB；2NBMANAMB；2 2NBMANAMB 其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）【答案】（）22(1)(2)2xy；（）所以2221(21)22222NBMANAMB，2221212 22222NBMANAMB ，正确结论的序号是.考点：1.圆的标准方程，2.直线与圆的位置关系.（二）选考题（请考生在第 15、16 两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑如果全选，则按第 15 题作答结果计分）15（选修 4-1：几何证明选讲）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且3BCPB，则ABAC.【答案】

12、21 考点：1.圆的切线、割线，2.切割线定理，3.三角形相似.16（选修 4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为(sin3cos)0，曲线C的参数方程为1,1xttytt (t为参数)，l与C相交于A,B两点，则|AB.【答案】52 考点：1.极坐标方程、参数方程与普通方程的转化，2.两点间的距离.三、解答题：本大题共 5 小题，共 65 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分 11 分）某同学用“五点法”画函数()sin()(0,|)2f xAx在某一个周期内的图象 时，列表并填入了部分数据

13、，如下表：x 0 2 32 2 x 3 56 sin()Ax 0 5 5 0 （）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x的解 析式；（）将()yf x图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得到()yg x的图 象.若()yg x图象的一个对称中心为5(,0)12，求的最小值.【答案】（）()5sin(2)6f xx；（）6.【解析】试题解析：（）根据表中已知数据，解得5,2,6A.数据补全如下表：x 0 2 32 2 x 12 3 712 56 1312 sin()Ax 0 5 0 5 0 且函数表达式为()5sin(2)6f xx.（）由（）知()5sin

14、(2)6f xx，得()5sin(22)6g xx.因为sinyx的对称中心为(,0)k，kZ.令226xk，解得212kx，kZ.由于函数()yg x的图象关于点5(,0)12成中心对称，令521212k，解得23k，kZ.由0可知，当1k 时，取得最小值6.考点：1.“五点法”画函数()sin()(0,|)2f xAx在某一个周期内的图象，2.三角函数的平移变换，3.三角函数的性质.18（本小题满分 12 分）设等差数列na的公差为d，前n项和为nS，等比数列nb的公比为q已知11ba，22b，qd，10100S（）求数列na，nb的通项公式；（）当1d 时，记nnnacb，求数列nc的前

15、n项和nT 【答案】（）121,2.nnnanb或11(279),929().9nnnanb；（）12362nn.2345113579212222222nnnT.-可得221111212323222222nnnnnnT，故nT12362nn.考点：1.等差数列、等比数列通项公式，2.错位相减法求数列的前n项和.19（本小题满分 12 分）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑 如图，在阳马PABCD中，侧棱PD 底面ABCD，且PDCD，过棱PC的中点E，作EFPB交PB于点F，连接,.DE DF BD BE（）证明：PBD

16、EF 平面试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写 出结论）；若不是，说明理由；（）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为3，求DCBC的值 【答案】（）详见解析；（）22.【解析】试题解析：（解法 1）（）因为PD 底面ABCD，所以PDBC，由底面ABCD为长方形，有BCCD，而PDCDD，所以BCPCD 平面.而DEPCD 平面，所以BCDE.又因为PDCD，点E是PC的中点，所以DEPC.而PCBCC，所以DE 平面PBC.而PBPBC 平面，所以PBDE.又PBEF，DEEFE，所以PB 平面DEF.由DE 平面PBC，PB 平面DEF，可知四面体BDEF的

17、四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEBDEF，EFBDFB，.（）如图 1，在面PBC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ABCD 的交线.由（）知，PBDEF 平面，所以PBDG.又因为PD 底面ABCD，所以PDDG.而PDPBP，所以DGPBD 平面.故BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设1PDDC，BC，有21BD，在 RtPDB中,由DFPB,得3DPFFDB,则 2tantan133BDDPFPD,解得2.所以12.2DCBC 故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为3时，22DCBC.（解法 2）（）如图 2，

18、以D为原点，射线,DA DC DP分别为,x y z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设 1PDDC，BC，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)DPBC，(,1,1)PB，点E是PC的中点，所 以11(0,)22E，11(0,)22DE，于是0PB DE，即PBDE.又已知EFPB，而DEEFE，所以PBDEF 平面.因(0,1,1)PC,0DE PC,则DEPC,所以DEPBC 平面.由DE 平面PBC，PB 平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEBDEF，EFBDFB，.（）由PDABCD 平面，所

19、以(0,0,1)DP 是平面ABCD的一个法向量；由（）知，PBDEF 平面，所以(,1,1)BP 是平面DEF的一个法向量.若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为3，则211cos32|2BP DPBPDP，解得2.所以12.2DCBC 故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为3时，22DCBC.考点：1.四棱锥的性质，2.线、面垂直的性质与判定，3.二面角.20（本小题满分 12 分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B两种奶制品生产 1 吨A产品需鲜牛奶 2 吨，使用设备 1 小时，获利 1000 元；生产 1 吨B产品需鲜牛奶 1.5 吨，使用设备 1.5 小时，获利 1200 元

20、要求每天B产品的产量不超过A产品产量的 2 倍，设备每天生产,A B两种产品时间之和不超过 12 小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为 W 12 15 18 P 0.3 0.5 0.2 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量（）求Z的分布列和均值；（）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求 3天中至少有 1 天的最大获利超过 10000元的概率【答案】（）Z的分布列为：Z 8160 10200 10800 P 0.3 0.5 0.2()9708E Z；（）0.973.【解析】试题解析：（）设每天,A

21、B两种产品的生产数量分别为,x y，相应的获利为z，则有21.5,1.512,20,0,0.xyWxyxyxy （1）目标函数为 10001200zxy 当12W 时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0,0),(2.4,4.8),(6,0)ABC 将10001200zxy变形为561200zyx，当2.4,4.8xy时，直线l：561200zyx 在y轴上的截距最大，最大获利max2.410004.812008160Zz 当15W 时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0,0),(3,6),(7.5,0)ABC 将10001200zxy变形为561200zyx，当3,6x

22、y时，直线l：561200zyx 在y轴上的截距最大，最大获利max3 10006 120010200Zz 当18W 时，（1）表示的平面区域如图 3，四个顶点分别为(0,0),(3,6),(6,4),(9,0)ABCD.将10001200zxy变形为561200zyx，当6,4xy时，直线l：561200zyx 在y轴上的截距最大，最大获利max6 10004 120010800Zz 故最大获利Z的分布列为 Z 8160 10200 10800 P 0.3 0.5 0.2 因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z （）由（）知，一天最大获利超过 10000 元

23、的概率1(10000)0.50.20.7pP Z，由 二 项 分 布，3天 中 至 少 有1天 最 大 获 利 超 过10000元 的 概 率 为3311(1)10.30.973.pp 考点：1.随机变量的独立性，2.分布列与均值，3.二项分布.21（本小题满分 14 分）一种作图工具如图 1 所示O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且1DNON，3MN 当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系（）求

24、曲线C的方程；（）设动直线l与两定直线1:20lxy和2:20lxy分别交于,P Q两点若直线l 总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：OPQ的面积是否存在最小值？若 存在，求出该最小值；若不存在，说明理由 【答案】（）221164xy；（）存在最小值 8.【解析】试题解析：（）设点(,0)(|2)D tt，00(,),(,)N xyM x y，依题意，2MDDN，且|1DNON，所以00(,)2(,)txyxt y，且22002200()1,1.xtyxy 即0022,2.txxtyy 且0(2)0.t tx 由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于 0，于是02tx，故00,42xyx

25、y，代入22001xy，可得221164xy，即所求的曲线C的方程为221.164xy（）（1）当直线l的斜率不存在时，直线l为4x 或4x ，都有14482OPQS.（2）当直线l的斜率存在时，设直线1:()2l ykxmk，由22,416,ykxmxy 消去y，可得222(14)84160kxkmxm.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k mkm，即22164mk.又由,20,ykxmxy 可得2(,)1212mmPkk；同理可得2(,)1212mmQkk.由原点O到直线PQ的距离为2|1mdk和2|1|PQPQkxx，可得 22111222|2

26、22121214OPQPQmmmSPQ dmxxmkkk.将代入得，222241281441OPQkmSkk.当214k 时，2224128()8(1)84141OPQkSkk；当2104k时，2224128()8(1)1414OPQkSkk.因2104k，则20141k，22214k，所以228(1)814OPQSk，当且仅当0k 时取等号.所以当0k 时，OPQS的最小值为 8.综合（1）（2）可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，OPQ的面积取得最小值 8.考点：1 椭圆的标准方程、几何性质,2.直线与圆、椭圆的位置关系，最值，.22（本小题满分 14 分）已知数列na的各项均为正数

27、，1(1)()nnnbnannN，e 为自然对数的底数（）求函数()1exf xx 的单调区间，并比较1(1)nn与 e 的大小；（）计算11ba，1 212bba a，1 23123bb ba a a，由此推测计算1 212nnbbba aa的公式，并给出证明；（）令112()nnnca aa，数列na，nc的前n项和分别记为nS,nT,证明：ennTS.【答案】（）()f x的单调递增区间为(,0)，单调递减区间为(0,).1(1)enn；（）详见解析；（）详见解析.【解析】试题解析：（）()f x的定义域为(,)，()1exfx.当()0fx，即0 x 时，()f x单调递增；当()0f

28、x，即0 x 时，()f x单调递减.故()f x的单调递增区间为(,0)，单调递减区间为(0,).当0 x 时，()(0)0f xf，即1exx.令1xn，得111enn，即1(1)enn.（）11111(1)1 121ba ；2221 212121212 2(1)(21)32bbbba aaa；23331 2331 2123123133(1)(31)43bb bbbba a aa aa.由此推测：1 212(1).nnnbbbna aa 下面用数学归纳法证明.（1）当1n 时，左边右边2，成立.（2）假设当nk时，成立，即1 212(1)kkkbbbka aa.当1nk时，1111(1)(

29、1)1kkkbkak，由归纳假设可得 111 211 211211211(1)(1)(1)(2)1kkkkkkkkkkkbbb bbbbbkkka aa aa aaak.所以当1nk时，也成立.根据（1）（2），可知对一切正整数n都成立.（）由nc的定义，算术-几何平均不等式，nb的定义及得 123nnTcccc111131211212312()()()()nnaa aa a aa aa 11113121 231 211 2()()()()2341nnbb bbbbbbbn 123121121 22334(1)nbbbbbbbbbn n 1211111111 223(1)2334(1)(1)nbbbn nn nn n 1211111(1)()()1211nbbbnnnn 1212nbbbn1212111(1)(1)(1)12nnaaan 12eeenaaaenS.即ennTS.考点：1.导数的应，2.数列的概念，3.数学归纳法，4.基本不等式