2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试题(文科)word解析版.pdf

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1、绝密启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（文史类）本试题卷共 5 页，22 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。祝考试顺利 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。2选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。3填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草

2、稿纸上无效。4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集1,2,3,4,5U，集合1,2A，2,3,4B，则 BUA=A2 B3,4 C1,4,5 D2,3,4,5 解析 UA3,4,5，BUA2,3,43,4,53,4 故选 B 2已知04，则双曲线1C：22221sincosxy与2C：22221cossinyx的 A实轴长相等 B虚轴长相等 C离心率相等 D焦距相等 解析 双曲线 C1、C2的焦距均为 sin2cos21.答案 D 3在一

3、次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次设命题 p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A()p()q Bp()q C()p()q Dpq 答案 A 解析“至少有一位学生没有落在指定范围”“甲没有落在指定范围”或“乙没有落在指定范围”()p()q 4四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分 别得到以下四个结论：y 与 x 负相关且2.3476.423yx；y 与 x 负相关且3.4765.648yx；y 与 x 正相关且5.4378.493yx；y 与 x 正相关且4.3264.578yx.

4、其中一定不正确的结论的序号是 A B C D 答案 D 解析 中，回归方程中 x 的系数为正，不是负相关；方程中的 x 的系数为负，不是正相关，一定不正确 5小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是 答案 C 解析 开始匀速行驶时小明距学校距离应匀速减小，停留时不变，加快速度行驶时距离学校的距离应快速减小 6将函数3cossin()yxx xR的图象向左平移(0)m m 个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是 A12 B6 C3 D56 距学校的距离 距学校的距离 距学校的距离 A B C D 时

5、间 时间 时间 时间 O O O O 距学校的距离 答案 B 解析 y 3cos xsin x2sin(x3)向左平移 m 个单位长度后得到 y2sin(x3m)它关于 y 轴对称可得 sin(3m)1，3mk2，kZ，mk6，kZ，m0，m 的最小值为6.7已知点(1,1)A、(1,2)B、(2,1)C、(3,4)D，则向量AB在CD方向上的投影为 A3 22 B3 152 C3 22 D3 152 答案 A 解析 AB(2,1)，CD(5,5)AB在CD方向上的投影ABCD|CD|25155252155 23 22.8x 为实数，x表示不超过x的最大整数，则函数()f xxx在R上为 A奇

6、函数 B偶函数 C增函数 D 周期函数 答案 D 解析 f(x)最小正周期 T1.9某旅行社租用A、B两种型号的客车安排 900 名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆，旅行社要求租车总数不超过21 辆，且B型车不多于A型车 7 辆则租金最少为 A31200 元 B36000 元 C36800 元 D38400 元 答案 C 解析 设租 A 型车 x 辆，B 型车 y 辆时租金为 z 元 则 z1 600 x2 400y 画出可行域如图 直线 y23xz2 400过点 A(5,12)时纵截距最小，zmin51 6002

7、4001236 800，故租金最少为 36 800 元 10已知函数()(ln)f xxxax有两个极值点，则实数a的取值范围是 A(,0)B1(0,)2 C(0,1)D(0,)答案 B 解析 f(x)(ln xax)x(1xa)ln x12ax(x0)令 f(x)0 得 2aln x1x，设(x)ln x1x，则(x)ln xx2 易知(x)在(0,1)上递增，在(1，)上递减，大致图象如下 若 f(x)有两个极值点，则 y2a 和 y(x)图象有两个交点，02a1，0a2 时，由m24256得 m3.16我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天

8、池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸.（注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸）答案 3 解析 天池盆中水的形状是以上底半径 10 寸，下底半径 6 寸，高 9 寸的圆台，平均降雨量139102106621423.17在平面直角坐标系中，若点(,)P x y的坐标x，y均为整数，则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中ABC是格点三角形，对应的1S，0N，4L.（）图中格点四边形 DEFG 对应的,S N L分别

9、是 ；（）已知格点多边形的面积可表示为 SaNbLc，其中 a，b，c 为常数.若某格点多边形对应的71N，18L，则S （用数值作答）.答案(1)3,1,6(2)79 解析(1)由图观察知(2)再取一组数据 S2，N0，L6，由题意，列方程 1a04bc3a16bc26bc 可得 a1，b12，c1，所求71a18bc719179.第 17 题图 三、解答题：本大题共 5 小题，共 65 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18（本小题满分 12 分）在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos23cos()1ABC.（）求角 A 的大小；（）若ABC的面积5 3S，5

10、b，求sinsinBC的值.解(1)由 cos 2A3cos(BC)1，得 2cos2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0，解得 cos A12或 cos A2(舍去)因为 0A0.上式不成立；当 n 为奇数时，(2)n2n2 012，即 2n2 012，则 n11.综上，存在符合条件的正整数 n，且所有这样的 n 的集合为n|n2k1，kN，k5 20（本小题满分 13 分）如图，某地质队自水平地面 A，B，C 三处垂直向地下钻探，自 A 点向下钻到 A1处发现矿藏，再继续下钻到 A2处后下面已无矿，从而得到在 A 处正下方的矿层厚度为121A Ad同样可得在B，C 处

11、正下方的矿层厚度分别为122B Bd，123C Cd，且123ddd.过AB，AC的中点M，N且与直线2AA平行的平面截多面体111222A BCA B C所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中（）证明：中截面DEFG是梯形；（）在 ABC 中，记BCa，BC 边上的高为h，面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222A BCA B C的体积V）时，可用近似公式VSh估中来估算.已知1231()3VdddS，试判断V估与 V 的大小关系，并加以证明.第 20 题图(1)证明 依题意 A1A2平面 ABC，B1B2平面 ABC，C1C2平面 ABC，

12、所以 A1A2B1B2C1C2，又 A1A2d1，B1B2d2，C1C2d3，且 d1d2d3.因此四边形 A1A2B2B1，B1B2C2C1，A1A2C2C1均是梯形 由 AA2平面 MEFN，AA2平面 AA2B2B，且平面 AA2B2B平面 MEFNME，可得 AA2ME，即 A1A2DE，同理可证 A1A2FG，所以 DEFG.又 M、N 分别为 AB、AC 的中点，则 D、E、F、G 分别为 A1B1、A2B2、A2C2、A1C1的中点，即 DE、FG 分别为梯形 A1A2B2B1，A1A2C2C1的中位线，因此 DE12(A1A2B1B2)12(d1d2)，FG12(A1A2C1C

13、2)12(d1d3)，而 d1d2d3，故 DEFG，所以中截面 DEFG 是梯形(2)解 V估V，证明如下：由 A1A2平面 ABC，MN平面 ABC，可得 A1A2MN，而 EMA1A2，所以 EMMN，同理可得 FNMN，由 MN 是ABC 的中位线，可得 MN12BC12a 即为梯形 DEFG 的高 因此 S中S梯形DEFG12(d1d22d1d32)a2a8(2d1d2d3)即 V估S中hah8(2d1d2d3)又 S12ah，所以 V13(d1d2d3)Sah6(d1d2d3)于是 VV估ah6(d1d2d3)ah8(2d1d2d3)ah24(d2d1)(d3d1)由 d1d20，

14、d3d10，故 V估b 时，f(x)0，函数 f(x)在(，1)，(1，)上单调递增；当 ab 时，f(x)0，f(ba)2abab0，f(ba)ab0.故 f(1)f(ba)ab22abababf(ba)2，即 f(1)f(ba)f(ba)2.*所以 f(1)，f(ba)，f(ba)成等比数列 因ab2 ab，即 f(1)f(ba)，由*得 f(ba)f(ba)由*知 f(ba)H，f(ba)G.故由 Hf(x)G，得 f(ba)f(x)f(ba)*当 ab 时，f(ba)f(x)f(ba)a.这时，x 的取值范围为(0，)；当 ab 时，0ba1，从而baba，由 f(x)在0，)上单调递

15、增与*式，得baxba，即 x 的取值范围为ba，ba；当 a1，从而baba，由 f(x)在0，)上单调递减与*式，得baxba，即 x 的取值范围为ba，ba.22（本小题满分 14 分）如图，已知椭圆1C与2C的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别 为2m，2()n mn，过原点且不与x轴重合的直线l与1C，2C的四个交点按纵坐标从 大到小依次为 A，B，C，D记mn，BDM和ABN的面积分别为1S和2S.（）当直线l与y轴重合时，若12SS，求的值；（）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 l，使得12SS？并说明理由 22依题意可设椭圆1C和2C的方程分别为 1C：

16、22221xyam，2C：22221xyan.其中0amn，1.mn（）解法 1：如图 1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为0 x，则 111|22SBDOMa BD，211|22SABONa AB，所以12|SBDSAB.在 C1和 C2的方程中分别令0 x，可得Aym，Byn，Dym，于是|1|1BDAByyBDmnAByymn.若12SS，则11，化简得2210.由1，可解得21.故当直线l与y轴重合时，若12SS，则21.解法 2：如图 1，若直线l与y轴重合，则|BDOBODmn，|ABOAOBmn；111|22SBDOMa BD，211|22SABONa AB.所以12|1|1

17、SBDmnSABmn.若12SS，则11，化简得2210.由1，可解得21.故当直线l与y轴重合时，若12SS，则21.O x y B A 第 22 题图 C D M N O x y B A 第 22 题解答图 1 C D M N O x y B A 第 22 题解答图 2 C D M N （）解法 1：如图 2，若存在与坐标轴不重合的直线 l，使得12SS.根据对称性，不妨设直线l：(0)ykx k，点(,0)Ma，(,0)N a到直线l的距离分别为1d，2d，则 因为122|0|11akakdkk，222|0|11akakdkk，所以12dd.又111|2SBD d，221|2SAB d，

18、所以12|SBDSAB，即|BDAB.由对称性可知|ABCD，所以|(1)|BCBDABAB，|(1)|ADBDABAB，于是|1|1ADBC.将l的方程分别与 C1，C2的方程联立，可求得 222Aamxa km，222Banxa kn.根据对称性可知CBxx，DAxx，于是 222222221|2|21|ADABBCkxxxADma knBCxna kmkxx.从而由和式可得 2222221(1)a kna km.令1(1)t，则由mn，可得1t，于是由可解得22 2222(1)(1)ntkat.因为0k，所以20k.于是式关于k有解，当且仅当22 222(1)0(1)ntat，等价于22

19、21(1)()0tt.由1，可解得11t，即111(1)，由1，解得12，所以 当112 时，不存在与坐标轴不重合的直线 l，使得12SS；当12 时，存在与坐标轴不重合的直线 l 使得12SS.解法 2：如图 2，若存在与坐标轴不重合的直线 l，使得12SS.根据对称性，不妨设直线l：(0)ykx k，点(,0)Ma，(,0)N a到直线l的距离分别为1d，2d，则 因为122|0|11akakdkk，222|0|11akakdkk，所以12dd.又111|2SBD d，221|2SAB d，所以12|SBDSAB.因为221|1|BDABABABkxxxxBDABxxkxx，所以11ABxx.由点(,)AAA xkx，(,)BBB xkx分别在 C1，C2上，可得 222221AAxk xam，222221BBxk xan，两式相减可得22222222()0ABABxxkxxam，依题意0ABxx，所以22ABxx.所以由上式解得22222222()()ABBAmxxkaxx.因为20k，所以由2222222()0()ABBAmxxaxx，可解得1ABxx.从而111，解得12，所以 当112 时，不存在与坐标轴不重合的直线 l，使得12SS；当12 时，存在与坐标轴不重合的直线 l 使得12SS.