2014天津文科数学试题及答案.pdf

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1、 1 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科)一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.i是虚数单位，复数ii437（)A.i1 B。i1 C.i25312517 D。i725717 2。设变量yx,满足约束条件.1,02,02yyxyx则目标函数yxz2的最小值为(）A.2 B.3 C。4 D。5 3.已知命题为则总有pexxpx,1)1(,0:（）A.1)1(,0000 xexx使得 B。1)1(,0000 xexx使得 C.1)1(,0000 xexx总有 D.1)1(,0000 xexx总

2、有 4.设,log,log2212cba则（）A.cba B。cab C.bca D.abc 5.设 na是首项为1a,公差为1的等差数列,nS为其前 n 项和，若，421SSS成等比数列，则1a=（）A。2 B.-2 C.21 D.21 6.已知双曲线)0,0(12222babyax的一条渐近线平行于直线,102:xyl双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为(）A.120522yx B.152022yx C。1100325322yx D.1253100322yx 2 7.如图，ABC是圆的内接三角行，BAC的平分线交圆于点 D，交 BC 于 E，过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交

3、于点 F,在上述条件下，给出下列四个结论：BD 平分CBF；FAFDFB2;DEBECEAE；BFABBDAF。则所有正确结论的序号是（）A.B。C.D。8。已知函数()3sincos(0),.f xxxxR在曲线()yf x与直线1y 的交点中，若相邻交点距离的最小值为3，则()f x的最小正周期为（）A.2 B.23 C.D。2 二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9。某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300 的样本进行调查。已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5

4、:5:6，则应从一年级本科生中抽取 名学生。10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 3m.11。阅读右边的框图，运行相应的程序，输出S的值为_.12。函数 3lgf xx的单调递减区间是_。13.已知菱形ABCD的边长为2，120BAD，点E，F分别在边BC、DC上，3BCBE，DCDF。若1AE AE，则的值为_。3 14.已知函数 0,220,452xxxxxxf若函数xaxfy)(恰有4个零点,则实数a的取值范围为_ 三解答题：本大题共 6 小题,共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15）（本小题满分 13 分)某校夏令营有 3 名男同学CBA

5、,和 3 名女同学ZYX,，其年级情况如下表：一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)（1）用表中字母列举出所有可能的结果（2）设M为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”，求事件M发生的概率.16、（本小题满分 13 分）在ABC中,内角CBA,所对的边分别为cba,已知bca66，CBsin6sin（1）求Acos的值；（2）求)62cos(A的值.4 17、(本小题满分 13 分）如 图,四 棱 锥PABCD的 底 面ABCD是 平 行 四 边形,，分别是棱的

6、中点.（1）证明平面；（2）若二面角 PADB 为，证明:平面 PBC平面 ABCD 求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值。18、（本小题满分 13 分)设椭圆的左、右焦点分别为,右顶点为 A，上顶点为 B.已知=.（1）求椭圆的离心率;（2）设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 PB 为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点 M,=.求椭圆的方程。5 19。（本小题满分 14 分)已知函数232()(0),3f xxax axR（1）求()f x的单调区间和极值；(2）若对于任意的1(2,)x，都存在2(1,)x，使得12()()1f xf x，求a的取值范围 20。(本小题

7、满分14分）已 知q和n均 为 给 定 的 大 于 1 的 自 然 数,设 集 合12,1,0qM，集 合niMxqxqxxxxAinn,2,1,121，（1）当3,2nq时,用列举法表示集合 A；（2）设,121121nnnnqbqbbtqaqaasAts其中,2,1,niMbaii证明:若,nnba 则ts。6 参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 40 分。1.A 2.B 3.B 4。C 5。D 6.A 7.D 8.C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 30 分.9.60 10.203 11.-4 12。(,0)13.2 14

8、。（1，2）三、解答题：15。本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识。考查运用概率只是解决简单实际问题的能力.满分 13 分.解：(）从 6 名同学汇总随机选出 2 人参加只是竞赛的所有可能结果为 ,A BA CA XA YA ZB CB XB YB Z,C XC YC ZX YX ZY Z，共 15 种。（）选出的 2 人来自不同年纪且恰有 1 名男同学和 1 名女同学的所有可能结果为 ,A YA ZB XB ZC XC Y,共 6 种。因此,事件M发生的概率62()155P M 16.本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公

9、式、两角差的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查基本运算求解能力，满分 13 分。解：(）在ABC中，由sinsinbcBC,及sin6sinBC，可得6bc，又由66acb，有2ac 所以，2222222646cos242 6bcacccAbcc(）在ABC中，由6cos4A，可得10sin4A，于是 2315cos22cos1,sin22sincos44AAAAA 7 所以，153cos 2cos2 cossin2 sin6668AAA 17。本小题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识。考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分 1

10、3 分。（)证明：如图,取PB中点M，连接,MF AM，因为F为PC中点，故/MFBC且12MFBC，由已知有/,BCAD BCAD，又由于E为AD中点，因而/MFAE且MFAE，故四边形AMFE为平行四边形，所以/EFAM，又AM 平面PAB，而EF 平面PAB，所以/EF平面PAB(）(）证明:连接,PE BE，因为,PAPD BABD，而E为AD中点，故,PEAD BEAD，所以PEB为二面角PADB的平面角.在PAD中，由5,2PAPDAD，可解得2PE，在ABD中,由2,2BABDAD,可解得1BD,在PEB中，由2,1,60PEBEPEB，由余弦定理，可解得3PB，从而90PBE，

11、即BEPB，又/,BCAD BEAD，从而BEBC，因此BE 平面PBC。又BE 平面ABCD,所以,平面PBC 平面ABCD(）解：连接BF，由（）知，BE 平面PBC，所以EFB为直线EF与平面PBC所成的角，由3PB 及已知，得ABP为直角，而1322MBPB,可得112AM，故112EF,又1BE，故在直角三角形EBF中,2 11sin11BEEFBEF。8 所以，直线EF与平面PBC所成角的正弦值为2 1111 18.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力。满分 13 分

12、。（）解：设椭圆右焦点2F的坐标为(,0)c,由123|2ABFF，可得2223abc,又222bac，则2212ca 所以，椭圆的离心率22e （)解：由（）知222ac,22bc，故椭圆的方程为222212xycc 设00(,)P xy，由1(,0),(0,)FcBc，有1001(,),(,)FPxc yFBc c 由已知，有110FP FB，即00()0 xc cy c，又0c，故有 000 xyc 因为点P在椭圆上，故 22002212xycc 由和可得200340 xcy，而点P捕食椭圆的顶点，故043xc，代入得03cy,即点P的坐标为4,3c cc 设圆的圆心为11(,)T x

13、y，则11402233,2323cccxc yc，进而圆的半径22115(0)()3rxycc 由已知，有22222|TFMFr,又2|2 2MF,故有 9 2222258339cccc 解得23c 所以，所求椭圆的方程为22163xy 19.本小题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的性质，考查化归思想、分类讨论思想、函数思想。考查综合分析问题和解决问题的能力.满分 14 分。（）解:由已知，有2()22(0)fxxaxa 令()0fx,解得0 x 或1xa 当x变化时，(),()fxf x的变化情况如下表：x(,0)0 10,a 1a 1,a()fx-0+0 ()f x 0 213a 所以

14、，()f x的单调递增区间是10,a;单调递减区间是(,0)，1,a,当0 x 时,()f x有极小值,且极小值(0)0f;当1xa时，()f x有极大值，且极大值2113faa(）解：由3(0)02ffa及（）知，当30,2xa时，()0f x；当3,2xa时,()0f x 设集合()|(2,)Af xx，集合1|(1,),()0()Bxf xf x，则“对于任意的1(2,)x，都存在2(1,)x，使得12()()1f xf x”等价于AB，显然,0B。10 下面分三种情况讨论：（1)当322a，即304a时，由302fa可知，0A，而0B，所以A不是B的子集。（2)当3122a,即3342

15、a时，有(2)0f,且此时()f x在(2,)上单调递减，故(,(2)Af，因而(,0)A；由(1)0f，有()f x在(1,)上的取值范围包含(,0)，则(,0)B 所以，AB(3)当312a，即23a 时，有(1)0f，且此时()f x在(1,)上单调递减，故1,0,(,(2)(1)BAff，所以A不是B的子集。综上，a的取值范围是3 3,4 2 20。本小题主要考查集合的含义与表示,等比数列的前n项和公式，不等式的证明等基础只是和基本方法.考查运算能力、分析问题和解决问题的能力。满分 14 分。（)解:当2,3qn时，21230,1,|22,1,2,3iMAx xxxxxM i 可得，0,1,2,3,4,5,6,7A ()证明：由,s tA,111212.,.,nnnniisaa qa qtbb qb qa bM，1,2,.,in及nnab，可得 21112211()().()()nnnnnnstabab qabqab q 21(1)(1).(1)nnqqqqqq 11(1)(1)1nnqqqq 10 所以,st