(文理通用)江苏省2022高考数学二轮复习专题三解析几何第12讲圆锥曲线中探索性问题及创新型问题练习.pdf

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1、 文理通用江苏省 2022 高考数学二轮复习专题三解析几何第 12 讲圆锥曲线中探索性问题及创新型问题练习 -2-第 12 讲 圆锥曲线中探索性问题及创新型问题 课后自测诊断及时查漏补缺备考不留死角 1椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的长轴是短轴的两倍，点A3，12在椭圆C上不过原点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设直线OA，l，OB的斜率分别为k1，k，k2，且k1，k，k2恰好构成等比数列(1)求椭圆C的方程(2)试判断OA2OB2是否为定值？假设是，求出这个值；假设不是，请说明理由 解：(1)由题意知a2b且3a214b21，所以a24，b21，所以椭圆C的方程为x24y21.(2

2、)设直线l的方程为ykxm，m0，-3-A(x1，y1)，B(x2，y2)联立 ykxm，x24y21，整理得(14k2)x28kmx4m240，所以x1x28km14k2，x1x24m2414k2，且16(14k2m2)0.因为k1，k，k2恰好构成等比数列，所以k2k1k2y1y2x1x2kx1mkx2mx1x2，即k2k28k2m24m24m214k24m24，所以4k2m2m20，因为m0，所以k214，解得k12，此时16(2m2)0，即m(2，2)，所以 x1x22m，x1x22m22.-4-又OA2OB2x21y21x22y2234(x21x22)234(x1x2)22x1x22

3、5，所以OA2OB2是定值，且为 5.2(2022全国卷)点A，B关于坐标原点O对称，|AB|4，M过点A，B且与直线x20 相切(1)假设A在直线xy0 上，求M的半径 (2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|MP|为定值？并说明理由 解：(1)因为M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上由A在直线xy0 上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线yx上，故可设M(a，a)因为M与直线x20 相切，所以M的半径为r|a2|.由得|AO|2.又MOAO，-5-故可得 2a24(a2)2，解得a0 或a4.故M的半径r2 或r6.(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|MP|为定值

4、理由如下：设M(x，y)，由得M的半径为r|x2|，|AO|2.由于MOAO，故可得x2y24(x2)2，化简得M的轨迹方程为y24x.因为曲线C：y24x是以点P(1,0)为焦点，以直线x1 为准线的抛物线，所以|MP|x1.因为|MA|MP|r|MP|x2(x1)1，所以存在满足条件的定点P.3.如图，F1，F2分别是椭圆C：x2a2 -6-y2b21(ab0)的左、右焦点，点P(2,3)是椭圆C上一点，且PF1x轴(1)求椭圆C的方程；(2)设圆M：(xm)2y2r2(r0)设圆M与线段PF2交于A，B两点，假设MAMBMPMF2，且AB2，求r的值；设m2，过点P作圆M的两条切线分别交

5、椭圆C于G，H两点(均异于点P)试问：是否存在这样的正数r，使得G，H两点恰好关于坐标原点O对称？假设存在，求出r的值；假设不存在，请说明理由 解：(1)因为点P(2,3)是椭圆C上一点，且PF1x轴，所以椭圆的半焦距c2，由c2a2y2b21，得yb2a，所以b2aa24a3，化简得a23a40，解得a4，所以b2 -7-12，所以椭圆C的方程为x216y2121.(2)因为MAMBMPMF2，所以MAMPMF2MB，即PABF2.所以线段PF2与线段AB的中点重合(记为点Q)，由(1)知Q0，32.因为圆M与线段PF2交于A，B两点，所以kMQkABkMQkPF21，即032m30221，

6、解得m98，所以MQ 98020322158，又AB2，所以r 158212178.假设存在正数r满足题意 -8-由G，H两点恰好关于原点对称，设G(x0，y0)，那么H(x0，y0)，不妨设x00.因为P(2,3)，m2，所以两条切线的斜率均存在，设过点P与圆M相切的直线的斜率为k，那么切线方程为y3k(x2)，即kxy2k30，由该直线与圆M相切，得r31k2，即k 9r2r2，所以两条切线的斜率互为相反数，即kPGkPH，所以y03x02y03x02，化简得x0y06，即y06x0，代入x2016y20121，化简得x4016x20480，-9-解得x02(舍去)或x02 3，所以y0

7、3，所以G(2 3，3)，H(2 3，3)，所以kPG3 322 332，所以r313226 77.故存在满足条件的正数r，且r6 77.4.如图，点T为圆O：x2y21上一动点，过点T分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B，连结BA并延长至点P，使得BAAP，点P的轨迹记为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)假设点A，B分别位于x轴与y轴的正半轴上，直线AB与曲线C相交于M，N两点，试问：-10-在曲线C上是否存在点Q，使得四边形OMQN为平行四边形？假设存在，求出直线l的方程；假设不存在，请说明理由 解：(1)设P(x，y)，T(x0，y0)，那么A(x0,0)，B(0，y0)，由题意知

8、BAAP，所以A为PB中点，由 中 点 坐 标 公 式 得 x0 x2，0y0y2，即 x0 x2，y0y，又因为点T在圆O：x2y21 上，所以x20y201,从而x24y21.故曲线C的方程为x24y21.(2)假设存在满足题意的点Q，由题意知直线l的斜率存在且不为零，-11-设直线l的方程为ykxt，因为ABOT1，故tk2t21，即t2k2t21，联立 ykxt，x24y21，消去y，得(4k21)x28ktx4(t21)0,设M(x1，y1)，N(x2，y2)，那么x1x28kt4k21，x1x24t214k21，y1y2k(x1x2)2tk8kt4k212t2t4k21，因 为OMQN为 平 行 四 边 形，故Q8kt4k21，2t4k21，-12-因为点Q在椭圆上，所以8kt4k21242t4k2121，整理得 4t24k21，将代入，得 4k4k210，该方程无解，故不存在满足题意的点Q.