2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第九章-3-第3讲-圆的方程.pdf

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1、 2 0 2 1 届 浙 江 新 高 考 数 学 一 轮 复 习教 师 用 书：第 九 章-3-第 3 讲-圆的 方 程(总 1 5 页)-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-内页可以根据需求调整合适字体及大小-22 第 3讲 圆的方程 1圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心(a，b)半径为r 一般方程 x2y2DxEyF0 条件：D2E24F0 圆心：D2，E2 半径r12D2E24F 2.点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(

2、y0b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2.疑误辨析 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.()(3)方程Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的充要条件是AC0，B0，D2E24AF0.()(4)方程x22axy20 一定表示圆()(5)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0 外，则x20y20Dx0Ey0F0.()答案：(1)(2)

3、(3)(4)(5)教材衍化 1(必修 2P132A 组 T3 改编)以点(3，1)为圆心，并且与直线 3x4y0 相切的圆的方程是()A(x3)2(y1)21 33 B(x3)2(y1)21 C(x3)2(y1)21 D(x3)2(y1)21 答案：A 2(必修 2P124A 组 T1 改编)圆x2y24x6y0 的圆心坐标为_，半径为_ 解析：x2y24x6y0，得(x2)2(y3)213.所以圆心坐标为(2，3)，半径为13.答案：(2，3)13 3(必修 2P124A 组 T4 改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为_ 解析：设圆心坐标为C(a，0)

4、，因为点A(1，1)和B(1，3)在圆C上，所以|CA|CB|，即（a1）21（a1）29，解得a2，所以圆心为C(2，0)，半径|CA|（21）2110，所以圆C的方程为(x2)2y210.答案：(x2)2y210 易错纠偏(1)忽视表示圆的充要条件D2E24F0；(2)错用点与圆的位置关系；(3)不能正确确定圆心坐标 1若方程x2y2mx2y30 表示圆，则m的取值范围是_ 解析：将x2y2mx2y30 化为圆的标准方程得xm2(y1)2m242.由其表示圆可得m2420，解得m22.答案：(，22)(22，)2若点(1，1)在圆(xa)2(ya)24 的内部，则实数a的取值范围是_ 解析

5、：因为点(1，1)在圆内，所以(1a)2(a1)24，即1a0)，又圆与直线 4x3y0 相切，所以|4a3|51，解得a2 或a12(舍去)所以圆的标准方程为(x2)2(y1)21.答案：(x2)2(y1)21 求圆的方程(高频考点)求圆的方程是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度较小主要命题角度有：(1)由已知条件求圆的方程；(2)由圆的方程确定参数的值(范围)角度一 由已知条件求圆的方程 (1)圆心在曲线y2x(x0)上，且与直线 2xy10 相切的面积最小的圆的方程为()A(x1)2(y2)25 B(x2)2(y1)25 C(x1)2(y2)225 D(x2)2(y1

6、)225(2)(2020浙江百校联盟联考)经过点A(5，2)，B(3，2)，且圆心在直线 2xy30上的圆的方程为_【解析】(1)由圆心在曲线y2x(x0)上，设圆心坐标为a，2a，a0.又因为圆与直线2xy10 相切，所以圆心到直线的距离d2a2a154155，当且仅当 2a2a，即a1 时取等号所以圆心坐标为(1，2)，圆的半径的最小值为 5，则所求圆的方程为(x1)2(y2)25.55(2)因为圆过A(5，2)，B(3，2)两点，所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上 易知线段AB的垂直平分线方程为y12(x4)设所求圆的圆心为C(a，b)，则有 2ab30，b12（a4），解得a2，b1

7、，所以C(2，1)，所以半径r|CA|（52）2（21）210，所以所求圆的方程为(x2)2(y1)210.【答案】(1)A(2)(x2)2(y1)210 角度二 由圆的方程确定参数的值(范围)(1)设圆的方程是x2y22ax2y(a1)20，若 0a1，则原点与圆的位置关系是()A原点在圆上 B原点在圆外 C原点在圆内 D不确定(2)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0 表示圆，则圆心坐标是_，半径是_【解析】(1)将圆的一般方程化成标准方程为(xa)2(y1)22a，因 为0a0，即（0a）2（01）22a，所以原点在圆外(2)由二元二次方程表示圆的条件可得a2a2，解得a2

8、或1.当a2 时，方程为4x24y24x8y100，即x2y2x2y520，配方得x12(y1)2540，即 3a24a40，解得2a0)，由题意得a2b0，且a2(3)2b2，解得a2，b1.所以所求圆的标准方程为(x2)2(y1)24.答案：(x2)2(y1)24 3已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线 2xy0 的距离为455，则圆C的方程为_ 解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a0，所以圆心到直线 2xy0 的距离d2a5455，解得a2，所以圆C的半径r|CM|453，所以圆C的方程为(x2)2y29.答案：(x2)2y29 与圆

9、有关的最值问题(高频考点)与圆有关的最值问题是高考命题的热点，多以选择题，填空题的形式出现，试题难度为中等主题命题角度有：77(1)借助几何性质求最值；(2)建立函数关系求最值 角度一 借助几何性质求最值 已知实数x，y满足方程x2y24x10.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值【解】原方程可化为(x2)2y23，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yxk，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值，此时|2k0|k213，解得k3(如图 1)所以yx的最大值为 3，最小值为3.(2)yx可看作是直线

10、yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|20b|23，解得b26(如图 2)所以yx的最大值为26，最小值为2 6.(变问法)在本例条件下，求x2y2的最大值和最小值 解：x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)又圆心到原点的距离为（20）2（00）22，所以x2y2的最大值是(23)2743，x2y2的最小值是(23)2743.角度二 建立函数关系求最值 88 (2020义乌模拟)设点P(x，y)是圆：x2(y3)21 上的动点，定点A(2，0)，B(2，0)，则PAPB的最大

11、值为_【解析】由题意，知PA(2x，y)，PB(2x，y)，所以PAPBx2y24，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2(y3)21，故x2(y3)21，所以PAPB(y3)21y246y12.易知 2y4，所以，当y4 时，PAPB的值最大，最大值为 641212.【答案】12 求解与圆有关的最值问题的方法 1由直线yx1 上的一点向圆x26xy280 引切线，则切线长的最小值为_ 解析：切线长的最小值在直线yx1 上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3，0)到直线的距离为d|301|222，圆的半径为 1，故切线长的最小值为d2r2817.答案：7 2(2020杭州学军中学高三

12、调研)已知M(m，n)为圆C：x2y24x14y450 上任意一点，则n3m2的最大值为_，最小值为_ 解析：因为x2y24x14y450 的圆心C(2，7)，半径r22，记点Q(2，3)因为n3m2表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，则n3m2k.由直线MQ与圆C有公共点，所以|2k72k3|1k222.可得 23k23，所以n3m2的最大值为 23，最小值为 23.答案：23 23 3设圆x2y22 的切线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，当|AB|取最小99 值时，切线l的方程为_ 解析：设点A，B的坐标分别为A(a，0)，B(0，b)(a0

13、，b0)，则直线AB的方程为xayb1，即bxayab0.因为直线AB和圆相切，所以圆心到直线AB的距离d|ab|a2b22，即 2(a2b2)(ab)24ab，所以ab4，当且仅当ab时取等号又|AB|a2b2ab222，所以|AB|的最小值为 22，此时ab，即ab2，切线l的方程为x2y21，即xy20.答案：xy20 与圆有关的轨迹问题 已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50 相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程【解】(1)由x2y26x50 得(x3)2y24，所以圆C1的圆心坐标为(3，0)(2)设M(x，y)，因为点M为

14、线段AB的中点，所以C1MAB，所以kC1MkAB1，当x3 时可得yx3yx1，整理得x32y294，又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3，0)，代入上式成立 设直线l的方程为ykx，与x2y26x50 联立，消去y得：(1k2)x26x50.令其判别式(6)24(1k2)50，得k245，此时方程为95x26x50，解上式得x53，因此53x3.所以线段AB的中点M的轨迹的方程为x32y294530，b0)对称，则1a3b的最小值是()A23 C4 解析：选 D.由圆x2y22x6y10 知其标准方程为(x1)2(y3)29，因为圆x2y22x6y10 关于直线axby30(a0，b0)

15、对称，所以该直线经过圆心(1，1212 3)，即a3b30，所以a3b3(a0，b0)所以1a3b13(a3b)1a3b1313ab3ba9 131023ab3ba163，当且仅当3ba3ab，即ab时取等号，故选 D.7圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(1，1)，B(1，3),若M(m，6)在圆C内，则m的取值范围为_ 解析：设圆心为C(a，0)，由|CA|CB|得(a1)212(a1)232，所以a2.半径r|CA|（21）21210.故圆C的方程为(x2)2y210.由题意知(m2)2(6)210，解得 0m0 得(2)2(4)24m0，解得m5.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2

16、)，由x2y40 得x42y；将x42y代入x2y22x1616 4ym0 得 5y216y8m0，所以y1y2165，y1y28m5.因为OMON，所以y1x1y2x21，即x1x2y1y20.因为x1x2(42y1)(42y2)168(y1y2)4y1y2，所以x1x2y1y2168(y1y2)5y1y20，即(8m)8165160，解得m85.(3)设圆心C的坐标为(a，b)，则a12(x1x2)45，b12(y1y2)85，半径r|OC|455，所以所求圆的方程为x45y85165.6已知以点Ct，2t(tR，t0)为圆心的圆与x轴交于点O和点A，与y轴交于点O和点B，其中O为坐标原点

17、(1)求证：OAB的面积为定值；(2)设直线y2x4 与圆C交于点M，N，若OMON，求圆C的方程 解：(1)证明：因为圆C过原点O，所以OC2t24t2.设圆C的方程是(xt)2y2tt24t2，令x0，得y10，y24t；令y0，得x10，x22t，所以SOAB12OAOB12|2t|4t|4，即OAB的面积为定值(2)因为OMON，CMCN，因为OC垂直平分线段MN.因为kMN2，所以kOC12.所以2t12t，解得t2 或t2.当t2 时，圆心C的坐标为(2，1)，OC5，此时，C到直线y2x4 的距离d155.圆C与直线y2x4 不相交，所以t2 不符合题意，舍去 综上圆C的方程为(x2)2(y1)25.