2017年全国高考理科数学(全国一卷)试题及答案.pdf

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1、.2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 满分 150 分。考试用时 120 分钟。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合|1|31xAx xBx，则 A|0ABx x B AB R C|1ABx x DAB 2如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A14 B8 C12 D4 3设有下面四个命题 1p：若复数z满足1zR，则zR；2p：若复数z满足2z R，则zR；3p：若复数

2、12,z z满足1 2z z R，则12zz；4p：若复数zR，则z R.其中的真命题为 A13,pp B14,pp C23,pp D24,pp 4记nS为等差数列na的前n项和若4524aa，648S，则na的公差为 A1 B2 C4 D8 5函数()f x在(,)单调递减，且为奇函数若(11)f，则满足21()1xf 的x的取值范围是 A 2,2 B 1,1 C0,4 D1,3 6621(1)(1)xx展开式中2x的系数为 A15 B20 C30 D35 7某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个

3、面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A10 B12 C14 D16 .8右面程序框图是为了求出满足321000nn的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入 A1000A和1nn B1000A和2nn C1000A和1nn D1000A和2nn 9已知曲线122:cos,:sin(2)3Cyx Cyx，则下面结论正确的是 A 把1C上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线2C B 把1C上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线2C C 把1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵

4、坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线2C D把1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线2C 10已知F为抛物线2:4C yx的焦点，过F作两条互相垂直的直线12,l l，直线1l与C交于A、B两点，直线2l与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A16 B14 C12 D10 11设xyz为正数，且235xyz，则 A235xyz B523zxy C 352yzx D325yxz 12几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软

5、件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是02，接下来的两项是012,2，再接下来的三项是0122,2,2，依此类推。求满足如下条件的最小整数:100N N 且该数列的前N项和为2 的整数幂。那么该款软件的激活码是 A440 B330 C220 D110.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知向量a，b的夹角为 60，|a|=2，|b|=1，则|a+2 b|=14设,x y满足约束条件21210 xyxyxy，则32zxy的最小值为 15已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右顶点

6、为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若60MAN，则C的离心率为_。16如图，圆形纸片的圆心为O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生

7、根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为23sinaA（1）求sinsinBC;（2）若6coscos1,3BCa，求ABC的周长.18.（12 分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且90BAPCDP.（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，90APD，求二面角A-PB-C的余弦值.19（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态

8、分布2(,)N （1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数，求(1)P X 及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得16119.9716iixx，161622

9、221111()(16)0.2121616iiiisxxxx，其中ix为抽取的第i个零件的尺寸，1,2,16i 用样本平均数x作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(3,3)之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到 0.01）附：若随机变量Z服从正态分布2(,)N，则(33)0.997 4PZ，160.997 40.959 2，0.0080.09 20.（12 分）已知椭圆C：2222=1xyab（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点

10、且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.21.（12 分）已知函数2()(2)xxf xaeaex（1）讨论()f x的单调性；（2）若()f x有两个零点，求a的取值范围.（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos,sin,xy（为参数），直线l的参数方程为4,1,xattyt（为参数）.（1）若a=1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a.23选修 45：不等式选讲（10

11、 分）已知函数2()4,()|1|1|f xxaxg xxx （1）当1a 时，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a的取值范围.2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A,2B,3B,4C,5D,6C,7B,8D,9D,10A,11D,12A.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。132 3 14-5 152 33 1634 15cm 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或

12、演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为23sinaA（1）求 sinBsinC;（2）若 6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周长.解：（1）由题设得21sin23sinaacBA，即1sin23sinacBA 由正弦定理得1sinsinsin23sinACBA，故2sinsin3BC。（2）由题设及（1）得1coscossinsin2BCBC，即1cos()2BC 所以23BC，故3A.由题设得21sin23si

13、nabcAA，即8bc 由余弦定理得229bcbc，即2()39bcbc，得33bc 故ABC的周长为333 18.（12 分）解：（1）由已知90BAPCDP，得ABAP，CDPD 由于/ABCD，故ABPD，从而AB 平面PAD 又AB 平面PAB，所以平面PAB 平面PAD（2）在平面PAD内作PFAD，垂足为F.由（1）可知，AB 平面PAD，故ABPF，可得PF 平面ABCD.以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，|AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.由（1）及已知可得2222(,0,0),(0,0,),(,1,0),(,1,0)2222APBC.所以2222(,1

14、,),(2,0,0),(,0,),(0,1,0)2222PCCBPAAB 设(,)nx y z是平面PCB的法向量，则 0,0n PCn CB即220,220 xyzy 可取(0,1,2)n 设(,)mx y z是平面PAB的法向量，则 0,0m PAm AB即220,220 xzy 可取(1,0,1)m 则3cos,|3n mn mn m.所以二面角APBC的余弦值为33.19（12 分）解：（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)之内的概率为 0.9974，从而零件的 尺寸在(3,3)之外的概率为 0.0026，故(16,0.0026)XB，因此 16(1)1(0)1 0.99740.040

15、8P XP X X的数学期望为16 0.00260.0416EX （2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)之外的概率只有 0.0026，一天内抽取的 16 个零件中，出现尺寸在(3,3)之外的零件的概率只有 0.0408，发生的概率很小。因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的。（ii）由9.97,0.212xs，得的估计值为9.97,的估计值为0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(3,3)之外，因此需对当天的生产过程进行检查。剔除(3,3)之外的数据 9.22，剩

16、下数据的平均数为 1(16 9.979.22)10.0215,因此的估计值为 10.02.162221160.21216 9.971591.134iix 剔除(3,3)之外的数据 9.22，剩下数据的样本方差为 221(1591.1349.2215 10.02)0.00815.因此的估计值为0.0080.09.20.（12 分）解：（1）由于34,P P两点关于y轴对称，故由题设知C经过34,P P两点.又由222211134abab知，C不经过点1P，所以点2P在C上 因此22211,1314bab解得2241ab 故C的方程为2214xy.（2）设直线2P A与直线2P B的斜率分别为12

17、,k k 如果l与x轴垂直，设:l xt，由题设知0t，且|2t，可得,A B的坐标分别为2244(,),(,)22tttt 则22124242122ttkktt，得2t，不符合题设.从而可设:(1)l ykxm m，将ykxm代入2214xy得 222(41)8440kxkmxm.由题设可知2216(41)0km 设1122(,),(,)A x yB xy，则2121222844,4141kmmxxx xkk 而 12121211yykkxx121211kxmkxmxx1212122(1)()kx xmxxx x.由题设121kk，故1212(21)(1)()0kx xmxx,即222448

18、(21)(1)04141mkmkmkk.解得12mk 当且仅当1m 时，0，于是1:2ml yxm，所以l过定点(2,1).21.（12 分）解：（1）()f x的定义域为(,)，2()2(2)1(1)(21)xxxxfxaeaeaee （i）若0a，则()0fx，所以()f x在(,)单调递减（ii）若0a，则由()0fx的lnxa.当(,ln)xa 时，()0fx；当(ln,)xa 时，()0fx 所以()f x在(,ln)a 单调递减，在(ln,)a单调递增。（2）（i）若0a，由（1）知，()f x至多有一个零点（ii）若0a，由（1）知，当lnxa 时，()f x取得最小值，最小值为

19、1(ln)1lnfaaa 当1a 时，由于(ln)0fa，故()f x只有一个零点；当(1,)a时，由于11ln0aa，即(ln)0fa，故()f x没有零点；当(0,1)a时，11ln0aa，即(ln)0fa又 又422(2)(2)2220faeaee，故()f x在(,ln)a 有一个零点。设正整数0n满足03ln(1)na，则00000000()(2)20nnnnf neaeanenn.由于3ln(1)lnaa，因此()f x在(ln,)a有一个零点.综上，a的取值范围为(0,1).22解：（1）曲线C的普通方程为2219xy，当1a 时，直线l的普通方程为430 xy.由22430,1

20、9xyxy解得3,0 xy或21252425xy 从而C与l的交点坐标为21 24(3,0),(,)25 25（2）直线l的普通方程为440 xya，故C上的点(3cos,sin)到l的距离为|3cos4sin4|17ad 当4a时，d的最大值为917a，由题设得91717a，所以8a；当4a时，d的最大值为117a，由题设得11717a，所以16a .综上，8a 或16a 23解：（1）当1a 时，不等式()()f xg x等价于 2|1|1|40 xxxx 当1x 时，式化为2340 xx，无解；当11x 时，式化为220 xx，从而11x；当1x 时，式化为240 xx，从而11712x 所以()()f xg x的解集为117|12xx （2）当 1,1x 时，()2g x 所以()()f xg x的解集包含 1,1，等价于当 1,1x 时()2f x 又()f x在 1,1的最小值必为(1)f 与(1)f之一，所以(1)2f 且(1)2f，得11a 所以a的取值范围为 1,1