三角函数任意角的三角函数.pdf

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1、三角函数任意角的三角函数 教学目标 1使学生切实掌握任意角三角函数的定义 2使学生掌握三角函数的定义域及其确定方法 3使学生掌握三角函数值在各个象限内的符号 4使学生掌握诱导公式一 教学重点与难点 教学难点为：任意角三角函数的定义教学重点为：三角函数的定义；三角函数的定义域及其确定方法；三角函数值在各个象限内的符号以及诱导公式一 教学过程设计 师：我们学过锐角的正弦、余弦、正切、余切四种函数，即在图 1 中所示的直角三角形 ABC 中，A 是锐角，C 是直角，那么（板书）师：经过最近几节课的学习，我们知道角的概念已 经被推广了，我们现在所说的角可以是任意大小的正角、负角和零角，那么任意角的三角

2、函数是怎么定义的呢？直角三角形显然不能包含所有的角 生：借助平面直角坐标系来定义 师：好的这位同学可能预习了任意角三角函数就是在平面直角坐标系内定义的 设角是一个任意大小的角，我们以它的顶点为原点，以它的始边为 x 轴的正半轴 Ox，建立直角坐标系（图 2）在角的终边任取一点 P，它的横坐标是x，纵坐标是 y，点 P 和原点 O（0，0）的距离 r=余割分别规定为（板书）师：以前我们就知道，图 1 中的四个比值的大小仅与角 A 的大小有关，而与直角三角形的大小无关；同样，在图 2 中，六个比值的大小也仅与角的大小有关，而与点 P 在角的终边上的位置无关 师：下面咱们一起来看这六个三角函数，自变

3、量是什么？是 x？是 y？是 r？还是角？大家讨论一下 生：师：通过大家的讨论，咱们可以看出，只要角确定了，就能在它的终边上取点，从而可确定 x，y，计算出 r 的值，所以自变量应是角 这些函数的函数值是什么呢？生：两个量的比值 师：也就是说是个实数 由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是以实数为自变量的函数，即 实数角（其弧度数等于这个实数）三角函数值（实数）也就是说，三角函数是以角（实数）为自变量，以比值为函数值的函数 既然是研究函数，那么就要从函数最主要的内容三要素入手，而其中又以定义域和对应法则更重要，三角函数的对应法则我们可以由解析式中直接看出下面我们研究各

4、个函数的定义域 （这几个函数的定义域并不难求，只是务必使学生明确，函数的自变量是角定义域由学生一一做答，教师最后在黑板上列表总结）三角函数 定 义 域 sin|R cos|R tan cot|R，k，kZ sec csc|R，k，kZ 师：我们已经知道了三角函数的定义，下面我们就该应用定义解题了请看例 1（板书）例 1 已知角的终边经过点 P（2，-3），求的六个三角函数值 因此 师：这道小题会做了，下面的两道小题也就不成问题了大家都在笔记本上准备一下，一会儿，我叫几个同学说一下你们的答案（2）在角的终边上任取一点（-1，0），x=-1，y=0，r=1，sin=0，cos=-1，tan=0，c

5、ot不存在，sec=-1，csc不存在；=-1 师：下一个问题是确定一下各三角函数值在每个象限的符号 我们知道，当角的概念被推广后，我们常常把角放到平面直角坐标系中讨论当角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在 x 轴的正半轴上时，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角现在，我们又学习了三角函数，若一类三角函数值在同一个象限的符号是一致的，那我们既可以根据角所在象限确定出相应的三角函数的符号，又可以利用三角函数的符号确定出角所在的象限了 下面咱们先看正弦函数的函数值在各个象限内的符号（请好学生回答）生：对于 sin，当角在第一象限内时，它的符号是正的，当角在第二象限时，师：等等，你所说的第一

6、条结论正确，你能不能把你的解题方法具体地告诉我们？（尽量突出这节课的主要内容）就是说，角的终边落在第一象限内，而第一象限内的点的坐标都是正的，所以 sin0 师：解题思路非常清楚，就是下结论前的叙述显得有点匆忙，不够确切咱们看这样说是不是更好些？前边的就用他的说法，接着说，第 大于零，所以得出结论，sin0，符号为“+”师：这个结论一经推出，其余问题我们也就都会解决了下面我们再把角落在第二、第三、四象限内，将正弦函数的函数值的符号确定一下 当角在第三象限时，sin的符号为“-”；当角在第四象限时，sin的符号也为“-”号与谁的符号一致？生：与 y 的符号一致 师：好的现在正弦函数的问题咱们已经

7、解决了，下面该确定余弦函数的函数值在各个象限内的符号了我想，得出正确结论已经不是什么难事了只是如果请你说，你能叙述得完整吗？另外，你还有没有别的办法解决这个问题？的，所以 cos的符号是由 x 确定的，而且与 x 的符号相同x 是角所在象限内的点的横坐标，所以当角在第一象限内时，cos的符号为“+”，当角在第二或第三象限时，cos的符号为“-”；而当角在第四象限时，cos的符号为“+”师：回答得很好各个量之间的关系都说得非常清楚、准确 生：还可以简单地记为：余弦函数值的符号与x 的符号一致 师：也对只是这个结论前的一些推理咱们必须清楚 生：对于第一、三象限内的角，正切值为正的，因为此时 x，y

8、 同号；对于第二、四象限内的角，正切值为负的，因为此时 x，y 异号 师：完全正确我们研究清楚了正弦、余弦、正切函数的函数值在各个象限内的符号，剩下的三个三角函数的函数值在各个象限内的符号就好确定了为什么？符号一致 师：很好为了便于记忆，我们不妨把刚才的结论总结于坐标系中，看看这种直观、形象的方式是否适合于你？（板书）师：现在我们知道了三角函数的函数值是由角的终边的位置决定的显然，当两个角相差 360的整数倍时，它们俩的终边相同，所以它们的同一个三角函数的值相等由此得到一组公式（公式一）（板书）师：这组公式使我们可以把任意角的三角函数值的问题，转化为 0360（或 02）间的角的三角函数值的问

9、题（板书）师：下面咱们小结一下这节课，这节课的主要内容是任意角三角函数的定义，通过对这一定义的学习，我们要掌握六个三角函数的定义域，要会利用定义，求出各三角函数在每个象限的符号并且记住各结论 要知道公式一的理论依据就是任意角三角函数的定义，当然还要掌握公式一 作业：课本 P138 练习一第 1，2，3，4，5，6 题其中第 2，3 题写在书上，其余的写在本上 课堂教学设计说明 1复习锐角三角函数 2讲解任意角三角函数的定义 3用列表的形式总结出各个三角函数的定义域 4例 1 是三角函数定义的最简单、直接的应用例 2 是应用任意角三角函数的定义解题 5利用三角函数的定义和各象限内点的坐标的符号，

10、确定各三角函数值在每个象限的符号 6诱导公式一 7例 3 和例 4 8小结、作业 为什么要采取以上步骤呢？因为本节课的重点和难点就是任意角三角函数的定义，而其余内容均是关于任意角三角函数的定义的应用，所以对于这一定义，不仅安排了复习锐角的三角函数，而且还安排了两道应用定义的例题，即例 1和例 2此外，三角函数与学生们以往所学过的函数从形式上看区别很大，有的学生可能一时找不对自变量，所以，在讲课时注意强调了三角函数的自变量是角，并在此基础上，应用新学的任意角三角函数的定义，求出各个三角函数的定义域 应用三角函数的定义，可判断出三角函数在各个象限的符号对于这点，教师觉得学生完全有能力自己完成，所以，这块知识是以教师提问学生回答，最后一起做总结的形式完成的 诱导公式一，也是任意角三角函数定义的再次应用，有了它，我们就可以把求任意角的三角函数值问题，转化为求 0360（或 02）间角的三角函数值的问题了