2015·全国卷2(文数).pdf

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1、.2015全国卷(文科数学)1A12015全国卷 已知集合 Ax|1x2，Bx|0 x3，则 AB()A(1，3)B(1，0)C(0，2)D(2，3)1A 解析 根据并集的概念可知 ABx|1x2x|0 x3x|1x18(否)，b4；144(是)，144(是)，a10；104(是)，104(是)，a6；64(是)，64(是)，a2；24(是)，24(否)，b2；22(否)，输出 a2.9D32015全国卷 已知等比数列an满足 a114，a3a54(a41)，则 a2()A2 B1 C.12 D.18 9C 解析 因为an为等比数列，所以 a3a54(a41)a24，得 a42，而 a114，

2、a4a12148q3，得公比 q2，所以 a214212.10G82015全国卷 已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB90，C 为该球面上的动点若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为()A36 B64 C144 D256 10C 解析 因为 V三棱锥O-ABCV三棱锥C-OAB，所以三棱锥 O-ABC 体积的最大值即三棱锥 C-OAB 体积的最大值，所以当 C 到平面 OAB 的距离最大时，即 CO平面 OAB 时，体积最大，设球的半径为 r，则 V三棱锥O-ABCV三棱锥C-OAB16r336，所以 r6，则球 O 的表面积 S4r2144.11 B1420

3、15全国卷 如图 1-4，长方形 ABCD 的边 AB2，BC1，O 是 AB 的中点 点P 沿着边 BC，CD 与 DA 运动，记BOPx.将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为 x 的函数f(x)，则 yf(x)的图像大致为()图 1-4 .图 1-5 11B 解析 当 P 在 BC 边上时，PBOBtan xtan x，PA AB2PB2 tan2x4，所以 f(x)tan x tan2x40 x4，显然 f(x)单调递增且是非线性的，当 x4时，f41 5.当 P 位于 CD 中点时，x2，f2PAPB2 2，所以可知当 P 从 B 运动到 C 时，f(x)从 2 增到 1 5，当

4、 P 从 C 运动到 CD 中点时，f(x)从 1 5减到 2 2，且增减都是非线性的，结合图像可知选 B.12B3、B42015全国卷 设函数 f(x)ln(1|x|)11x2，则使得 f(x)f(2x1)成立的x 的取值范围是()A.13，1 B，13(1，)C13，13 D，1313，12A 解析 由已知可知 f(x)的定义域为 R，且有 f(x)f(x)，即函数 f(x)为偶函数，所以要使得 f(x)f(2x1)成立，即使得 f(|x|)f(|2x1|)成立 又当 x0 时，f(x)ln(1x)11x2为增函数，所以得|x|2x1|，解得13xb0)的离心率为22，点(2，2)在 C

5、上(1)求 C 的方程；(2)直线 l 不经过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为M，证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值 20解：(1)由题意有a2b2a22，4a22b21，解得 a28，b24.所以 C 的方程为x28y241.(2)证明：设直线 l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将 ykxb 代入x28y241 得(2k21)x24kbx2b280.故 xMx1x222kb2k21，yMkxMbb2k21.于是直线 OM 的斜率 kOMyMxM12k，即 kOMk12.所以直线

6、OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值 21B3、B122015全国卷 已知函数 f(x)ln xa(1x)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a2 时，求 a 的取值范围 21解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)1xa.若 a0，则 f(x)0，所以 f(x)在(0，)上单调递增 若 a0，则当 x0，1a时，f(x)0；当 x1a，时，f(x)0 时，f(x)在 x1a处取得最大值，最大值为 f1aln1aa11aln aa1.因此 f1a2a2 等价于 ln aa10.令 g(a)ln aa1，则 g(a)在(0，)上单调递增，又 g(

7、1)0.于是，当 0a1 时，g(a)1 时，g(a)0.因此，a 的取值范围是(0，1)22N12015全国卷 选修 4-1：几何证明选讲 如图 1-9，O 是等腰三角形 ABC 内一点，O 与ABC 的底边 BC 交于 M，N 两点，与底边上的高 AD 交于点 G，且与 AB，AC 分别相切于 E，F 两点(1)证明：EFBC；(2)若 AG 等于O 的半径，且 AEMN2 3，求四边形 EBCF 的面积.图 1-9 22解：(1)证明：由于ABC 是等腰三角形，ADBC，所以 AD 是CAB 的平分线 又因为O 分别与 AB，AC 相切于点 E，F，所以 AEAF，故 ADEF.从而 E

8、FBC.(2)由(1)知，AEAF，ADEF，故 AD 是 EF 的垂直平分线又 EF 为O 的弦，所以 O在 AD 上 连接 OE，OM，则 OEAE.由 AG 等于O 的半径得 AO2OE，所以OAE30，因此ABC 和AEF 都是等边三角形 因为 AE2 3，所以 AO4，OE2.因为 OMOE2，DM12MN 3，所以 OD1.于是 AD5，AB10 33.所以四边形 EBCF 的面积为1210 3323212(2 3)23216 33.23N32015全国卷 选修 4-4：坐标系与参数方程.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：xtcos，ytsin(t 为参数，t0)，其中 0，在

9、以 O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：2sin，C3：2 3cos.(1)求 C2与 C3交点的直角坐标；(2)若 C1与 C2相交于点 A，C1与 C3相交于点 B，求|AB|最大值 23解：(1)曲线 C2的直角坐标方程为 x2y22y0，曲线 C3的直角坐标方程为 x2y22 3x0.联立x2y22y0，x2y22 3x0，解得x0，y0或x32，y32.所以 C2与 C3交点的直角坐标为(0，0)和32，32.(2)曲线 C1的极坐标方程为(R，0)，其中 0cd，则 a b c d；(2)a b c d是|ab|cd 得(a b)2(c d)2.因此 a b c d.(2)(i)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)得 a b c d.(ii)若 a b c d，则(a b)2(c d)2，即 ab2 abcd2 cd.因为 abcd，所以 abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|c d是|ab|cd|的充要条件