一元二次方程知识点总结与习题.pdf

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1、【基础知识巩固】知识点 1.一元二次方程概念 只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程。1,判别下列方程是不是一元二次方程，(1)2x2-x-3=0.(2)4y-y2=0.(3)t2=0.(4)x3-x2=1.(5)x2-2y-1=0.(6)21x-3=0.(7)xx32=2.(8)(x+2)(x-2)=(x+1)2.(9)3x2-x4+6=0.(10)3x2=4x-3.2,推断下列方程是否为一元二次方程：)0(0).7(0).6()2)(1(3).5(023).4(1).3(1).2(1).1(222222的常数为不等于mmxcbxaxxxxyxxxxxxx

2、 3,下列方程中，关于x的一元二次方程是 （）（A）23121xx（B）21120 xx（C）20axbxc （D）2221xxx 4,下列方程中，不是一元二次方程的是 （）（A）2x2+7=0 （B）2x2+23x+1=0（C）5x2+x1+4=0 （D）3x2+(1+x)+1=0 5,若关于 x 的方程 a(x1)2=2x22 是一元二次方程，则 a 的值是 （）（A）2（B）2（C）0（D）不等于 2 6,已知关于x的方程03122pxnxm，当时，方程为一次方程；当 时，两根中有一个为零a。7,已知关于x的方程2220mmxxm：（1）m 为何值时方程为一元一次方程；（2）m 为何值时

3、方程为一元二次方程。知识点二.一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是：200axbxca，其中2ax是二次项，a叫二次项系数；bx是一次项，b叫一次项系数，c是常数项。特殊警示：（1）“0a”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分；（2）二次项系数,一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必需先将方程化为一般形式。1,指出下列一元二次方程的二次项系数,一次项系数和常数项.2(1)109000 xx2(2)5102.20 xx2(3)2150 x 2(4)30 xx(5)3)2(2x (6)0)3)(3(xx 2,关于x的方程2320axx是一

4、元二次方程，则 （）（A）0a （B）0a （C）1a （D）0a 3,将下列一元二次方程化成一般形式，并找出a,b,c的值.(1)2435xx；(2)22831xx x 4,方程（m21）x2mx50 是关于 x 的一元二次方程，则 m 满意的条件是（）（A）m1 （B）m0（C）|m|1 （D）m1 5,关于x的方程06232xx中a是；b是；c是。6,方程 495235232xxxx的一般形式为。7,方程(m-5)(m-3)x2m+(m-3)x+5=0 中，当 m 为何值时，此方程为一元二次方程 知识点三.一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。1,已知方程

5、2390 xxm的一个根是 1，则 m 的值是。2,已知1x 是一元二次方程2210 xmx 的一个解，则 m 的值是 （）（A）1（B）0（C）0 或 1（D）0a 3,若1x 是一元二次方程220axbx的一个根，则ab。4,实数aacbb242是方程的根 （）（A）02cbxax（B）02cbxax（C）02cbxax（D）02cbxax 5,设a是一元二次方程052 xx的较大根，b是0232 xx较小根，则ba 的值是（）（A）-4 （B）-3 （C）1 （D）2 6,已知关于x的一元二次方程220 xkx 的一个解与方程131xx的解相同。（1）求k的值；（2）求方程220 xkx

6、的另一个解。7,设12,x x是关于x的一元二次方程20 xpxq的两个根，121,1xx是关于x的一元二次方程20 xqxp的两个根，则,p q的值分别等于多少？知识点四.一元二次方程的解法 一元二次方程的四种解法：（1）直接开平方法：假如20 xk k，则xk.利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如bax2)(的一元二次方程。依据平方根的定义可知，ax是 b 的平方根，当0b时，bax，bax，当 b0 时，方程没有实数根。（2）配方法：要先把二次项系数化为 1，然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负

7、常数的形式，然后用直接开平方法求解；配方法的理论依据是完全平方公式222)(2bababa，把公式中的 a 看做未知数 x，并用 x 代替，则有222)(2bxbbxx。配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为 1，再同时加上 1 次项的系数的一半的平方，最终配成完全平方公式（3）公式法：一元二次方程200axbxca的求根公式是242bbacxa 240bac；公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在运用公式法时，肯定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便推断方程是否有解。（4）因式分解法：假如0 xaxb则12,xa

8、 xb。分解因式法的步骤：把方程右边化为 0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，假如可以，就可以化为乘积的形式 温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它运用的频率最高，在详细应用时，要留意选择最恰当的方法解。1,方程2250 x 的解是：（）（A）125xx（B）1225xx（C）125,5xx （D）1225,25xx 2,方程220 xx的解是：（）（A）121xx（B）121,3xx （C）122,0 xx （D）122,0 xx 3,方程25115xx的较简便的解法应选用。4,解下列方程：（1）2331xx （2）2230

9、 xx （3）2230 xx 5开平方法解下列方程：012552x289)3(1692x03612y 0)31(2m85)13(22x 6配方法解方程：0522 xx0152yy3422yy 7公式法解下列方程：2632xxpp3232yy1172 2592 nn3)12)(2(2xxx 8因式分解法解下列方程：09412x04542yy031082xx 02172xx6223362xxx1)5(2)5(2xx 08)3(2)3(222xxx 9用适当方法解下列方程：128)72(22x222)2(212mmmm )3)(2()2(6xxxx3)13(2)23(332yyyyy 22)3(14

10、4)52(81xx 10,解下列方程：yy323221211312xx2252)3(xx 2222263yyy2233mxmx 122122xxxx2330 xx 024142mxmmx 知识点五.一元二次方程根的判别式 对于一元二次方程200axbxca的根的判别式是24bac：（1）当240bac时，方程有两个不相等的实数根；（2）当240bac时，方程有两个相等的实数根；（3）当240bac时，方程无实数根。温馨提示：若方程有实数根，则有240bac。1,已知方程230 xxk有两个不相等的实数根，则 k=。2,关于x的一元二次方程2210kxx 两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是

11、 （）（A）1k （B）1k （C）0k（D）10kk 且 3,在下列方程中，有实数根 的是 （）（A）2310 xx（B）411x （C）2230 xx （D）111xxx 4,当 m 满意何条件时，方程019122mxmmx有两个不相等实根？有两个相等实根？有实根？5,关于x的方程05222mxmmx无实根，试解关于x的方程02252mxmxm。6,已知关于x的一元二次方程241210 xmxm，求证：不论 m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根。7,将一条长 20m 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于 17 平方米，则这段铁

12、丝剪成两段后的长度分别是多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于 12 平方米吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。知识点六.一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程200axbxca的两个实数根为12,x x，则1212,bcxxx xaa。（韦达定理）温馨提示：利用根与系数的关系解题时，一元二次方程必需有实数根。1,关于x的一元二次方程22430 xkxk 的两个实数根分别是12,x x，且满意1212xxx x，则 k 的值为：（）（A）314 或（B）1（C）34（D）不存在 2,已知,是关于x的一元二次方程22230 xmxm的两个不相等的实数根，且满意111，则 m的

13、值是 （）（A）3 或-1（B）3 （C）1 （D）-3 或 1 3,关于x的一元二次方程222310 xxm 有两个实数根12,x x，且12124x xxx，则 m 的取值范围是 （）（A）53m （B）12m（C）53m （D）5132m 4,方程2360 xx与方程2630 xx 的全部根的乘积是 5,两个不相等的实数 m,n 满意2264,64mmnn，则 mn 的值为。6,设12,x x是关于x的方程2100 xmxmm的两个根，且满意121123xx，求 m 的值。7,已知：ABC 的两边 AB,AC 的长是关于x的一元二次方程2223320 xkxkk的两个实数根，第三边 BC

14、 的长为 5，问：k 取何值时，ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形？知识点七.一元二次方程的实际应用 列一元二方程解应用题的一般步骤：（1）审题（2）设未知数（3）列方程（4）解方程（5）检验（6）写出答案。在检验时，应从方程本身和实际问题两个方面进行检验。1,某商品原价每件 25 元，在圣诞节期间连续两次降价，现在商品每件 16 元，则该玩具平均每次降价的百分率是。2,有一个两位数，十位数字比个位数字大 3，而此两位数比这两个数字之积的二倍多 5，求这个两位数。3,一块长方形铁皮的长是宽的倍，四角各截去一个正方形，制成高是cm，容积是cm3的无盖长方体容器。求这块铁皮的长和宽。4,市政府

15、为了解决市民看病难的问题，确定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒 200 元下调至128 元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？5,一根长22cm的铁丝（1）能否围成面积是30cm2的矩形？（2）能否围成面积是 32 cm2的矩形？并说明理由 6,西瓜经营户以 2 元/千克的价格购进一批小型西瓜，以 3 元/千克的价格出售，每天可售出 200 千克，为了促销，该经营户确定降价，经调查发觉，这种小西瓜每降价 0.1 元/千克，每天可多售出 40 千克，另外，每天的房租等固定成本共 24 元，该经营户要想每天盈利 200 元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？7,在矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=3cm。点 P 沿边 AB 从点 A 开始向点 B 以 2cm/s 的速度移动，点 Q 沿边 DA 从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动。假如 P,Q 同时动身，用 t（s）表示移动的时间（0t3）。则，当 t 为何值时，QAP 的面积等于 2cm2 QPDCBA