【新高考数学专用】专题03圆锥曲线中的中点弦问题(原卷版+解析版)-2022年难点解题方法突破.pdf

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1、 专题 03 圆锥曲线中的中点弦问题 一、单选题 1已知椭圆22134xy的弦被点(1,1)平分，那么这条弦所在的直线方程为（）A4370 xy B4370 xy C3410 xy D3410 xy 2已知椭圆22:143xyC，过点 11P，的直线l与椭圆C交于,A B两点，若点P恰为弦AB中点，则直线l斜率是（）A3 B13 C34 D43 3直线1ykx与椭圆2214xy相交于,A B两点，若AB中点的横坐标为1，则k=（）A2 B1 C12 D1 4已知抛物线2:4C yx，以 1,1为中点作C的弦，则这条弦所在直线的方程为（）A210 xy B210 xy C230 xy D230

2、xy 5已知椭圆G：22221xyab(0ab)的右焦点为3,0F，过点F的直线交椭圆于A，B两点.若AB的中点坐标为1,1，则G的方程为（）A2214536xy B2213627xy C2212718xy D221189xy 6在平面直角坐标系 xOy中，F是抛物线26yx的焦点，A、B 是抛物线上两个不同的点若AFBF5，则线段 AB 的中点到 y轴的距离为（）A12 B1 C32 D2 7过椭圆2222:1(0)xyCabab的右焦点(2,0)F的直线与C交于A，B两点，若线段AB的中点M 的坐标为95,77，则C的方程为（）A22195xy B2215xy C22162xy D2211

3、06xy 8已知椭圆2222:1(0)xyGabab的右焦点为 F(3,0)，过点 F的直线交椭圆于 A,B两点.若 AB的中点坐标为（1，-1），则 G的方程为（）A2214536xy B2213627xy C2212718xy D221189xy 9 直线l过点(1,1)P与抛物线24yx交于,A B两点，若P恰为线段AB的中点，则直线l的斜率为（）A2 B2 C12 D12 10已知椭圆22221(0)xyabab的右焦点为F，离心率22，过点F的直线l交椭圆于,A B两点，若AB中点为(1,1)，则直线l的斜率为（）A2 B2 C12 D12 11已知椭圆2222:1xyMab(0)a

4、b，过 M 的右焦点(3,0)F作直线交椭圆于 A，B两点，若 AB 中点坐标为(2,1)，则椭圆 M的方程为（）A22196xy B2214xy C221123xy D221189xy 12已知椭圆2217525yx的一条弦的斜率为 3，它与直线12x 的交点恰为这条弦的中点 M，则 M的坐标为（）A11,2 B1 1,2 2 C11,22 D1 1,2 2 13已知椭圆E：222210 xyabab，过点4,0的直线交椭圆E于A，B两点.若AB中点坐标为2,1，则椭圆E的离心率为（）A12 B32 C13 D2 33 14已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，直线l与椭圆

5、C交于,A B两点，且线段AB的中点为2,1M，则直线l的斜率为（）A13 B32 C12 D1 二、多选题 15已知椭圆 C：22148xy内一点 M(1，2)，直线l与椭圆 C 交于 A，B 两点，且 M为线段 AB的中点，则下列结论正确的是（）A椭圆的焦点坐标为(2，0)、(-2，0）B椭圆 C的长轴长为2 2 C直线l的方程为30 xy D4 33AB 三、填空题 16ABC的三个顶点都在抛物线 E：y22x 上，其中 A(2，2)，ABC的重心 G是抛物线 E的焦点，则BC 边所在直线的方程为_ 17设 AB是椭圆22336xy上的两点，点(1,3)N是线段 AB 的中点，直线 AB

6、 的的方程为_.18 已知椭圆2222:1(0)xyEabab，过点（4，0）的直线交椭圆E于,A B两点.若AB中点坐标为（2，1），则椭圆E的离心率为_ 19已知双曲线方程是2212yx，过定点(2,1)P作直线交双曲线于12,P P两点，并使P为12PP的中点，则此直线方程是_ 20已知椭圆 E：221189xy过椭圆内部点1,1C的直线交椭圆于 M，N两点，且MCCN则直线 MN的方程为_.21已知双曲线2214xy和点3,1P，直线l经过点P且与双曲线相交于A、B两点，当P恰好为线段AB的中点时，l的方程为_ 22已知抛物线2:4,C xyAB为过焦点F的弦，过,A B分别作抛物线的

7、切线，两切线交于点P，设112200(,),(,),(,)A x yB xyP xy，则下列结论正确的有_ 若直线AB的斜率为-1，则弦8AB；若直线AB的斜率为-1，则02x；点P恒在平行于x轴的直线1y 上；若点(,)MMM xy是弦AB的中点，则0Mxx 23已知椭圆2222:1(0)xyEabab的半焦距为c，且3cb，若椭圆E经过,A B两点，且AB是圆222:(2)(1)Mxyr的一条直径，则直线AB的方程为_.24椭圆221164xy的弦AB中点为(1,1)M，则直线AB的方程_ 25已知点 P(1，2)是直线 l被椭圆22148xy所截得的线段的中点，则直线 l的方程是_.四、

8、解答题 26已知椭圆22:143xyC的左、右顶点分别为A、B，直线l与椭圆C交于M、N两点（1）点P的坐标为1(1,)3，若MPPN，求直线l的方程；（2）若直线l过椭圆C的右焦点F，且点M在第一象限，求23(MANBMAkkk、NBk分别为直线MA、NB的斜率）的取值范围 27已知动圆M过点(2,0)F，且与直线2x 相切（）求圆心M的轨迹E的方程；（）斜率为 1的直线l经过点F，且直线l与轨迹E交于点,A B，求线段AB的垂直平分线方程 28已知椭圆222:1(1)xEyaa的离心率为22.（1）求椭圆E的方程；（2）若直线:0l xym与椭圆交于EF、两点，且线段EF的中点在圆22+1

9、xy，求m的值.30已知直线 l与抛物线2:5C yx交于,A B两点（1）若 l的方程为21yx，求AB；（2）若弦AB的中点为6,1，求 l的方程 31坐标平面内的动圆M与圆1C22:(4)1xy外切，与圆222:(4)81Cxy内切，设动圆M的圆心M的轨迹是曲线，直线0l:45400 xy.（1）求曲线的方程；（2）当点M在曲线上运动时，它到直线0l的距离最小？最小值距离是多少？（3）一组平行于直线0l的直线，当它们与曲线E相交时，试判断这些直线被椭圆所截得的线段的中点是否在同一条直线上，若在同一条直线上，求出该直线的方程；若不在同一条直线上，请说明理由？32已知椭圆22122:1(0

10、xyCabab）的长轴长为 8，一条准线方程为16 7,7x 与椭圆1C共焦点的双曲线2,C其离心率是椭圆1C的离心率的 2倍.（1）分别求椭圆1C和双曲线2C的标准方程；（2）过点 M(4，1)的直线 l与双曲线2,C交于 P，Q两点，且 M 为线段 PQ的中点，求直线 l的方程.33椭圆C：2222122xymmm，直线l过点 1,1P，交椭圆于AB两点，且P为AB的中点.（1）求直线l的方程；（2）若5ABOP，求m的值.35在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C的焦点为(0,3)、(0,3)，实轴长为2 2.（1）求双曲线C的标准方程；（2）过点()1,1Q的直线l与曲线C交于M，N两

11、点，且恰好为线段MN的中点，求线段MN长度.36已知双曲线2212yx.（1）倾斜角 45且过双曲线右焦点的直线与此双曲线交于 M，N两点，求MN.（2）过点(2,1)A的直线 l与此双曲线交于1P，2P两点，求线段12PP中点P的轨迹方程；（3）过点(1,1)B能否作直线 m，使 m 与此双曲线交于1Q，2Q两点，且点 B 是线段12QQ的中点?这样的直线m 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.专题 03 圆锥曲线中的中点弦问题 一、单选题 1已知椭圆22134xy的弦被点(1,1)平分，那么这条弦所在的直线方程为（）A4370 xy B4370 xy C3410 xy D3410

12、 xy 【答案】A【分析】设出这条弦与椭圆的交点，将点代入椭圆方程，两式作差求出直线的斜率，再利用点斜式即可求解.【详解】设这条弦与椭圆22134xy交于11,P x y，22,Q x y，由(1,1)在椭圆内，由中点坐标公式知122xx，122yy，把11,P x y，22,Q x y代入22134xy，可得221122221,341,34xyxy，可得1212860 xxyy，121243yykxx，这条弦所在的直线方程为4113yx ，即为4370 xy.则所求直线方程为4370 xy.故选：A 2已知椭圆22:143xyC，过点 11P，的直线l与椭圆C交于,A B两点，若点P恰为弦A

13、B中点，则直线l斜率是（）A3 B13 C34 D43【答案】C【分析】设出,A B的坐标代入椭圆方程后，作差变形，根据斜率公式和中点坐标公式可得解.【详解】设1122(,),(,)A x yB xy，则12122,2xxyy，则2211143xy，2222143xy，两式相减得2222121243xxyy，所以1212121233234424yyxxxxyy ，即直线l斜率是34.故选：C【点睛】方法点睛：一般涉及到弦的中点和弦所在直线的斜率时，使用点差法解决.3直线1ykx与椭圆2214xy相交于,A B两点，若AB中点的横坐标为1，则k=（）A2 B1 C12 D1【答案】C【分析】代入

14、消元得关于x一元二次方程，再用韦达定理即可.【详解】设 1122,A x yB x y 把1ykx代入2214xy得221480kxkx，122814kxxk，因为AB中点的横坐标为1，所以24114kk，解得12k .故选:C【点睛】用韦达定理解决直线与圆锥曲线交点问题是常用的方法，需要注意直线与圆锥曲线是否有交点，可用判断.4已知抛物线2:4C yx，以 1,1为中点作C的弦，则这条弦所在直线的方程为（）A210 xy B210 xy C230 xy D230 xy【答案】A【分析】设过点 1,1的直线交抛物线C于11,A x y、22,B x y两点，可得出121222xxyy，利用点差

15、法可求得直线AB的斜率，利用点斜式可得出直线AB的方程.【详解】设过点 1,1的直线交抛物线C于11,A x y、22,B x y两点.若直线AB垂直于x轴，则线段AB的中点在x轴上，不合乎题意.所以，直线AB的斜率存在，由于点 1,1为线段AB的中点，则121222xxyy，由于点11,A x y、22,B x y在抛物线C上，可得21122244yxyx，两式作差得 22121212124yyyyyyxx，所以，直线AB的斜率为12121242AByykxxyy，因此，直线AB的方程为121yx，即210 xy.故选：A.【点睛】本题考查抛物线的中点弦问题，考查点差法的应用，同时也可以利用

16、直线与抛物线方程联立，结合韦达定理求解，考查计算能力，属于中等题.5已知椭圆G：22221xyab(0ab)的右焦点为3,0F，过点F的直线交椭圆于A，B两点.若AB的中点坐标为1,1，则G的方程为（）A2214536xy B2213627xy C2212718xy D221189xy【答案】D【分析】先设11,A x y，22,B x y，代入椭圆方程，两式作差整理，得到2121221212yyyybaxxxx，根据弦中点坐标，将式子化简整理，得到222ab，根据222abc且3c，即可求出结果.【详解】设11,A x y，22,B x y，则22112222222211xyabxyab，两

17、式相减并化简得2121221212yyyybaxxxx，又过点F的直线交椭圆于A，B两点，AB的中点坐标为1,1，所以121222xxyy，1212013 1AByykxx，即 22222201111213 122bbabaa ，由于222abc且3c，由此可解得218a，29b，故椭圆E的方程为221189xy.故选：D.【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，考查中点弦问题，属于常考题型.6在平面直角坐标系 xOy中，F是抛物线26yx的焦点，A、B 是抛物线上两个不同的点若AFBF5，则线段 AB 的中点到 y轴的距离为（）A12 B1 C32 D2【答案】B【分析】本题先设11(,)A x

18、y，22(,)B xy两点，并判断线段 AB 的中点到 y轴的距离为122xx，再求12xx，最后求解.【详解】解：设11(,)A x y，22(,)B xy，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为：122xx，根据抛物线的定义：12AFBFxxp，整理得：12532xxAFBFp，故线段 AB的中点到 y 轴的距离为：1212xx，故选：B.【点睛】本题考查抛物线的定义，是基础题.7过椭圆2222:1(0)xyCabab的右焦点(2,0)F的直线与C交于A，B两点，若线段AB的中点M 的坐标为95,77，则C的方程为（）A22195xy B2215xy C22162xy D221106xy【

19、答案】A【分析】设,A B以及AB中点M坐标，利用“点差法”得到,ABMOkk之间的关系，从而得到22,a b之间的关系，结合2,0F即可求解出椭圆的方程.【详解】设 1122,A x yB x y，则12xx AB的中点95,77M，所以5071927ABMFkk，又2222221122222222b xa ya bb xa ya b，所以2222221212bxxayy，即2121221212yyyybxxxxa，而12121AByykxx，121252579927yyxx ，所以2255199ba，又2c，所以22222254499cabaaa，所以2295ab，椭圆方程为：22195x

20、y.故选：A.【点睛】本题考查了已知焦点、弦中点求椭圆方程，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.8已知椭圆2222:1(0)xyGabab的右焦点为 F(3,0)，过点 F的直线交椭圆于 A,B两点.若 AB的中点坐标为（1，-1），则 G的方程为（）A2214536xy B2213627xy C2212718xy D221189xy【答案】D【分析】设出,A B两点的坐标，利用点差法求得,a b的关系式，结合222abc求得22,a b，进而求得椭圆E的方程.【详解】设1122,A x yB xy，则 22112222222211xyabxyab，两式相减并化简得2121221212y

21、yyybaxxxx，即 22222201111213 122bbabaa ,由于222abc且3c，由此可解得2218,9ab，故椭圆E的方程为221189xy.故选：D.【点睛】本小题主要考查点差法解决椭圆中的中点弦问题，属于基础题.9 直线l过点(1,1)P与抛物线24yx交于,A B两点，若P恰为线段AB的中点，则直线l的斜率为（）A2 B2 C12 D12【答案】A【分析】利用点差法，21122244yxyx两式相减，利用中点坐标求直线的斜率.【详解】设 1122,A x yB x y，21122244yxyx，两式相减得2212124yyxx，即1212124yyyyxx，当12xx

22、时，1212124yyyyxx，因为点 1,1P是AB的中点，所以122yy，24k，解得：2k 故选：A【点睛】本题考查中点弦问题，重点考查点差法，属于基础题型.10已知椭圆22221(0)xyabab的右焦点为F，离心率22，过点F的直线l交椭圆于,A B两点，若AB中点为(1,1)，则直线l的斜率为（）A2 B2 C12 D12【答案】C【分析】先根据已知得到222ab，再利用点差法求出直线的斜率.【详解】由题得22222222,42,4()2,22ccaabaaba.设1122(,),(,)A x yB xy，由题得1212+=2+=2xxyy，所以2222221122222222b

23、xa ya bb xa ya b，两式相减得2212121212()()a()()0bxxxxyyyy，所以2212122()2a()0bxxyy，所以221212()240()yybbxx，所以1120,2kk.故选：C【点睛】本题主要考查椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系和点差法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.11已知椭圆2222:1xyMab(0)ab，过 M 的右焦点(3,0)F作直线交椭圆于 A，B两点，若 AB 中点坐标为(2,1)，则椭圆 M的方程为（）A22196xy B2214xy C221123xy D221189xy【答案】D【分析】设,A B

24、以及AB中点P坐标，利用“点差法”得到,ABPOkk之间的关系，从而得到22,a b之间的关系，结合3,0F即可求解出椭圆的方程.【详解】设1122,A x yB xy，AB的中点 2,1P，所以01132ABPFkk，又2222221122222222b xa ya bb xa ya b，所以2222221212bxxayy，即2121221212yyyybxxxxa，而12121AByykxx，12122 112 22yyxx，所以2212ba，又3c，22189ab，即椭圆方程为：221189xy.故选：D.【点睛】本题考查了已知焦点、弦中点求椭圆方程，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于

25、基础题.12已知椭圆2217525yx的一条弦的斜率为 3，它与直线12x 的交点恰为这条弦的中点 M，则 M的坐标为（）A11,2 B1 1,2 2 C11,22 D1 1,2 2【答案】C【分析】由题意知：斜率为 3 的弦中点01(,)2My，设弦所在直线方程3yxb，结合椭圆方程可得122bxx即可求b，进而求 M 的坐标.【详解】由题意，设椭圆与弦的交点为1122(,),(,)A x yB xy，:3AB yxb，则将3yxb代入椭圆方程，整理得：22126750 xbxb，22123648(75)02bbbxx ，而121xx+，故2b ，:32AB yx，又01(,)2My在AB上

26、，则012y ，故选：C【点睛】本题考查了求椭圆的弦中点坐标，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.13已知椭圆E：222210 xyabab，过点4,0的直线交椭圆E于A，B两点.若AB中点坐标为2,1，则椭圆E的离心率为（）A12 B32 C13 D2 33【答案】B 【分析】设 1122,A x yB x y，代入椭圆方程，利用点差法得到22221212220 xxyyab，然后根据AB中点坐标为2,1，求出斜率代入上式，得到 a，b 的关系求解.【详解】设 1122,A x yB x y，则22112222222211xyabxyab，两式相减得：22221212220 xxyya

27、b，因为AB中点坐标为2,1，所以12124,2xxyy，所以2212122212122xxbyybxxyyaa，又12120 11422AByykxx，所以22212ba，即2ab，所以2312cbeaa，故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的方程，点差法的应用以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，直线l与椭圆C交于,A B两点，且线段AB的中点为2,1M，则直线l的斜率为（）A13 B32 C12 D1【答案】C【分析】由椭圆的离心率可得a，b的关系，得到椭圆方程为22244xyb，设出A，B的坐标并代入椭圆方程，利用

28、点差法求得直线l的斜率【详解】解：由32cea，得2222234cabaa，224ab，则椭圆方程为22244xyb，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，则124xx，122yy，把A，B的坐标代入椭圆方程得：22211222224444xybxyb，得：12121212()()4()()xxxxyyyy，12121212414()422yyxxxxyy 直线l的斜率为12 故选：C【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题 二、多选题 15已知椭圆 C：22148xy内一点 M(1，2)，直线l与椭圆 C 交于 A，B 两点，且 M为线段 AB的中点

29、，则下列结论正确的是（）A椭圆的焦点坐标为(2，0)、(-2，0）B椭圆 C的长轴长为2 2 C直线l的方程为30 xy D4 33AB 【答案】CD【分析】由椭圆方程22148xy可得焦点在y轴上，且2 2,2,2abc，即可判断 AB；利用点差法可求出直线斜率，即可得出方程，判断 C；联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求出弦长即可判断 D.【详解】由椭圆方程22148xy可得焦点在y轴上，且2 2,2,2abc，椭圆的焦点坐标为 0,2,0,2，故 A错误；椭圆 C的长轴长为24 2a，故 B错误；可知直线l的斜率存在，设斜率为k，1122,A x yB x y，则2211222214814

30、8xyxy，两式相减得 12121212048xxxxyyyy，121224048xxyy，解得12121yykxx，则直线l的方程为21yx，即30 xy，故 C正确；联立直线与椭圆2230148xyxy，整理得23610 xx，121212,3xxx x，2214 3112433AB ,故 D 正确.故选：CD.【点睛】易错点睛：已知椭圆方程，在求解当中，一定要注意焦点的位置，本题的焦点在y轴上，在做题时容易忽略焦点位置，判断错误.三、填空题 16ABC的三个顶点都在抛物线 E：y22x 上，其中 A(2，2)，ABC的重心 G是抛物线 E的焦点，则 BC 边所在直线的方程为_【答案】4x

31、4y50【分析】设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，边 BC的中点为 M(x0，y0)，先求出点M的坐标，再求出直线BC的斜率，即得解.【详解】设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，边 BC的中点为 M(x0，y0)，易知1(,0)2G，则12122132203xxyy 从而12012012412xxxyyy ，即1(,1)4M，又2211222,2yx yx，两式相减得(y1y2)(y1y2)2(x1x2)，则直线 BC的斜率1212120022112BCyykxxyyyy 故直线 BC的方程为 y(1)1()4x，即 4x4y50.故答案为：4x4y50【点睛】方法点睛：圆锥曲线里与

32、弦有关的问题常用点差法：先设出弦的端点坐标，再代入圆锥曲线的方程，再作差化简即得弦的中点坐标和弦的斜率的关系.17设 AB是椭圆22336xy上的两点，点(1,3)N是线段 AB 的中点，直线 AB 的的方程为_.【答案】40 xy【分析】设出A，B点坐标，根据两点在椭圆上，代入椭圆方程，作差，利用中点坐标公式，即可化简，求出直线AB的斜率，再根据斜率和直线上的定点坐标，写出点斜式方程【详解】设1(A x，1)y，2(B x，2)y，则22111212121222223363()()()()0336xyxxxxyyyyxy，依题意，1212123(),ABxxxxkyy (1,3)N是AB的中

33、点，122xx，126yy，从而1ABk.所以直线AB的方程为3(1)yx，即40 xy 故答案为：40 xy【点睛】方法点睛：圆锥曲线里与中心弦有关的问题，常用点差法：首先设弦的端点坐标1(A x，1)y，2(B x，2)y，再把点的坐标代入圆锥曲线的方程，再作差化简即得弦的中点和直线的斜率的关系式.18 已知椭圆2222:1(0)xyEabab，过点（4，0）的直线交椭圆E于,A B两点.若AB中点坐标为（2，1），则椭圆E的离心率为_【答案】32【分析】设 1122,A x yB x y，代入椭圆方程，两式作差，利用离心率公式即可求解.【详解】设 1122,A x yB x y，则221

34、1221xyab，2222221xyab，可得 12121212220 xxxxyyyyab，因为AB中点坐标为（2，1），则124xx，122yy，所以 2122120121422yybxxa，所以224ab，因为222bac，所以2234ac，所以32cea.故答案为：32 19已知双曲线方程是2212yx，过定点(2,1)P作直线交双曲线于12,P P两点，并使P为12PP的中点，则此直线方程是_【答案】47yx【分析】设111222(,),(,),P x yP xy得221122222222xyxy，两式相减化简得直线的斜率，即得直线的方程.【详解】由题得2222xy，设111222(

35、,),(,),P x yP xy 所以221122222222xyxy，两式相减得121212122()()()()0 xxxxyyyy，由题得12124,2xxyy，所以12128()2()0 xxyy，因为12xx，所以12124yykxx，所以直线的方程为14(2),yx 即47yx.故答案为：47yx【点睛】方法点睛：点差法：圆锥曲线里遇到与弦的中点有关的问题，常用点差法.先设弦的端点111222(,),(,),P x yP xy再代点的坐标到圆锥曲线的方程，再两式相减得到直线的斜率和弦的中点的关系式.再化简解题.20已知椭圆 E：221189xy过椭圆内部点1,1C的直线交椭圆于 M

36、，N两点，且MCCN则直线 MN的方程为_.【答案】230 xy【分析】由已知条件得到C为MN的中点，利用中点坐标公式得到122xx，设出直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理得到21224412kkxxk即可得出结果.【详解】由MCCN，可知C为MN的中点，又1,1C,不妨设直线 MN 的方程为：11yk x，设点1122,M x yN xy，则122xx，将直线 MN 的方程代入椭圆的方程消y得：22211180 xk x，化简整理得：2222124424160kxkk xkk，由韦达定理得：21224412kkxxk，由得：12k，所以直线 MN的方程为：1112yx，即直线 MN 的

37、方程为：230 xy.故答案为：230 xy.【点睛】关键点睛：确定C为MN的中点以及直线与椭圆的方程联立利用韦达定理求解是解决本题的关键.21已知双曲线2214xy和点3,1P，直线l经过点P且与双曲线相交于A、B两点，当P恰好为线段AB的中点时，l的方程为_【答案】3450 xy【分析】设点11,A x y、22,B x y，利用点差法可求得直线l的方程，进而可得出直线l的方程.【详解】设点11,A x y、22,B x y，若直线lx轴，则A、B两点关于x轴对称，则点P在x轴上，不合乎题意.由于3,1P为线段AB的中点，则12123212xxyy，可得121262xxyy，将点A、B的坐

38、标代入双曲线的方程可得221122221414xyxy，上述两式相减得222212124xxyy，可得2212221214yyxx，即1212121214yyyyxxxx，所以，12121134yyxx，所以，直线l的斜率为121234yyxx，因此，直线l的方程为3134yx ，即3450 xy.故答案为：3450 xy.【点睛】利用弦的中点求直线的方程，一般利用以下两种方法求解：（1）点差法：设弦的两个端点坐标分别为11,x y、22,x y，代点作差求得直线的斜率，进而利用点斜式可求得直线的方程；（2）设直线的点斜式方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理求得直线的斜率，进而可求

39、得直线的方程.22已知抛物线2:4,C xyAB为过焦点F的弦，过,A B分别作抛物线的切线，两切线交于点P，设112200(,),(,),(,)A x yB xyP xy，则下列结论正确的有_ 若直线AB的斜率为-1，则弦8AB；若直线AB的斜率为-1，则02x；点P恒在平行于x轴的直线1y 上；若点(,)MMM xy是弦AB的中点，则0Mxx【答案】【分析】设 PA方程1124xxyk x与抛物线方程24xy联立，利用判别式求出12xk，可得 PA方程，同理可得 PB方程,联立PA与PB的方程求出点P的坐标，可知正确；直线AB的方程为1ytx，与抛物线方程24xy联立，当1t 时，利用韦达

40、定理求出0 x与0y可知错误，正确；当1t 时，利用抛物线的定义和韦达定理可得弦长|8AB，可知正确【详解】设 PA方程1124xxyk x与抛物线方程24xy联立得2211440 xkxkxx 由2211161640kkxx得12xk，PA方程为2111()42xxyxx，同理得 PB方程2222()42xxyxx，联立21112222()42()42xxyxxxxyxx，解得121224xxxx xy，所以交点 P1212,24xxx x，即1202Mxxxx，所以正确；根据题意直线AB的斜率必存在直线AB的方程为1ytx，联立21040ytxxy，消去y并整理得2440 xtx，由韦达定

41、理得121244xxtxx 12014x xy，所以正确；当 t=-1 时，12022xxx，所以错误，当 t=-1 时，根据抛物线的定义可得 1212|(2()2)pAByyyypp 121211 24448xxxx ，所以正确 故答案为：【点睛】关键点点睛：设出切线方程，利用判别式等于 0，求出切线方程，联立切线方程求出交点P的坐标是解题关键.23已知椭圆2222:1(0)xyEabab的半焦距为c，且3cb，若椭圆E经过,A B两点，且AB是圆222:(2)(1)Mxyr的一条直径，则直线AB的方程为_.【答案】240 xy【分析】设1122(,),(,)A x yB xy，代入椭圆方程

42、做差，根据直线的斜率公式及 AB的中点 M，求出直线斜率，即可得到直线方程.【详解】设1122(,),(,)A x yB xy,代入椭圆方程可得：2211221xyab，2222221xyab，得：2212122121()()yybxxxxayy，由3cb可得22223abcb，即2214ba，又 AB的中点 M(2,1)，所以2212122121()11(2)()42AByybxxkxxayy 所以直线AB的方程为11(2)2yx，即240 xy.故答案为：240 xy【点睛】方法点睛：点差法是解决涉及弦的中点与斜率问题的方法，首先设弦端点的坐标，代入曲线方程后做差，可得出关于弦斜率与弦中点

43、的方程，代入已知斜率，可研究中点问题，代入已知中点可求斜率.24椭圆221164xy的弦AB中点为(1,1)M，则直线AB的方程_【答案】450 xy【分析】设出,A B的坐标，利用点差法求解出直线AB的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解出直线AB的方程，最后转化为一般式方程.【详解】设 1122,A x yB x y，所以22112222416416xyxy，所以1212121214xxyyyyxx，又因为12121 221 22xxyy ，所以12121 24 2AByykxx，所以1=4ABk，所以1:114ABlyx ，即450 xy，故答案为：450 xy.【点睛】思路点睛：已知椭圆

44、中一条弦的中点坐标，求解该弦所在直线方程的思路：（1）可以通过先设出弦所在直线与椭圆的交点坐标，将坐标代入椭圆方程中并将两个方程作差；（2）得到中点和坐标原点连线的斜率与直线斜率的关系，从而根据直线的点斜式方程可求解出直线方程.25已知点 P(1，2)是直线 l被椭圆22148xy所截得的线段的中点，则直线 l的方程是_.【答案】30 xy 【分析】设出直线与椭圆的交点，采用点差法进行分析，由此可求得直线的斜率，再根据直线的点斜式方程则直线l的方程可求.【详解】设直线l与椭圆交于,A B两点，1122,A x yB x y，所以22112222148148xyxy，所以222212124488

45、xxyy，所以121212122xxyyyyxx，且121222,24PPxxxyyy，所以12122214lyykxx ，所以:21l yx 即30 xy，故答案为：30 xy.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆中点弦所在直线方程的求法，难度一般.已知椭圆中一条弦的中点坐标，求解该弦所在直线方程时，可以通过先设出弦所在直线与椭圆的交点坐标，将坐标代入椭圆方程中并将两个方程作差，由此可得中点和坐标原点连线的斜率与直线斜率的关系，从而根据直线的点斜式方程可求解出直线方程.四、解答题 26已知椭圆22:143xyC的左、右顶点分别为A、B，直线l与椭圆C交于M、N两点（1）点P的坐标为1(1,)3，

46、若MPPN，求直线l的方程；（2）若直线l过椭圆C的右焦点F，且点M在第一象限，求23(MANBMAkkk、NBk分别为直线MA、NB的斜率）的取值范围【答案】（1）931412yx；（2）3,0).4【分析】（1）利用点差法，求直线的斜率，再求直线方程；（2）直线的斜率不存在时，求点,M N的坐标，得到NBMAkk的值，以及当斜率存在时，直线与曲线方程联立，利用根与系数的关系求NBMAkk的值，并将23MANBkk表示为MAk的二次函数，并求取值范围.【详解】解：（1）设1(M x，1)y，2(N x，2)y，由题意可得P为线段MN的中点，由22112222143143xyxy两式相减可得

47、12121212()()()()043xxxxyyyy，而1(1,)3P，即有122xx，1223yy，则12122()2()049xxyy，可得121294yyxx，故直线l的方程为19(1)34yx，即931412yx；（2）由题意可得(2,0)A，(2,0)B，(1,0)F，当直线l的斜率不存在时，3(1,)2M，3(1,)2N，12MAk，332MNBAkk 当直线l的斜率存在时，则l的斜率不为 0，设直线l的方程为(1)yk x，0k，与椭圆方程223412xy联立，可得2222(34)84120kxk xk，则2122834kxxk，212241234kx xk，所以2121121

48、212112121212(1)(2)2()232(1)(2)()2NBMAkyxk xxx xxxxkxyk xxx xxxx 22211222222112224128121822333434343412846()2343434kkkxxkkkkkkxxkkk ，所以3NBMAkk，因为M在第一象限，所以3(0,)2MAk，所以2221333333()244MANBMAMAMAkkkkk，0)【点睛】思路点睛：1.一般涉及中点弦问题时，采用点差法求解；2.直线与圆锥曲线相交问题时，有时需要考查斜率不存在和存在两种情况，斜率存在的情况经常和曲线方程联立，利用根与系数的关系解决几何问题.27已知动

49、圆M过点(2,0)F，且与直线2x 相切（）求圆心M的轨迹E的方程；（）斜率为 1的直线l经过点F，且直线l与轨迹E交于点,A B，求线段AB的垂直平分线方程【答案】（）28yx；（）100 xy.【分析】（）由题意得圆心 M 到点(2,0)F等于圆心到直线2x 的距离，利用两点间距离公式，列出方程，即可求得答案.（）求得直线l的方程，与椭圆联立，利用韦达定理，可得1212,xx x x的值，即可求得AB中点00(,)P xy的坐标，根据直线l与直线AB垂直平分线垂直，可求得直线AB垂直平分线的斜率，利用点斜式即可求得方程.【详解】（）设动点(,)M x y，则22(2)|2|xyx，化简得轨

50、迹 E 的方程：28yx；（）由题意得：直线l的方程为：2yx，由228yxyx，得21240 xx，2124 1 40 ，设1122(,),(,)A x yB xy，AB中点00(,)P xy 则121212,4xxx x，所以12062xxx，0024yx，又AB垂直平分线的斜率为-1，所以AB垂直平分线方程为100 xy.【点睛】本题考查抛物线方程的求法，抛物线的几何性质，解题的关键是直线与曲线联立，利用韦达定理得到1212,xx x x的表达式或值，再根据题意进行化简和整理，考查计算求值的能力，属基础题.28已知椭圆222:1(1)xEyaa的离心率为22.（1）求椭圆E的方程；（2）