【精品整理】2020年高考数学(理)一轮复习讲练测专题3-3导数与函数的极值、最值(讲).pdf

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1、 专题 3.3 导数与函数的极值、最值 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；2.会用导数求函数的极大值、极小值；3.会求闭区间上函数的最大值、最小值。知识点 1.函数的单调性与导数的关系 函数 yf(x)在某个区间内可导，则：(1)若 f(x)0，则 f(x)在这个区间内单调递增；(2)若 f(x)0，右侧 f(x)0 x0 附近的左侧 f(x)0 图象 极值 极值点 形如山峰 f(x0)为极大值 x0 为极大值点 形如山谷 f(x0)为极小值 x0 为极小值点 知识点 3.函数的最值与导数 (1)函数 f(x)在a，b上有最值的条件 如果在区间a，b上函数 yf(x)的图象是一条

2、连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求 yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤 求函数 yf(x)在(a，b)内的极值；将函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是 最小值.【特别提醒】【典例 1】(2019哈尔滨三中模拟)已知函数 f(x)ln xax(aR)，当 a 时，求 f(x)的极值；【解析】当 a 时，f(x)ln x x，函数的定义域为(0，)且 f(x)，故 f(x)在定义域上的极大值为 f(x)极大值f(2)ln 21，无极小值。f(x)a (x0).当 a0 时，当 x0，a时，f(x)0，当 xa，

3、时，f(x)0 在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分 不必要条件.2.对于可导函数 f(x)，“f(x0)0”是“函数 f(x)在 xx0 处有极值”的必要不充分条件.3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就 是最值.4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.考点一 利用导数解决函数的极值 1 2 1 1 1 1 2x 2 2 x 2 2x 令 f(x)0，得 x2，于是当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表.x f(x)f(x)(0，2)2 0 ln 2

4、1(2，)【方法技巧】运用导数求可导函数 yf(x)的极值的一般步骤：(1)先求函数 yf(x)的定义域，再求其导 数 f(x)；(2)求方程 f(x)0 的根；(3)检查导数 f(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在 这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极 值点.【变式 1】(2019 河北衡水深州中学测试)讨论函数 f(x)在定义域内极值点的个数.【解析】由(1)知，函数的定义域为(0，)，1 1ax x x 当 a0 时，f(x)0 在(0，)上恒成立，即函数在(0，)上单调递增，此时函数在定义域上无

5、极值点；1 1 故函数在 x 处有极大值.当 a0 时，函数 yf(x)有一个极大值点，且为 x .若 a ，则当 xa，2时，f(x)0；2 若 a ，则当 x(0，2)时，x20，ax1 x10.所以 f(x)在 x2 处取得极小值.1 1 2 2 所以 f(x)0.所以 2 不是 f(x)的极小值点.1 【方法技巧】已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为 0 和极值 这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于 0 不是此点为极值点的充要条件，所以用 待定系数法求解后必须检验.【变式 2】(2017全国卷)若 x2 是函数 f(x)(x2

6、ax1)ex1 的极值点，则 f(x)的极小值为()A.1 B.2e3 C.5e3 D.1 【解析】f(x)x2(a2)xa1ex1，则 f(2)42(a2)a1e30 a1，当 cos x 时，f(x)0，f(x)单调递减；当 cos x 时，f(x)0，f(x)单调递增 当 cos x ，f(x)有最小值 当 sin x 3时，f(x)有最小值，即 f(x)min2 12 2 则 f(x)(x2x1)ex1，f(x)(x2x2)ex1，令 f(x)0，得 x2 或 x1，当 x1 时，f(x)0，当2 x1 时，f(x)0，所以 x1 是函数 f(x)的极小值点，则 f(x)极小值为 f(

7、1)1.【答案】A 考点三 利用导数研究函数的最值 【典例 3】(2018 全国卷)已知函数 f(x)2sin xsin 2x，则 f(x)的最小值是_ 【解析】f(x)2cos x2cos 2x2cos x2(2cos2x1)2(2cos2xcos x1)2(2cos x1)(cos x1)cos x10，1 2 1 2 1 2 又 f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)，2 3 1 3 3 2 2 .3 3【答案】【方法技巧】求函数 f(x)在闭区间a，b内的最值的思路 (1)若所给的闭区间a，b不含有参数，则只需对函数 f(x)求导，并求 f(x)0 在区间a，b内

8、的根，再计 算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最 小值 (2)若所给的闭区间a，b含有参数，则需对函数 f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数 f(x)的最值 【变式 3】(2019广东五校联考)已知函数 f(x)axln x，其中 a 为常数.(1)当 a1 时，求 f(x)的最大值；，.(2)f(x)a ，x(0，e，e 若 a ，则 f(x)0，从而 f(x)在(0，e上是增函数，若 a0 得 a 0，结合 x(0，e，解得 0 x ；令 f(x)0 得 a 0，结合 x(0，e，解得 xe.0

9、，上为增函数，在 ，e 上为减函数，从而 f(x)在 a a 1ln .f(x)maxf a a 3，得 ln 2，令1ln a a e2 ，ae2 为所求.当 a1 时，f(x)xln x，f(x)1 ，(2)若 f(x)在区间(0，e上的最大值为3，求 a 的值.【解析】(1)易知 f(x)的定义域为(0，)，1 1x x x 令 f(x)0，得 x1.当 0 x0；当 x1 时，f(x)0.f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，)上是减函数.f(x)maxf(1)1.当 a1 时，函数 f(x)在(0，)上的最大值为1.1 1 1 x x 1 e f(x)maxf(e)ae10，不合题

10、意.1 1 1 e x a 1 1 x a 1 1 1 1 1 1 即 ae2.1 e 故实数 a 的值为e2.考点四 利用导数求解最优化问题 【典例 4】(2017 全国卷)如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的 中心为 O.D，E，F 为圆 O 上的点，DBC，ECA，FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得 D，E，F 重合，得到三棱 锥.当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为_.令 f(x)25x410 x5，x0，2，当 x2

11、，2时，f(x)0，f(x)单调递增；5 故当 x2 时，f(x)取得最大值 80，则 V 3 804 15.体积最大值为 4 15 cm3.【答案】4 15 【方法技巧】1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)设自变量、因变量，建立函数关系式 yf(x)，并确定其定义域；(2)求函数的导数 f(x)，解方程 f(x)0；(3)比较函数在区间端点和 f(x)0 的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答.2.如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点 【变式 4】（2019山东菏泽一中质量检测）传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“

12、定海神针”变形得来的.这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为 12 cm 且以每秒 1 cm 等速率缩短，而长度以每秒 20 cm 等速率增长.已知神针的底面半径只能从 12 cm 缩到 4 cm，且知在这段变形过程中，当底面半径为 10 cm 时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为_ cm.【解析】设神针原来的长度为 a cm，t 秒时神针的体积为 V(t)cm3，则 V(t)(12t)2(a20t)，其中 0t8，所以 V(t)2(12t)(a20t)(12t)220。因为当底面半径为 10 cm 时其体积最大，所以 10 12t，解得 t2，此时 V(2)0，解得 a60，所以 V(t)(12t)2(60 20t)，其中 0t8，V(t)60(12 t)(2t)，当 t(0，2)时，V(t)0，当 t(2，8)时，V(t)0，从而 V(t)在(0，2)上单调递增，在(2，8)上单 调递减，V(0)8 640，V(8)3 520，所以当 t8 时，V(t)有最小值 3 520，此时金箍棒的底面半径为 4 cm。【答案】4