2015年全国高考'数学卷文科卷1及其解析.doc

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1、2015 年全国高考数学卷文科卷年全国高考数学卷文科卷 1一、选择题一、选择题1已知集合32,6,8,10,12,14Ax xnnNB，则集合AB中的元素个数为( ) （A） 5 （B）4 （C）3 （D）22已知点(0,1),(3,2)AB，向量( 4, 3)AC ，则向量BC ( )（A） ( 7, 4) （B）(7,4) （C）( 1,4) （D）(1,4) 3已知复数z满足(1)1zii ，则z （ ） （A） 2i （B）2i （C）2i （D）2i 4如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取 3 个不同的数，则这

2、3 个数构成一组勾股数的概率为（ ）（A） 3 10（B）1 5（C）1 10（D）1 205已知椭圆 E 的中心为坐标原点，离心率为1 2，E 的右焦点与抛物线2:8C yx的焦点重合，,A B是 C 的准线与 E 的两个交点，则AB ( )（A） 3 （B）6 （C）9 （D）12 6 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今 有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在 屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一） ，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积 约为 1.62 立方

3、尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米有（ ）（A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛7已知na是公差为 1 的等差数列，nS为na的前n项和，若844SS，则10a（ ）（A） 172（B）192（C）10 （D）128函数( )cos()f xx的部分图像如图所示，则( )f x的单调递减区间为（ ）（A）13(,),44kkkZ （B）13(2,2),44kkkZ（C）13(,),44kkkZ（D）13(2,2),44kkkZ9执行右面的程序框图，如果输入的0.01t ，则输出的n （ ）（A） 5 （B）6 （C）10 （D）1210已知函数1222,1( )log (1),

4、1xxf xxx，且( )3f a ，则(6)fa（ ）（A）7 4 （B）5 4 （C）3 4 （D）1 411圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620， 则r ( ) （A）1 （B）2 （C）4 （D）812设函数( )yf x的图像与2x ay的图像关于直线yx 对称，且( 2)( 4)1ff，则a ( )（A） 1 （B）1 （C）2 （D）4二、填空题二、填空题13数列 na中112,2,nnnaaa S为 na的前 n 项和，若126nS ，则n .14已知函数 31f xaxx的图像在点

5、 1,1f的处的切线过点2,7，则 a .15若 x,y 满足约束条件20210220xyxyxy ,则 z=3x+y 的最大值为 16已知F是双曲线2 2:18yC x 的右焦点，P 是 C 左支上一点，0,6 6A ，当APF周长最小时，该三角形的面积为 三、解答题三、解答题17 （本小题满分 12 分）已知, ,a b c分别是ABC内角, ,A B C的对边，2sin2sinsinBAC.（）若ab，求cos ;B （）若90B ，且2,a 求ABC的面积.18 （本小题满分 12 分）如图四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 交点， BEABCD 平平，（）证明：平面AE

6、C 平面BED；（）若120ABC，,AEEC 三棱锥EACD的体积为6 3，求该三棱锥的侧面积.19（本小题满分 12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了 解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的宣传费ix和年销售量1,2,8iy i 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xy w 8 21()i ixx8 21()i iww81()()ii ixxyy81()()ii iww yy46.656.36.8289.81.61469108.8表中iw=ix，w =1 881i iw（）根据散点图判断，ya

7、bx与ycdx，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费 x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）； （）根据（）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（III）已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为0.2zyx ，根据（）的结果回答下列问题：（）当年宣传费90x 时，年销售量及年利润的预报值时多少？ （）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据11( ,)u v,22(,)u v，(,)nnu v,其回归线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：A121()() = ()nii i ni iuu vvuu，AA=vu20 （本小题满分 12 分）

8、已知过点1,0A且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：22231xy交于 M，N 两点.（）求 k 的取值范围；（）12OM ON ，其中 O 为坐标原点，求MN.21（本小题满分 12 分）设函数 2lnxf xeax.（）讨论 f x的导函数 fx的零点的个数；（）证明：当0a 时 22lnf xaaa.22 （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图 AB 是直径，AC 是切线，BC 交与点 E.（）若 D 为 AC 中点，求证：DE 是切线；（）若 ，求的大小.3OACEACB23（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1:2Cx

9、，圆22 2:121Cxy，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（）求12,C C的极坐标方程.（）若直线3C的极坐标方程为R4，设23,C C的交点为,M N，求2C MN 的面积.24 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 12,0f xxxa a .（）当1a 时求不等式 1f x 的解集；（）若 f x 图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围.参考答案参考答案 1D 【解析】 试题分析：由条件知，当 n=2 时，3n+2=8，当 n=4 时，3n+2=14，故 AB=8,14,故选 D. 考点：集合运算 2A 【解析】试题分析：AB

10、OBOA =（3,1） ，BC ACAB =(-7,-4)，故选 A.考点：向量运算 3C 【解析】试题分析：(1)1zii ，z=212(12 )()2iiiiii，故选 C.考点：复数运算 4C 【解析】试题分析：从 1,2,3,4,51,2,3,4,5中任取 3 个不同的数共有 10 种不同的取法，其中的勾股数只有 3,4,5，故 3 个数构成一组勾股数的取法只有 1 种，故所求概率为1 10，故选 C.考点：古典概型 5B 【解析】试题分析：抛物线2:8C yx的焦点为（2,0） ，准线方程为2x ，椭圆 E 的右焦点为（2,0） ，椭圆 E 的焦点在 x 轴上，设方程为22221(0

11、)xyabab，c=2，1 2cea，4a ，22212bac，椭圆 E 方程为22 11612xy，将2x 代入椭圆 E 的方程解得 A（-2,3） ，B（-2，-3） ，|AB|=6，故选 B. 考点：抛物线性质；椭圆标准方程与性质 6B 【解析】试题分析：设圆锥底面半径为 r，则12 384r ，所以16 3r ，所以米堆的体积为211163 ()5433 =320 9，故堆放的米约为320 91.6222，故选 B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式 7B 【解析】试题分析：公差1d ，844SS，111188 74(44 3)22aa ，解得1a=1 2，1011199922aad，

12、故选 B.考点：等差数列通项公式及前 n 项和公式 8D 【解析】试题分析：由五点作图知，1+42 53+42 ，解得= ，=4，所以( )cos()4f xx，令22,4kxkkZ，解得124k x324k ，kZ，故单调减区间为（124k ，324k ） ，kZ，故选D. 考点：三角函数图像与性质 9C 【解析】试题分析：执行第 1 次，t=0.01,S=1,n=0,m=1 2=0.5,S=S-m=0.5,2mm =0.25,n=1,S=0.5t=0.01,是，循环，执行第 2 次，S=S-m =0.25,2mm =0.125,n=2,S=0.25t=0.01,是，循环，执行第 3 次，S

13、=S-m =0.125,2mm =0.0625,n=3,S=0.125t=0.01,是，循环，执行第 4 次，S=S-m=0.0625,2mm =0.03125,n=4,S=0.0625t=0.01,是，循环，执行第 5 次，S=S-m =0.03125,2mm =0.015625,n=5,S=0.03125t=0.01,是，循环，执行第 6 次，S=S-m=0.015625,2mm =0.0078125,n=6,S=0.015625t=0.01,是，循环， 执行第 7 次，S=S-m=0.0078125,2mm =0.00390625,n=7,S=0.0078125t=0.01,否，输出n=

14、7，故选 C. 考点：程序框图 10A 【解析】试题分析：( )3f a ，当1a 时，1( )223af a ，则121a ，此等式显然不成立，当1a 时，2log (1)3a ，解得7a ，(6)fa( 1)f =1 17224 ，故选 A.考点：分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质 11B 【解析】 试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆 柱的半径与球的半径都为 r，圆柱的高为 2r，其表面积为22142222rrrrrr=2254rr=16 + 20，解得 r=2，故选 B.考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式 12C 【解析】试

15、题分析：设( , )x y是函数( )yf x的图像上任意一点，它关于直线yx 对称为（, yx） ，由已知知（, yx）在函数2x ay的图像上，2y ax ，解得2log ()yxa ，即2( )log ()f xxa ，22( 2)( 4)log 2log 41ffaa ，解得2a ，故选 C.考点：函数对称；对数的定义与运算 136 【解析】试题分析：112,2nnaaa，数列 na是首项为 2，公比为 2 的等比数列，2(1 2 )1261 2nnS，264n，n=6.考点：等比数列定义与前 n 项和公式 141 【解析】试题分析：2( )31fxax，(1)31fa，即切线斜率31

16、ka，又(1)2fa，切点为（1，2a） ，切线过（2,7） ，273112aa，解得a 1.考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数； 154 【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l：30xy，平移直线0l，当直线l:z=3x+y 过点 A 时，z 取最大值，由2=0 21=0xy xy 解得A（1,1） ，z=3x+y 的最大值为 4.考点：简单线性规划解法1612 6【解析】试题分析：设双曲线的左焦点为1F，由双曲线定义知，1| 2|PFaPF，APF 的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+12|aPF+|AF|=|PA|+1|PF+|AF|+

17、2a，由于2|aAF是定值，要使APF 的周长最小，则|PA|+1|PF最小，即P、A、1F共线，0,6 6A，1F（3,0） ，直线1AF的方程为136 6xy，即32 6yx 代入2 218yx 整理得26 6960yy，解得2 6y 或8 6y (舍)，所以 P 点的纵坐标为2 6， 11APFAFFPFFSSS=116 6 66 2 622 =12 6.考点：双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题17 （）1 4（）1【解析】试题分析：（）先由正弦定理将2sin2sinsinBAC化为变得关系，结合条件ab，用其中一边把另外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角 B的余弦值；（）

18、由（）知22bac=，根据勾股定理和即可求出 c，从而求出ABC的面积.试题解析：（）由题设及正弦定理可得22bac=.又ab=，可得2bc=,2ac=,由余弦定理可得2221cos24acbBac+-=.（）由(1)知22bac=.因为B =90，由勾股定理得222acb+=.故222acac+=，得2ca=.所以DABC 的面积为 1. 考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力18 （）见解析（）3+2 5【解析】 试题分析：（）由四边形 ABCD 为菱形知 ACBD，由 BE平面 ABCD 知 AC BE，由线面垂直判定定理知 AC平面 BED，由面面垂直的判定定理知平面 AEC 平面BE

19、D；（）设 AB=x，通过解直角三角形将 AG、GC、GB、GD 用 x 表示出来，在RtDAEC 中，用 x 表示 EG，在RtDEBG 中，用 x 表示 EB，根据条件三棱锥EACD的体积为6 3求出 x，即可求出三棱锥EACD的侧面积. 试题解析：（）因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD， 因为 BE平面 ABCD，所以 ACBE，故 AC平面 BED. 又 AC平面 AEC，所以平面 AEC平面 BED （）设 AB=x，在菱形 ABCD 中，由ABC=120，可得AG=GC=3 2x,GB=GD=2x.因为 AEEC，所以在RtDAEC 中，可得 EG=3 2x.由 BE平面

20、 ABCD，知DEBG 为直角三角形，可得 BE=2 2x.由已知得，三棱锥 E-ACD 的体积31166 32243E ACDVAC GD BEx-= =.故x=2从而可得 AE=EC=ED=6.所以DEAC 的面积为 3，DEAD 的面积与DECD 的面积均为5.故三棱锥 E-ACD 的侧面积为3+2 5.考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的 计算；逻辑推理能力；运算求解能力19 （）ycdx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型（）100.668yx（）46.24【解析】 试题分析：（）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（）令wx，先

21、求出建立y关于w的线性回归方程，即可y关于x的回归方程；（）()利用y关于x的回归方程先求出年销售量y的预报值， 再根据年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x 即可年利润 z 的预报值；（） 根据（）的结果知，年利润 z 的预报值，列出关于x的方程，利用二次函 数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.试题解析：（）由散点图可以判断，ycdx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型. （）令wx，先建立y关于w的线性回归方程，由于81 8 21()()()ii ii iww yy d ww =108.8=6816，cydw=563-686.8=100.6.y关于w的

22、线性回归方程为100.668yw，y关于x的回归方程为100.668yx.（）()由（）知，当x=49 时，年销售量y的预报值100.668 49y =576.6，576.6 0.24966.32z . （）根据（）的结果知，年利润 z 的预报值0.2(100.668)13.620.12zxxxx ，当x=13.6=6.82，即46.24x 时，z取得最大值.故宣传费用为 46.24 千元时，年利润的预报值最大.12 分 考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用 意识20 （）47 47,33-+（）2【解析】 试题分析：（）设出直线 l 的方程，利用圆心到直线的距离

23、小于半径列出关于 k 的不等式，即可求出 k 的取值范围；（）设1122( ,),(,)M x yN xy，将直线 l 方程代入圆的方程化为关于 x 的一元二次方程，利用韦达定理将1212,x xy y用 k 表示出来，利用平面向量数量积的坐标公式及12OM ON 列出关于 k 方程，解出 k，即可求出|MN|.试题解析：（）由题设，可知直线 l 的方程为1ykx=+.因为 l 与 C 交于两点，所以 2|23 1|1 1kk-+时，( )fx存在唯一零点.（）见解析 【解析】试题分析：（）先求出导函数，分0a 与0a 考虑 fx的单调性及性质，即可判断出零点个数；（）由（）可设( )fx在(

24、)0 +，的唯一零点为0x，根据 fx的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于22lna aa+，即证明了所证不等式.试题解析：（）( )f x的定义域为()0 +，()2( )=20xafxexx-.当0a 时,( )0fx，( )fx没有零点；当0a 时，因为2xe单调递增，a x-单调递增，所以( )fx在()0 +，单调递增.又( )0fa,当 b 满足04ab时，( )fx存在唯一零点.（）由（） ，可设( )fx在()0 +，的唯一零点为0x，当()00xx，时，( )0fx.故( )f x在()00x，单调递减，在()0+x，单调递增，所以当0x

25、x=时，( )f x取得最小值，最小值为0()f x.由于0202=0xaex-，所以00 022()=2ln2ln2af xaxaaaxaa+.故当0a 时，2( )2lnf xaaa+.考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像 与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力. 22 （）见解析（）60 【解析】 试题分析：（）由圆的切线性质及圆周角定理知，AEBC，ACAB，由直 角三角形中线性质知 DE=DC，OE=OB，利用等量代换可证DEC+OEB=90，即OED=90，所以 DE 是圆 O 的切线；（）设 CE=1,由得，3OACEAB=，设 AE=，由勾股定理

26、得，由直角三角形射影定理2 3x212BEx可得，列出关于的方程，解出，即可求出ACB 的大小.2AECE BEAxx试题解析：（）连结 AE，由已知得，AEBC，ACAB， 在 RtAEC 中，由已知得 DE=DC，DEC=DCE， 连结 OE，OBE=OEB， ACB+ABC=90，DEC+OEB=90， OED=90，DE 是圆 O 的切线. （）设 CE=1，AE=,由已知得 AB=，x2 3212BEx由射影定理可得，2AECE BEA，解得=，ACB=60.2212xxx3考点:圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理23 （）cos2 ,22 cos4 sin40（）1

27、 2 【解析】试题分析：（）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C，2C的极坐标方程；（）将将=4代入22 cos4 sin40即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出2C MNA的面积.试题解析：（）因为cos ,sinxy，1C的极坐标方程为cos2 ，2C的极坐标方程为22 cos4 sin40.5 分（）将=4代入22 cos4 sin40，得23 240，解得1=2 2，2=2，|MN|=12=2，因为2C的半径为 1，则2C MNA的面积o12 1 sin452 =1 2.考点:直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系24 （）2 |23xx（） （2，+）【解析】试题

28、分析：（）利用零点分析法将不等式f(x)1 化为一元一次不等式组来解；（）将( )f x化为分段函数，求出( )f x与x轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a的不等式，即可解出a的 取值范围.试题解析：（）当 a=1 时，不等式f(x)1 化为|x+1|-2|x-1|1，等价于1 1221x xx 或11 1221x xx 或1 1 221x xx ，解得223x，所以不等式f(x)1 的解集为2 |23xx. （）由题设可得，1 2 ,1( )31 2 , 112 ,xa xf xxaxaxa xa ，所以函数( )f x的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3aA，(21,0)Ba，( , +1)C a a，所以ABC 的面积为22(1)3a.由题设得22(1)3a6，解得2a .所以a的取值范围为（2，+）. 考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法