全等几何模型讲解精编版.pdf

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1、 常见的几何模型 一、旋转主要分四大类：绕点、空翻、弦图、半角。这四类旋转的分类似于平行四边形、矩形、菱形、正方形的分类。1.绕点型（手拉手模型）（1）自旋转：，造中心对称遇中点旋全等遇等腰旋顶角，造旋转，造等腰直角旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法0000018090906060 例题讲解：1.如图所示，P 是等边三角形 ABC 内的一个点，PA=2，PB=32，PC=4，求ABC 的边长。CABP 2.如图，O 是等边三角形 ABC 内一点，已知：AOB=115，BOC=125，则以线段 OA、OB、OC 为边构成三角形的各角度数是多少 ：3.如图，P 是正方形 ABCD 内一点，且满足

2、 PA：PD：PC=1：2：3，则APD=.：4.如图（2-1）：P 是正方形 ABCD 内一点，点 P 到正方形的三个顶点 A、B、C 的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形 ABCD 面积。ABCO|（2）共旋转（典型的手拉手模型）模型变形：等边三角形共顶点 共顶点等腰直角三角形 共顶点等腰三角形 共顶点等腰三角形 例题讲解：1.已知ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与 B,C 重合），以 AD 为边作菱形 ADEF(按 A,D,E,F 逆时针排列），使DAF=60,连接 CF.(1)如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证：BD=CF AC

3、=CF+CD.(2)如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论 AC=CF+CD 是否成立若不成立，请写出 AC、CF、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图 3，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出 AC、CF、CD 之间存在的数量关系。2.（13 北京中考）在ABC 中，AB=AC，BAC=（600），将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60得 到线段 BD。）（1）如图 1，直接写出ABD 的大小（用含的式子表示）；（2）如图 2，BCE=150，ABE=60，判断ABE 的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结 D

4、E，若DEC=45，求的值。2.半角模型|说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。例题：1.在等腰直角ABCD 的斜边上取两点 M,N,使得45MCN,记 AM=m,MN=x,BN=n，求证以 m，x，n 为边长的三角形为直角三角形。mxnBCAMN 2.如图，正方形 ABCD 的边长为 1，AB,AD 上各存在一点 P、Q，若APQ 的周长为 2，求PCQ的度数。DACBQP 3.E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且45EAF，AHEF，H为 垂足，求证：AHAB CHFEDBA 4.已知，正方形 ABC

5、D 中，MAN=45，MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB、DC（或它们的延长线）于点 M、N，AHMN 于点 H（1）如图，当MAN 点 A 旋转到 BM=DN 时，请你直接写出 AH 与 AB 的数量关系：AH=AB；（2）如图，当MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时，（1）中发现的 AH 与 AB 的数量关系还成立吗如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图，已知MAN=45，AHMN 于点 H，且 MH=2，NH=3，求 AH 的长（可利用（2）得到的结论）5.已知：正方形 ABCD 中，MAN=45，MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB，DC(或它

6、们的延长线)于点 M，N 当MAN 绕点 A 旋转到 BM=DN 时(如图 1)，易证 BM+DN=MN:(1)当MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时(如图 2)，线段 BM，DN 和 MN 之间有怎样的数量关系写出猜想，并加以证明 (2)当MAN 绕点 A 旋转到如图 3 的位置时，线段 BM，DN 和 MN 之间又有怎样的数量关系请直接写出你的猜想 6.(14房山2模).边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上(如图 1)，现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中，AB边交DF于点M，BC边交DG于点N.（1）求

7、边DA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时(如图 2)，求正方形ABCD旋转的度数；（3）如图 3，设MBN的周长为p，在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有变化请证明你的结论.,7.(2011 石景山一模)已知：如图，正方形 ABCD 中，AC，BD 为对角线，将BAC 绕顶点 A 逆时针旋转（045），旋转后角的两边分别交 BD 于点 P、点 Q，交 BC，CD于点 E、点 F，连接 EF，EQ （1）在BAC 的旋转过程中，AEQ 的大小是否改变若不变写出它的度数；若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；（2）探究APQ 与AEF 的面积

8、的数量关系，写出结论并加以证明 8已知在ABC中，90ACB，26 CBCA，ABCD 于D，点E在直线CD 上，CDDE21，点F在线段AB上，M是DB的中点，直线AE与直线CF交于N点.（1）如图 1，若点E在线段CD上，请分别写出线段AE和CM之间的位置关系和数量关系：_，_；（2）在（1）的条件下，当点F在线段AD上，且2AFFD时，求证：45CNE；（3）当点E在线段CD的延长线上时，在线段AB上是否存在点F，使得45CNE若存在，请直接写出AF的长度；若不存在，请说明理由 DCBA 9.(2014 平谷一模 24)（1）如图 1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，E

9、AF=45，连接EF，则EF、BE、FD之间的数量关系是：EF=BE+FD连结 BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN满足222DNBMMN，请证明这个等量关系；（2）在ABC中，AB=AC，点D、E分别为BC边上的两点 如图 2，当BAC=60，DAE=30时，BD、DE、EC应满足的等量关系是 如图 3，当BAC=，(090)，DAE=21时，BD、DE、EC应满足的等量关系是_【参考：1cossin22】注意：2222AMBMDM ABCDEF图1BCDE图2ABCDE图3AMN(1)在正方形ABCD中，AB=AD，BAD=90，NMFEDCBA图 1 备用图 MABCDEFM

10、NABM=ADN=45 把ABM绕点A逆时针旋转 90得到MAD 连结MN则，AMAMBMMD,45ABMMAD，BAMMDA EAF=45，BAM+DAN=45,DAM+DAF=45,45MANANM,NAMAMN NM=MN 在NDM中，90ADMADNDNM,222DMDNNM 222BMDNMN （2）222ECECBDBDDE；222cos2ECECBDBDDE 3.空翻模型 例题：1.如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作60DMN，射线MN与DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系 NEBMADGNEBMAD【解析】猜测DMMN.过点

11、M作MGBD交AD于点G，AGAM，GDMB 又120ADMDMA，120DMANMB ADMNMB，而120DGMMBN，DGMMBN，DMMN ,2.如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MNDM且与ABC外角的平分线 交于点N，MD与MN有怎样的数量关系 NCDEBMANCDEBMA 【解析】猜测DMMN.在AD上截取AGAM，DGMB，45AGM 135DGMMBN，ADMNMB，DGMMBN，DMMN 3.【探究发现】如图，ABC是等边三角形，60AEF，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE

12、、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上（B,C除外）任意一点时(其它条件不变)，结论AE=EF仍然成立 假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点是线段BC延长线上的任意一点”；“点是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图 1 中画出图形，并进行证明)【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在备用图 2 中画出图形，并运用上述结论求出:ABCAEFSS的值 4.弦图模型 CAB CABFCABE 外弦图 内弦图 总统图 例题：1.两个全等的 30，60三角板 ADE,BAC

13、,如右下图所示摆放，E、A、C 在一条直线上，连接 BD,取 BD 的 中点M，连接 ME，MC（1）求证：EDMCAM；（2）求证：EMC 为等腰直角三角形 图 2 FCABD图 1 (二、对称全等模型 下图依次是 450、300、150及有一个角是 300直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。GFECBDAGFECBDAP3P2P1ACBPEDABC FEDBAC 例题：1.如图 1，在ABC 中，已知BAC=45，ADBC 于 D，BD=2，DC=3，求 AD 的长 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图 1她分别以 AB、AC 为对

14、称轴，画出ABD、ACD 的轴对称图形，D 点的对称点为 E、F，延长 EB、FC 相交于 G 点，得到四边形 AEGF 是正方形设 AD=x，利用勾股定理，建立关于 x 的方程模型，求出 x 的值 参考小萍的思路，探究并解答新问题：如图 2，在ABC 中，BAC=30，ADBC 于 D，AD=4请你按照小萍的方法画图，得到四边形 AEGF，求BGC 的周长（画图所用字母与图 1 中的字母对应）2.问题：已知ABC中，BAC=2ACB，点D是ABC内一点，且AD=CD，BD=BA.探究DBC与ABC度数的比值.请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.（1）当BAC=90时，依问题中的条件补全右图.观察图形，AB与AC的数量关系为_；当推出DAC=15时，可进一步推出DBC的度数为_；可得到DBC与ABC度数的比值为_.（2）当BAC90时，请你画出图形，研究DBC与ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明.A B C