北大清华名校经济学考研真题与西方经济学真题解析.pdf
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1、 北大清华名校经济学考研真题与西方经济学真题解析 一、北京大学光华管理学院经济学微观经济学部分考研真题解析 1一个纳税人,效用函数为 lnw,w 为其财富,是固定值。国家按照固定税率t(0t1)对纳税人上报的收入征税,但此人可以少报收入,即报的收入为 x(0 xw)。同时税务机关有 p(0p1)的概率查此人的收入。一旦查肯定能查出此人真实收入。查出之后,不仅要补齐所应缴纳的税款,同时还要承担罚金,罚金为应补交税款乘以一个大于 0 的固定常数。(1)求此纳税人选择的最优 x 值。同时求此纳税人选择的 x 与其收入的关系。(5 分)(2)如果0,问此时此人选择的最优 x。(5 分)(3)此人有没有
2、可能选择 x0?在什么条件下此人会这样做?(5 分)解:(1)由题意可知,纳税人的期望效用最大化问题为:一阶条件为:解得:当 p(1p)(1tt)0 且 x0 时,EU0,所以 p(1p)(1tt)0 时,x*0。因此,此纳税人选择的最优 x 值为 与收入成正比或者恒为 0。(2)当0 时,EU(1p)ln(wxt)pln(wwt),关于 x 递减,因此 x0。如果逃税没有成本的话,纳税人将完全逃税。(3)由第一问可知,当 p(1p)(1tt)0 时,此人选择 x0。此时,税率较低(意味着被查出谎报收入所需要缴纳的罚金较少);税务机关检查的概率较低(补全税收并缴纳罚款的概率较低);罚金的乘数较
3、低(缴纳罚款的数额较少)。2一个垄断厂商,成本为 0。面临两个市场,学生市场和非学生市场。每位学生的需求函数为 q1002p,每位非学生的需求函数为 q100p。学生数量为 x,非学生数量为 y。(1)如果统一定价,求均衡价格。每个学生的消费量是多少?每个非学生的消费者是多少?(6 分)(2)如果实行三级价格歧视,求两个市场的价格。每个学生消费量是多少?每个非学生消费是多少?(7 分)(3)从社会最优角度来说,统一定价和价格歧视哪个好?给出论证过程。(7分)解:记学生为 S,非学生为 N,则学生和非学生市场的需求函数分别为:QSxqSx(1002pS),QNyqNy(100pN)。反需求函数分
4、为:pS50QS/(2x),pN50QN/y。(1)统一定价为 p。当 p50 时,S 和 N 市场都可以占领:QSxqSx(1002p),QNyqNy(100p)。厂商的利润最大化问题为:一阶条件为:x(1002p)y(100p)p(2xy)0。解得:p50(xy)/(2xy),是满足 p50 的条件的,此时每个学生的需求为 qS100 x/(2xy);每个非学生的需求为 qN50(3xy)/(2xy)。此时厂商的利润为:12500(2xy)(xy)2/(2xy)22500(xy)2/(2xy)。当 50p100 时,厂商只占领 N 市场:QNyqNy(100p)。利润最大化问题为:一阶条件
5、为:y(100p)yp0,解得 p50。因此,QN50y,22500y。当 p100 时,厂商销售量为 0。最后,比较1与2:122500(xy)2/(2xy)y2500 x2/(2xy)0。因此厂商会选择定价 p50(xy)/(2xy),此时每个学生的需求为 qS100 x/(2xy);每个非学生的需求为 qN50(3xy)/(2xy)。(2)若实行三级价格歧视,则利润最大化问题为:一阶条件为:1002pS2pS0,100pNpN0。解得,pS25,pN50。进而可求得每个学生需求为 qS50,每个非学生需求为 qN50。(3)在实行统一定价策略时,学生市场的消费者总剩余为:非学生市场的消费
6、者总剩余为:生产者总剩余为:2500(xy)2/(2xy)。所以,在实行统一定价策略时的社会总剩余为:在实行三级价格歧视时,学生市场的消费者总剩余为:1/2(5025)50 x625x;非学生市场的消费者总剩余为:1/2(10050)50y1250y;生产者总剩余为:2550 x5050y1250 x2500y。所以,在实行三级价格歧视时社会总剩余为 1875x3750y。两种情况下的社会总剩余差值为:所以,在实行统一定价策略时社会总剩余更大。3两个寡头生产同质产品,进行两阶段博弈。生产成本为 C(qi)ciqi(i1,2),为简单起见c1c2c。两厂商在第一阶段决定产能投资规模。如果产能投资
7、规模为 xi,则生产边际成本变为cxi。但是产能投资有成本,C(xi)kixi2/2(i1,2),为简单起见,k1k2k。企业面对的市场逆需求函数为 qp。设ckc。两个厂商第一阶段先进行产能博弈。到第二阶段,两厂商在观察到对方的产能投资规模后,同时进行价格博弈。(1)第二阶段博弈的均衡是什么?(5 分)(2)求第一阶段博弈的两厂商的最优反应函数。(5 分)(3)回到第一阶段博弈,纳什均衡是什么?(5 分)(4)条件ckc 在本题中的作用是什么?(5 分)解:不失一般性,研究厂商 i(i1,2),另一个厂商就是厂商 j3i。(1)假设 cxicxj,即 xixj。pi不可能小于 cxi,否则厂
8、商 i 就会亏损,从而选择退出市场。所以 picxi优于 picxi。picxi也不劣于 picxi。所以,picxi是厂商 i 的弱优策略。给定 picxi,pj只要取比 picxi小一点点的价格就可以占有全部市场,即pjcxij,其中j为无穷小量。在价格和产能确定后,产量也可以随之确定,qi0,qjpj(cxij)。特别地,当 cxicxj时,由上面的分析易知必有 p1p2cx1。综上,第二阶段博弈的均衡为:(2)若 xixj时,picxi,所以 显然,厂商 i 只能选择 xi0 时才能不亏损。若 xixj,picxji,因此 qi(cxji),一阶条件为:解得:xixj/k(c)/ki/
9、k。因此,xi对 xj的反应曲线可以写成:上式已经明确列出了两个厂商分别的最优反应曲线,但到这里仍不能直接去解两条反应曲线的交点,还有一个非常重要的条件没有考虑,就是对每个厂商都应该满足i0。若 xixj时,xi0,所以i0;若 xixj时,ixic(2k)(xji)/20,解之得 xj(c)/(2k)i。也就是说,如果 xj(c)/(2k),那么厂商 i 不会选择 xi(c)/(2k)。这就意味着两条反应曲线相交之处一定不会是xixj(c)/(k)。所以最终的最优反应曲线为:如图 1 所示:图 1 厂商 1 与厂商 2 的最优反应曲线(3)纳什均衡为两厂商反应曲线的交点,所以,存在两个纳什均
10、衡为 或 (4)这里要注意厂商 i 的最优反应曲线的纵截距是(c)/k,由图中可以看出其纵截距必须大于(c)/(2k),这样才能使两条反应曲线有交点,不然整个博弈都不存在纳什博弈。而且截距应当大于0。所以有:(c)/k(c)/(2k)且(c)/k0。可得,ckc 一定保证了两不等式成立,所以该条件是纳什均衡存在的充分条件。4X、Y、Z 三个人,第一阶段 X 和 Y 进行产能古诺博弈,决定产能投资规模KX和 KY。第二阶段 Z 决定产量。但是 Z 决定的产量不能超过 X、Y 的产能投资规模之和,即 QKXKY。Z 的目标是 X 和 Y 的收益最大化(Z 得到一个可以忽略不计的收入)。市场需求函数
11、是 D10P。最终的收益在 X 和 Y 之间分配取决于 X 和 Y 的产能投资规模。第一阶段 X 和 Y 的投资有成本,MCXMCY2。即 X 的净收益为:KXQ(10Q)/(KXKY)2KX,类似可以得到 Y 的净收益。(1)求 X 和 Y 第一阶段古诺博弈的最优反应函数。(8 分)(2)求最终的纳什均衡。(7 分)解:(1)由于 Z 最大化 X 和 Y 的收益,因此等价于求 QKXKY条件下 Q(10Q)的最大值。若 KXKY5,则 Q5 时,Q(10Q)取到最大值 25;若 KXKY5,则 QKXKY时,Q(10Q)取到最大值(KXKY)(10KXKY)。再回到第一阶段博弈。若 KXKY
12、5 且 KY5,Q5。X 的最大化净收益问题为:一阶条件为:25KY/(KXKY)220。即:而 KXKY5,可得 KY2。此时 X 的最大净收益为。如果 2KY5,有 KXKYM5,则 X 的最大净收益为153KY。所以,此时的反应函数为 类似地,对 Y 最大化净收益可以得到即:,若 KXKY5 时,QKXKY。X 的最大化净收益问题为:一阶条件为:82KXKY0,或:KX(8KY)/2。结合 KXKY5 可得 KY2。此时,X 的利润为4KY/22。如果 KXKYM5,此时 X 的利润为153KY,小于 KXKY5 的利润。所以,此时的反应函数为 KX(8KY)/2。同理,KY(8KX)/
13、2。若 KY5,则最大化 X 的利润函数可得 KY6.25;KX0,KY6.25。同理 KX6.25;KY0,KX6.25。所以 X 和 Y 第一阶段古诺博弈的最优反应函数如图 2 所示。图 2 X 和 Y 的最优反应曲线 综合上面两点可知,X 和 Y 的最优反应函数分别为:和 (2)如图 2 所示,整个博弈只有一个纳什均衡:解交点左边可得,KXKY25/8。所以最终的纳什均衡为 X 和 Y 的产能都为 25/8。5城市早上有 6000 人上班。可以选择两条路:环路和中心市区。走环路需要45 分钟但是不堵车。走中心市区不堵车时 20 分钟,堵车时花费时间为(20N/100)分钟,其中 N 为选
14、择走市区的人数。(1)如果两条路都不收取任何费用,那么均衡时有多少人走中心市区?(5 分)(2)如果政府决定通过限制走中心市区的人数来实现最小化所有人花费的总时间。政府每天随机抽取一部分人走中心市区,其他人则走环路。那么政府选择抽取的最优人数是多少?(5 分)(3)如果政府打算通过征收费用来实现最小化所有人花费的总时间。对每个走中心市区的人收取相同的固定费用 F,然后将收取的所有费用水平分配给所有6000 个人。假设时间对于第 i 个人的价值为 Wi15i/1000,其中 i1,2,6000。求最优的固定费用 F。(4)以上三种方法哪种最优?解释其最优的原因。解:(1)当在市中心行驶与在环路行
15、驶时间相同时,人们的选择达到均衡。即有:20N1*/10045,解得 N1*2500。所以,当两条路都不收取任何费用时,均衡时 2500 人走市中心区。(2)设政府每天抽取 N2*个人走中心市区,使所有人花费的总时间最小,即:一阶条件为:4520N2*/500。解之得,N2*1250,即政府选择抽取 1250 人走中心市区时达到最优。(3)(说明)由于回忆的问题,也有人坚持认为题干中所说的“实现最小化所有人花费的总时间”应该改为“最大化所有人的总效用”。所以根据两种可能分别解出该问题。最小化所有人花费的总时间 若以最小化所有人花费的总时间为目标,则走市区的最佳人数问题与第 2 问是实质是一样的
16、,结果也相同,即 N2*1250。i 越小,第 i 个人对时间的评价就越高,他也就越愿意走市区,也可以说他愿意为走市区付出的代价越大。通过确定一个适当的“过路费 F”作为可以通过中心市区的门槛,使得恰好有 1250 个人走中心市区,即 F 正好使得 i1250 的人对于走中心市区和走环路无差异,即二者对其的效用应该是一样的:走中心市区对 i1250 的人的花费的时间的价值为:Ucentral201250/100W1250F1250F/6000。走环路对 i1250 的人花费的时间的价值为:Ucircle45W12501250F/6000。其中,W1250151250/100013.75。由 U
17、centralUcircle,可解得 F*171.875。最大化所有人的总效用“最大化所有人的总效用”等价于“最小化花费时间的总价值”。设有 m 个人走中心市区,他们分别是 i1,i2,im。不妨设 i1i2im,则另外(6000m)个人走环路。(a)对于每个走中心市区的人 ik,其中 k1,2,m,用时(20m/100)分钟,其花费时间的价值为 其中 (b)对于每个走环路的人 ik,其中 km1,m2,6000,用时 45 分钟,其花费时间的价值为 其中 因此,所有人花费时间的总价值为:其中 是个常数。所以最小化总花费时间的价值 U 等价于最小化 令其为函数 f(m)。若 m2500,则 f
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