初三数学浙江专版复习难题突破专题八类比、拓展探究题.pdf

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1、难题突破专题八 类比、拓展探究题 类比、拓展探究题是近两年中考热门考题，题型的模式基本分为三步：初步尝试、类比发现、深入探究，考查的知识点有：三角形旋转、平行四边形性质、相似、全等、矩形折叠、勾股定理等此类问题解答往往是层层深入，从特殊到一般，然后是拓展运用在解题时需要牢牢把握特殊情况、特殊位置下的结论，然后探寻一般情况下是否也成立，最后是类比应用类比模仿是解决此类问题的重要手段 1 2016湖州 数学活动课上，某学习小组对有一内角为 120的平行四边形ABCD(BAD120)进行探究：将一块含 60的直角三角板如图Z81 放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且 60角的顶点始终与点C重合

2、，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F(不包括线段的端点)(1)初步尝试 如图，若ADAB，求证：BCEACF，AEAFAC；(2)类比发现 如图，若AD2AB，过点C作CHAD于点H，求证：AE2FH；(3)深入探究 如图，若AD3AB，探究得AE3AFAC的值为常数t，则t_ 图Z81 例题分层分析 (1)先证明ABC，ACD都是_三角形，再证明BCE_，即可解决问题 根据的结论得到_，由此可证明(2)设DHx，由题意，可得CD_，CH_(用含x的代数式表示)，由ACEHCF，得AEFHACCH，由此即可证明(3)如图，过点C作CNAD于N，CMBA，交BA的延长线

3、于点M，CM与AD交于点H.先证明CFNCEM，得CNCMFNEM，由ABCMADCN，AD3AB，推出CM3CN，所以CNCMFNEM13，设CNa，FNb，则CM3a，EM3b，想办法求出AC，AE3AF即可解决问题 2 2016舟山 我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”(1)概念理解 请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；(2)问题探究 如图Z82，在等邻角四边形ABCD中，DABABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；(3)应用拓展 如图，在RtABC与RtABD中，CD90，BCBD3，AB5，将

4、RtABD绕着点A顺时针旋转角(0BAC)得到RtABD(如图)，当凸四边形ADBC为等邻角四边形时，求出它的面积 图Z82 例题分层分析 (1)矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”的条件；(2)连结PD，PC，根据PE，PF分别为AD，BC的垂直平分线，可得到PA_，PB_，DAP_ABC_，从而可得APCDPB，利用SAS可证得APCDPB，即可得到ACBD.(3)分两种情况考虑：(i)当ADBDBC时，延长AD，CB交于点E，由S四边形ACBDSACESBED，求出四边形ACBD的面积；(ii)当DBCACB90时，过点D作DEAC于点E，由S四边形ACBDSAEDS矩形ECBD，

5、求出四边形ACBD的面积即可 专 题 训 练 12017淮安【操作发现】如图Z83，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上 图Z83(1)请按要求画图：将ABC绕点A按顺时针方向旋转 90，点B的对应点为B，点C的对应点为C，连结BB；(2)在(1)所画图形中，ABB_【问题解决】如图Z84，在等边三角形ABC中，AC7，点P在ABC内，且APC90，BPC120，求APC的面积 图Z84 小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：想法一：将APC绕点A按顺时针方向旋转 60，得到APB，连结PP，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；想

6、法二：将APB绕点A按逆时针方向旋转 60，得到APC，连结PP，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系 请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程(种方法即可)【灵活运用】如图Z85，在四边形ABCD中，AEBC，垂足为E，BAEADC，BECE2，CD5，ADkAB(k为常数)，求BD的长(用含k的式子表示)图Z85 22017连云港 问题呈现：如图Z86，点E，F，G，H分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，AEDG.求证：2S四边形EFGHS矩形ABCD.(S表示面积)图Z86 实验探究：某数学实验小组发现：若图中AHBF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化分别过点E

7、，G作BC边的平行线，再分别过点F，H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1，B1，C1，D1，得到矩形A1B1C1D1.如图，当AHBF时，若将点G向点C靠近(DGAE)，经过探索，发现：2S四边形EFGHS矩形ABCDS矩形A1B1C1D1.如图，当AHBF时，若将点G向点D靠近(DGBF，AEDG，S四边形EFGH11，HF29，求EG的长 图Z87(2)如图Z88，在矩形ABCD中，AB3，AD5，点E，H分别在边AB，AD上，BE1，DH2，点F，G分别是边BC，CD上的动点，且FG10，连结EF，HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值 图Z88 3.2017盐城【探索发现

8、】如图Z89是一张直角三角形纸片，B90，小明想从中剪出一个以B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE，EF剪下时，所得的矩形的面积最大随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为_ 图Z89【拓展应用】如图，在ABC中，BCa，BC边上的高ADh，矩形PQMN的顶点P，N分别在边AB，AC上，顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为_(用含a，h的代数式表示)【灵活应用】如图，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB32，BC40，AE20，CD16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形(B为所剪出矩形的内角)，求该矩形的面积 【实际应用】

9、如图Z810，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB50 cm，BC108 cm，CD60 cm，且 tanBtanC43，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M，N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积 图Z810 参考答案 例 1【例题分层分析】(1)等边 ACF BEAF(2)2x 3x 解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，BAD120，DB60.ADAB，ABCD是菱形，ABC，ACD都是等边三角形，BCAD60，ACB60，BCAC.ECF60，BCEACEACFACE60，BCEACF.在BCE和ACF中，BCAF，BCAC，BCEACF，BCEACF.BCE

10、ACF，BEAF，AEAFAEBEABAC.(2)证明：设DHx，由题意，CD2x，CH3x，AD2AB4x，AHADDH3x.CHAD，ACAH2CH22 3x，AC2CD2AD2，ACD90，BACACD90，CAD30，ACH60，ECF60，HCFACE，ACEHCF，AEFHACCH2，AE2FH.(3)如图，过点C作CNAD于N，CMBA，交BA的延长线于M，CM与AD交于点H.ECFEAF180，AECAFC180.AFCCFN180，CFNAEC.MCNF90，CFNCEM，CNCMFNEM.ABCMADCN，AD3AB，CM3CN，CNCMFNEM13.设CNa，FNb，则C

11、M3a，EM3b，MAH60，M90，AHMCHN30，HC2a，HMa，HN3a，AM33a，AH2 33a，ACAM2CM22 213a，AE3AF(EMAM)3(AHHNFN)EMAM3AH3HN3FN3AH3HNAM14 33a，AE3AFAC14 33a2 213a7.故答案为7.例 2【例题分层分析】(2)PD PC ADP BCP 解：(1)矩形或正方形(2)ACBD，理由如下：连结PD，PC，如图所示：PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，PAPD，PCPB，PADPDA，PBCPCB，DPB2PAD，APC2PBC，又PADPBC，APCDPB，APCDPB(SAS

12、)，ACBD.(3)分两种情况考虑：(i)当ADBDBC时，延长AD，CB交于点E，如图所示，EDBEBD，EBED.BCBD3，ABAB5，ACAD4.设EBEDx，由勾股定理得 42(3x)2(4x)2，解得x4.5.过点D作DFCE于F，DFAC，EDFEAC，DFACEDAE，即DF44.544.5，解得DF3617，SACE12ACEC124(34.5)15，SBED12BEDF124.536178117，S四边形ACBDSACESBED15811710417.(ii)当DBCACB90时，过点D作DEAC于点E，如图所示，四边形ECBD是矩形，EDBC3.在RtAED中，根据勾股定

13、理得 AE42327，SAED12AEED12733 72，S矩形ECBDCECB(47)3123 7，则S四边形ACBDSAEDS矩形ECBD3 72123 7123 72.专题训练 1解：【操作发现】(1)如图所示 (2)45.【问题解决】如图，将APC绕点A按顺时针方向旋转 60，得到APB，连结PP，则APAP，PAP60，APBAPC.APP是等边三角形 APPAPP60.APPC，APC90.又BPC120，APB360APCBPC36090120150.BPPAPBAPP1506090.BPPAPBAPPAPC APP906030.设BPa.在RtBPP中，BPP30，PB2a，

14、PP3a，AP3a，PC2a.在RtAPC中，由勾股定理得AP2PC2AC2，(3a)2(2a)272.解得a7.AP21，PC2 7.SAPC12APPC12212 77 3.【灵活运用】连结AC.AEBC，BECE，ABAC.又AEBC，BAECAE.设BAE，则CAE，ABE90，ADC.如图，将ACD绕点A顺时针旋转 2，得到ABD，则BDCD5，ADAD，DAD2，BDA.过点A作AFDD，垂足为点F，则DAF，ADF90，DD2DF，BDDBDAADF9090.在RtADF中，DFADcosADFADcos(90)kABcos(90)kBE2k.DD4k.在RtBDD中，由勾股定理

15、得BDBD2DD252（4k）22516k2.2解：问题呈现：证明：因为四边形ABCD是矩形，所以ABCD，A90，又因为AEDG，所以四边形AEGD是矩形，所以SHEG12EGAE12S矩形AEGD，同理可得SFEG12S矩形BCGE.因为S四边形EFGHSHEGSFEG，所以 2S四边形EFGHS矩形ABCD.实验探究：由题意得，当点G向点D靠近(DGAE)时，如图所示，SHEC112S矩形HAEC1，SEFB112S矩形EBFB1，SFGA112S矩形FCGA1，SGHD112S矩形GDHD1，所以S四边形EFGHSHEC1SEFB1SFGA1SGHD1S矩形A1B1C1D1，所以 2S

16、四边形EFGHS矩形HAEC1S矩形EBFB1S矩形FCGA1S矩形GDHD12S矩形A1B1C1D1，即 2S四边形EFGHS矩形ABCDS矩形A1B1C1D1.迁移应用：(1)如图所示，由“实验探究”的结论可知 2S四边形EFGHS矩形ABCDS矩形A1B1C1D1，所以S矩形A1B1C1D1S矩形ABCD2S四边形EFGH252113A1B1A1D1.因为正方形面积是 25，所以边长为 5，又A1D12HF25229254，所以A1D12，A1B132，所以EG2A1B125294251094，所以EG1092.(2)四边形EFGH面积的最大值为172.3解：【探索发现】12.【拓展应用

17、】14ah.【灵活应用】如图，设四边形BFGK是从“缺角矩形”中剪出的一个矩形，显然，当顶点G在线段DE上时，矩形的面积才可取最大值 作直线DE，分别交线段BA，BC的延长线于点P，Q，过点E作EHBC于点H.四边形ABCM是矩形，AMBC，DEMDQC，EMCQMDCD.CD16，CMAB32，MDCD16，EMCQ1，即CQEM.AE20，AMBC40，EMAE20.AECQ.同理PAMDCD16.当BK12PB24，即当顶点G在DE中点处时，矩形的面积最大，最大面积为146048720.【实际应用】分三种情形：()如图，当矩形的另两个顶点P，Q分别在边AB，CD上时，延长BA，CD相交于点E.EBCDCG，EBEC.过点E作EHBC于点H，BH12BC1210854(cm)在RtEBH中，EHBHtanB544372(cm)，EB90 cm.由结论知，当PB12EB45 cmAB时，矩形面积有最大值为14108721944(cm2)()如图，当矩形的另两个顶点P，Q分别在边AD，CD上时，延长BA，CD相交于点E，延长QP交AE于点F，过点F作FGBC于点G，则矩形PQMN的面积小于矩形FQMG的面积 由()知，矩形FQMG的面积1944 cm2.()当矩形另两个顶点P，Q分别在边AB，AD上时，此时不能裁出矩形 综上所述，矩形面积的最大值为 1944 cm2.