北京市朝阳区高三第一次综合练习-理科数学.pdf

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1、 1 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试理工类 2021.4 考试时间 120 分钟 总分值 150 分 本试卷分为选择题共 40 分和非选择题共 110 分两局部 第一局部选择题 共 40 分 一、选择题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分在每题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1i为虚数单位，复数11 i的虚部是 A12 B12 C1i2 D.1i2 2集合23Mxx，lg(2)0Nxx，那么MN A.(2,)B.(2,3)C.(2,1 D.1,3)3向量3,4,6,3OAOB，2,1OCm m.假设/ABOC，那么实数m的值为 A3 B17 C35 D3

2、5 4 在极坐标系中，直线1cos2与曲线2cos相交于,A B两点,O为极点，那么AOB的 大小为 A3 B2 C3 D6 5在以下命题中，“2是“sin1的充要条件；341()2xx的展开式中的常数项为2；设随机变量(0,1)N,假设(1)Pp，那么1(10)2Pp 其中所有正确命题的序号是 2 A B C D 6某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如下图，那么这个几何体的体积为 A.4 B.4 2 C.6 2 D.8 7抛物线22ypxp0的焦点为F，点A，B为抛物线上的两个动点，且满足120AFB.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，那么|MNAB的最大值为 A

3、.33 B.1 C.2 33 D.2 8函数*()21,f xxxN.假设*0,x nN，使000()(1)()63f xf xf xn成立，那么称0(,)x n为函数()f x的一个“生成点.函数()f x的“生成点共有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 第二局部非选择题 共 110 分 二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上.9在等比数列 na中，32420aa a，那么3a ，nb为等差数列，且33ba，那么 数列 nb的前 5 项和等于 .10在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C 所对的边.角A为锐角，且3 sinbaB,那么t

4、an A .11执行如下图的程序框图，输出的结果 S=.2 2 2 2 正视图 侧视图 俯视图 开始 i=0 S=0 S=S+2i-1 i6 输出 S 结束 是 i=i+2 否 3 12 如图，圆O是ABC的外接圆，过点 C 作圆O的切线交BA的延长线于点D.假设3CD，2ABAC，那么线段AD的长是 ；圆O的半径是 .13 函数)(xf是定义在R上的偶函数，且满足(2)()f xf x.当0,1x时，()2f xx.假设在区间 2,3上方程2()0axaf x恰有四个不相等的实数根，那么实数a的取值范围是 .14 在平面直角坐标系xOy中，点A是半圆2240 xxy2x4上的一个动点，点C在

5、线段OA的延长线上当20OA OC时，那么点C的纵坐标的取值范围是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程.15 本小题总分值 13 分 函数231()sinsin222xf xx0的最小正周期为.求的值及函数()f x的单调递增区间；当0,2x时，求函数()f x的取值范围.DBCOA 4 16 本小题总分值 13 分 盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字1,01，,2称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回为一次试验设每次试验的结果互不影响 在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；在四次试验中，求至少有两次卡片上的数

6、字都为正数的概率；在两次试验中，记卡片上的数字分别为，试求随机变量X=的分布列与数学期望EX 5 17 本小题总分值 14 分 如图，在四棱锥PABCD中，平面PAC 平面ABCD，且PAAC，2PAAD四边形ABCD满足BCAD，ABAD，1ABBC点,E F分别为侧棱,PB PC上的点，且 PEPFPBPC 求证：EF平面PAD；当12时，求异面直线BF与CD所成角的余弦值；是否存在实数，使得平面AFD 平面PCD？假设存在，试求出的值；假设不存在，请说明理由 P D A B C F E 6 18 本小题总分值 13 分 函数2()(2)ln22f xxaxaxa，其中2a 求函数()f

7、x的单调区间；假设函数()f x在0,2上有且只有一个零点，求实数a的取值范围.7 19 本小题总分值 14 分 中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C过点3(1,)2,离心率为32，点A为其右顶点.过点(10)B，作直线l与椭圆C相交于,E F两点，直线AE，AF与直线3x 分别交于点M，N.求椭圆C的方程；求EM FN的取值范围.8 20 本小题总分值 13 分 设1210(,)x xx是 数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的 任 意 一 个 全 排 列，定 义1011()|23|kkkSxx，其中111xx.假设(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)，求()S的值；求()S的最大

8、值；求使()S到达最大值的所有排列的个数.9 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试答案理工类 2021.4 一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D A C C D A B 二、填空题：题号 9 10 11 12 13 14 答案 2，10 24 20 1,2 2 2(,)5 3 5,5 注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分 三、解答题：15 本小题总分值 13 分 解：31 cos1()sin222xf xx 31sincos22xx sin()6x.4 分 因为()f x最小正周期为，所以2.6 分 所以()sin(2)6f xx.由222262

9、kxk，kZ，得36kxk.所以函数()f x的单调递增区间为,36kk，kZ.8 分 因为0,2x，所以72,666x，10 分 所以1sin(2)126x.12 分 所以函数()f x在0,2上的取值范围是1,12.13 分 16 本小题总分值 13 分 解：设事件 A：在一次试验中，卡片上的数字为正数，那么 10 21()42P A 答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是123 分 设事件 B：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数 由可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12 所以0041344111111()1()()()222216P BCC 答：在四次试验中，至

10、少有两次卡片上的数字都为正数的概率为11167 分 由题意可知，的可能取值为1,01，,2，所以随机变量X的可能取值为2,101,，,2 4 21(2)4 48P X=；21(1)4 48P X=；77(0)4 416P X=；21(=1)4 48P X；21(=2)4 48P X；11(=4)4 416P X 所以随机变量X的分布列为 X 2 1 0 1 2 4 P 18 18 716 18 18 116 所以1171111()2101881688164E X=2413 分 17 本小题总分值 14 分 证明：由，PEPFPBPC，所以 EFBC 因为BCAD，所以EFAD 而EF 平面PA

11、D，AD 平面PAD，所以EF平面PAD 4 分 因为平面ABCD 平面PAC，平面ABCD平面PACAC，且PAAC，所以PA 平面ABCD.所以PAAB，PAAD 11 又因为ABAD，所以,PA AB AD两两垂直 5 分 如下图，建立空间直角坐标系，因为1ABBC，2PAAD，所以0,0,01,0,0,AB,1,1,0,0,2,0,0,0,2CDP 当12时，F为PC中点，所以1 1(,1)2 2F,所以1 1(,1),(1,1,0)2 2BFCD 设异面直线BF与CD所成的角为，所以1 1|(,1)(1,1,0)|32 2cos|cos,|3111244BF CD ，所以异面直线BF

12、与CD所成角的余弦值为339 分 设000(,)F xyz，那么000(,2),(1,1,2)PFxy zPC 由PFPC，所以000(,2)(1,1,2)xyz，所以000,22.xyz 所以(,22)AF 设平面AFD的一个法向量为1111(,)x y zn，因为0,2,0AD,所以110,0.AFADnn 即1111(22)0,20.xyzy 令1z，得1(22,0,)n 设平面PCD的一个法向量为2222(,)xyzn，因为0,2,2,1,1,0PDCD,P D A B C F E x yz 12 所以220,0.PDCDnn 即2222220,0.yzxy 令21x，那么2(1,1,

13、1)n 假设平面AFD 平面PCD，那么120nn，所以(22)0，解得23 所以当23时，平面AFD 平面PCD14 分 18 本小题总分值 1 3 分 解：函数定义域为0 x x，且(2)(1)()2(2).axa xfxxaxx2 分 当0a，即02a时，令()0fx，得01x，函数()f x的单调递减区间为(0,1)，令()0fx，得1x，函数()f x的单调递增区间为(1,).当012a，即02a时，令()0fx，得02ax或1x，函数()f x的单调递增区间为(0,)2a，(1,).令()0fx，得12ax，函数()f x的单调递减区间为(,1)2a.当12a，即2a 时，()0f

14、x恒成立，函数()f x的单调递增区间为(0,).7 分()当0a 时，由()可知，函数()f x的单调递减区间为(0,1)，()f x在(1,2单调递增.所以()f x在0,2上的最小值为(1)1fa，由于22422221121()2(1)10eeeeeeaaf，要使()f x在0,2上有且只有一个零点，需满足(1)0f或(1)0,(2)0,ff解得1a 或2ln2a .当02a时，由()可知，当2a 时，函数()f x在(0,2上单调递增；且48414(e)20,(2)22ln20eeff，所以()f x在0,2上有且只有一个零点.当02a时，函数()f x在(,1)2a上单调递减，在(1

15、,2上单调递增；13 又因为(1)10fa，所以当(,22ax时，总有()0f x.因为22e12aaa，所以22222222(e)ee(2)(lne22)0aaaaaaaafaaa.所以在区间(0,)2a内必有零点.又因为()f x在(0,)2a内单调递增，从而当02a时，()f x在0,2上有且只有一个零点.综 上 所 述，02a或2ln2a 或1a 时，()f x在0,2上 有 且 只 有 一 个 零点.13 分 19 本小题总分值 14 分 解：设椭圆的方程为222210 xyabab，依题意得22222,3,21314abccaab解得24a，21b.所以椭圆C的方程为2214xy.

16、4 分 显然点(2,0)A.1当直线l的斜率不存在时，不妨设点E在x轴上方，易得33(1,),(1,)22EF，33(3,),(3,)22MN，所以1EM FN.6 分 2当直线l的斜率存在时，由题意可设直线l的方程为(1)yk x，显然0k 时，不符合题意.由22(1),440yk xxy得2222(41)8440kxk xk.设1122(,),(,)E x yF xy,那么22121222844,4141kkxxx xkk.14 直线AE，AF的方程分别为：1212(2),(2)22yyyxyxxx，令3x，那么1212(3,),(3,)22yyMNxx.所以1111(3)(3,)2yxE

17、Mxx，2222(3)(3,)2yxFNxx.10 分 所以11221212(3)(3)(3)(3)22yxyxEM FNxxxx 121212(3)(3)(1)(2)(2)y yxxxx 2121212(1)(1)(3)(3)(1)(2)(2)xxxxkxx 2121212121212()13()9 12()4x xxxx xxxkx xxx 222222222222244814484141(39)(1)4484141244141kkkkkkkkkkkkk 22221653()(1)414kkkk 22216511164164kkk.12 分 因为20k，所以21644k，所以2216551

18、1644kk，即5(1,)4EM FN.综上所述，EM FN的取值范围是51,)4.14 分 20 本小题总分值 13 分 解：1011()|23|765432 10 12857kkkSxx .3 分 数10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍分别如下：20,18,16,14,12,10,8,6,4,2,15 30,27,24,21,18,15,12,9,6,3 其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为20372131，所以()131S.对于排列0(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)，此时0()131S，所以()S的最大值为131.8 分 由于数1,2,3,4所产生的8

19、个数都是较小的数，而数7,8,9,10所产生的8个数都是较大的数，所以使()S取最大值的排列中，必须保证数1,2,3,4互不相邻，数7,8,9,10也互不相邻；而数5和6既不能排在7,8,9,10之一的后面，又不能排在1,2,3,4之一的前面.设11x，并参照下面的符号排列1 其中2,3,4任意填入3个中，有6种不同的填法；7,8,9,10任意填入4个圆圈中，共有24种不同的填法；5填入4个之一中，有4种不同的填法；6填入4个中，且当与5在同一个时，既可以在5之前又可在5之后，共有5种不同的填法，所以当11x 时，使()S到达最大值的所有排列的个数为6 244 52880 ，由轮换性知，使()S到达最大值的所有排列的个数为28800.13 分