「论数学史上的三次危机」.pdf

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1、论数学史上的三次危机 提到数学,我有一种感觉,数学是自然中最基础的学科，它是所有科学之父，没有数学，就不可能有其他科学的产生。就人类发展史而言，数学在其中起的作用是巨大的，难怪有人说数学是人类科学中最美的科学。但在数学的发展史中,并不是那么一帆风顺的，其中历史上曾发生过三大危机，危机的发生促使了数学本生的发展,因此我们应该辨证地看待这三大危机。人类数学史上出现过三次“危机”,这实际上是数学发展中三次伟大的突破,都是人们认识领域中的变革性发展,都是人们头脑中数学认识结构的转换。第一次数学危机使数系扩展了,万物皆数的整数算术观念被动摇了,世界上竟存在着不能用整数表示的、不可通约的非比实数，被认为是

2、“异物”的东西，成了新体系中合理的“存在物”。第二次数学危机是方法论的领域扩大了,确立了一种崭新的“分析方法”。“分析”的结果与“运算”或“证明”的结果有着同等程度的确定性。第二次数学危机先后沿续一百多年,无非是为“分析”结果的确定性寻找基础,寻求证明和建立“分析”的步骤程序。这在数学发展史上被称之为“分析中注入严密性”。第三次数学危机是人的认知领域扩展到无穷,扩大了人们的思维方式,通过对一系列悖论的研究,确立了关于无穷运算的规则。人类对数的认识经历了一个不断深化的过程,在这一过程中数的概念进行了多次扩充与发展。其中无理数的引入在数学上更具有特别重要的意义,它在西方数学史上曾导致了一场大的风波

3、,史称“第一次数学危机”。第一次危机发生在公元前5805年之间的古希腊,数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体,该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。当时人们对有理数的认识还很有限,对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数,原来是指整数,他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为,宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为 1 的正方形的对角线长度既不是整数,也不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。它不仅严重

4、地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安,相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死,这就是第一次数学危机。最后,这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们,就称这两个线段是可通约的,否则称为不可通约的。正方形的一边与对角线,就不存在能同时量尽它们的第三线段,因此它们是不可通约的。很显然,只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制,所谓的数学危机也就不复存在了。我认为第一次危机的产生最大的意义导致了无理数地产生，比如说我们现在说的,都无法用 来表示，那么我们必须引入新的数来刻画这个问题，这样

5、无理数便产生了，正是有这种思想，当我们将负数开方时,人们引入了虚数 i(虚数的产生导致复变函数等学科的产生，并在现代工程技术上得到广泛应用）,这使我不得不佩服人类的智慧。但我个人认为第一次危机的真正解决在82 年德国数学家对无理数的严格定义，因为数学是很强调其严格的逻辑与推证性的。十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论,被称为第二次数学危机。从历史或逻辑的观点来看,它的发生也带有必然性。第二次次危机的萌芽出现在大约公元前 40 年,芝诺注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾,提出了关于时空的有限与无限的四个悖论:“两分法”:向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点,然而要经过这点，

6、又必须先经过路程的 1/4 点,如此类推以至无穷。结论是：无穷是不可穷尽的过程,运动是不可能的。“阿基里斯(荷马史诗中的善跑的英雄)追不上乌龟”：阿基里斯总是首先必须到达乌龟的出发点，因而乌龟必定总是跑在前头。这个论点同两分法悖论一样，所不同的是不必把所需通过的路程一再平分。“飞矢不动”：意思是箭在运动过程中的任一瞬时间必在一确定位置上，因而是静止的，所以箭就不能处于运动状态。“操场或游行队伍”：、B 两件物体以等速向相反方向运动。从静止的 c 来看，比如说 A、都在 1 小时内移动了公里,可是从 A 看来,则 B 在 1 小时内就移动了公里。运动是矛盾的，所以运动是不可能的。芝诺揭示的矛盾是

7、深刻而复杂的。前两个悖论诘难了关于时间和空间无限可分,因而运动是连续的观点，后两个悖论诘难了时间和空间不能无限可分，因而运动是间断的观点。芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景,不一定是专门针对数学的，但是它们在数学王国中却掀起了一场轩然大被。它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾,但他们无法解决这些矛盾。其后果是,希腊几何证明中从此就排除了无穷小。经过许多人多年的努力,终于在 17 世纪晚期，形成了无穷小演算微积分这门学科。牛顿 和 莱布尼兹 被公认为微积分的奠基者,他们的功绩主要在于：把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法;有明确的计算步骤;微分法和积分法互为逆运算。由于运算的

8、完整性和应用的广泛性,微积分成为当时解决问题的重要工具。同时,关于微积分基础的问题也越来越严重。关键问题就是无穷小量究竞是不是零?无穷小及其分析是否合理?由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论,造成了第二次数学危机。无穷小量究竟是不是零？两种答案都会导致矛盾。牛顿对它曾作过三种不同解释：19 年说它是一种常量;161 年又说它是一个趋于零的变量；167年它被“两个正在消逝的量的最终比”所代替。但是，他始终无法解决上述矛盾。莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量，但是他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁。英国大主教贝克莱于 1734 年写文章，攻击流数(导数)

9、“是消失了的量的鬼魂能消化得了二阶、三阶流数的人,是不会因吞食了神学论点就呕吐的。”他说,用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误，“是依靠双重的错误得到了虽然不科学却是正确的结果”。贝克莱虽然也抓住了当时微积分、无穷小方法中一些不清楚不合逻辑的问题，不过他是出自对科学的厌恶和对宗教的维护，而不是出自对科学的追求和探索。当时一些数学家和其他学者，也批判过微积分的一些问题,指出其缺乏必要的逻辑基础。例如,罗尔曾说：“微积分是巧妙的谬论的汇集。”在那个勇于创造时代的初期,科学中逻辑上存在这样那样的问题，并不是个别现象。18 世纪的数学思想的确是不严密的、直观的，强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念,从而导数、微分、积分等概念不清楚;无穷大概念不清楚；发散级数求和的任意性等等;符号的不严格使用;不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。直到9 世纪 2年代，一些数