复数知识点精心总结.pdf

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1、1/4 复数知识点 考试内容：复数的概念 复数的加法和减法 复数的乘法和除法 数系的扩充 考试要求：（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算 （3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想 1.复数的单位为 i，它的平方等于1，即1i2.复数及其相关概念：复数形如a+bi 的数（其中Rba，）；实数当 b=0 时的复数a+bi，即a；虚数当0b时的复数a+bi；纯虚数当a=0 且0b时的复数a+bi，即bi.复数a+bi 的实部与虚部a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）复数集 C全体复数

2、的集合，一般用字母 C 表示.两个复数相等的定义：00babiaRdcbadbcadicbia）特别地，（其中，且.两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：若21,zz为复数，则1若021zz，则21zz.（）21,zz为复数，而不是实数 2若21zz，则021zz.（）若Ccba,，则0)()()(222accbba是cba的 必要不充 分条 件.（当22)(iba，0)(,1)(22accb时，上式成立）2.复平面内的两点间距离公式：21zzd.其中21zz，是复平面内的两点21zz 和所对应的复数，21zzd和表示间的距离.由上可得：复平面内以0z为圆心，r为半径的圆的复数方程：）

3、（00rrzz.曲线方程的复数形式：00zrzz表示以为圆心，r 为半径的圆的方程.2/4 21zzzz表示线段21zz的垂直平分线的方程.212121202ZZzzaaazzzz，）表示以且（为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若212zza，此方程表示线段21ZZ，）.），（2121202zzaazzzz表示以21ZZ，为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若212zza，此方程表示两条射线）.绝对值不等式：设21zz，是不等于零的复数，则 212121zzzzzz.左 边 取 等 号 的 条 件 是），且（012Rzz，右 边 取 等 号 的 条 件 是），（012Rzz.212121zzzz

4、zz.左边取等号的条件是），（012Rzz，右边取等号的条件是），（012Rzz.注：nnnAAAAAAAAAA11433221.3.共轭复数的性质：zz 2121zzzz azz2，i2bzz（za+bi）22|zzzz 2121zzzz2121zzzz 2121zzzz（02z）nnzz)(注：两个共轭复数之差是纯虚数.（）之差可能为零，此时两个复数是相等的 4复数的乘方：)(.Nnzzzzznn 对任何z，21,zzC及Nnm,有 nnnnmnmnmnmzzzzzzzzz2121)(,)(,注：以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如1,142ii若由11)(2121

5、42 ii就会得到11的错误结论.在实数集成立的2|xx.当x为虚数时，2|xx，所以复数集内解方程不能采用两边平3/4 方法.常用的结论：1,1,143424142nnnniiiiiii)(,0321Zniiiinnnn iiiiiiii11,11,2)1(2 若是1的立方虚数根，即i2321，则 .5.复数z是实数及纯虚数的充要条件：zzRz.若0z，z是纯虚数0zz.模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数.特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：|zz.6.复数的三角形式：)sin(cosirz.辐角主值：适合于 02的值，记作zarg.注

6、：z为零时，zarg可取)2,0内任意值.辐角是多值的，都相差 2的整数倍.设,Ra则23)arg(,2arg,)arg(,0argaiaiaa.复数的代数形式与三角形式的互化：)sin(cosirbia，22bar，rbrasin,cos.几类三角式的标准形式：)sin()cos()sin(cosirir)sin()cos()sin(cosirir)sin()cos()sincos(irir)2sin()2cos()cos(sinirir 7.复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x的一元二次方程)0(02acbxax时，应注意下述问题：当Rcba,时，若0，则有二不等实数根abx22,1；若=0，则有二相等实数根abx22,1；若0，则有二相等复数根aibx2|2,1（2,1x为共轭复数）.)(0,01,1,121223Znnnn4/4 当cba,不全为实数时，不能用方程根的情况.不论cba,为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.8.复数的三角形式运算：)sin()cos()sin(cos)sin(cos212121222211irririr)sin()cos()sin(cos)sin(cos212121222211irririr 棣莫弗定理：)sin(cos)sin(cosninrirnn