《高等流体力学》习题集.pdf

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1、*高等流体力学复习题 一、基本概念 1 什么是理想流体？正压流体，不可压缩流体？答：教材 P57 当流体物质的粘度较小，同时其内部运动的相对速度也不大，所产生的粘性应力比起其它类型的力来说可以忽略不计时，可把流体近似地看为是无粘性的，这样无粘性的流体称为理想流体。内部任一点的压力只是密度的函数的流体，称为正压流体。流体的体积或密度的相对变化量很小时，一般可以看成是不可压缩的，这种流体就被称为不可压缩流体。2 什么是定常场；均匀场；并用数学形式表达。答：如果一个场不随时间的变化而变化，则这个场就被称为定常场。其数学表达式为：)(r 如果一个场不随空间的变化而变化，即场中不显含空间坐标变量r，则这

2、个场就被称为均匀场。其数学表达式为：)(t 3 理想流体运动时有无切应力？粘性流体静止时有无切应力？静止时无切应力是否无粘性？为什么？答：理想流体运动时无切应力。粘性流体静止时无切应力。但是，静止时无切应力，而有粘性。因为，粘性是流体的固有特性。4 流体有势运动指的是什么？什么是速度势函数？无旋运动与有势运动有何关系？答：教材 P119-123 如果流体运动是无旋的，则称此流体运动为有势运动。对于无旋流动来说，其速度场V总可以由某个速度标量函数（场）),(tr的速度梯度来表示，即V，则这个标量函数（场）),(tr称为速度场V的速度势函数。无旋运动与有势运动的关系：势流运动与无旋运动是等价的，即

3、有势运动是无旋的，无旋运动的速度场等同于某个势函数的梯度场。*5 什么是流函数？存在流函数的流体具有什么特性？（什么样的流体具有流函数？）答：6 平面流动中用复变位势描述的流体具有哪些条件（性质）？答：教材 P126-127 理想不可压缩流体的平面无旋运动，可用复变位势描述。7 什么是第一粘性系数和第二粘性系数？在什么条件下可以不考虑第二粘性系数？Stokes 假设的基本事实依据是什么？答：教材 P89 第一粘性系数：反映了剪切变形对应力张量的贡献，因此称为剪切变形粘性系数；第二粘性系数：反映了体变形对应力张量的贡献，因而称为体变形粘性系数。对于不可压缩流体，可不考虑第二粘性系数。Stokes

4、 假设的基本事实依据：平均法向正应力就是压力函数的负值，即体变形粘性系数032。*8 从运动学观点看流体与固体比较有什么不同？答：教材 P55 若物质分子的平均动能远小于其结合能，即Emv221，这时物质分子间所形成的对偶结构十分稳定，分子间的运动被严格地限定在很小的范围内，物质的分子只能在自己的平衡位置周围振动。这时物质表现为固态。若物质分子的平均动能与其结合能大致相等，即Emv221，其分子间的对偶结构不断地遭到破坏，又不断地形成新的对偶结构。这时，物质分子间不能形成固定的稳定对偶结构，而表现出没有固定明确形状的液态。若物质分子的平均动能远大于其结合能，即Emv221，物质几乎不能形成任何

5、对偶结构。这时，物质表现为气态。9 试述流体运动的 Helmholts 速度分解定律。答：教材 P65 可变形流体微团的速度分解：流体微团一点的速度可分解为平动速度分量与转动运动分量和变形运动分量之和，这称为流体微团的 Helmholts 速度分解定理 rSrVV0 10 流体微团有哪些运动形式？它们的数学表达式是什么？答：rSrVV0 1）平动运动：0VV 2）转动运动：r Vrot21 3）变形运动：rS 11 描述流体运动的基本方法有哪两种？分别写出其描述流体运动的速度、加速度的表达式。答：教材 P58-60 描述流体运动的基本方法：1）拉格朗日方法：对流体介质的每一质点进行跟踪，着眼于

6、流体介质中的每个质点，需要对流体介质中*的每个质点进行区别。各质点速度表达式：ttcbartcbaV),(),(各质点加速度表达式：22),(),(ttcbartcbaV 2）欧拉方法：定点观察描述流场的运动，着眼于空间的定点，而不是流体质点。速度表达式：332132321213211321),(),(),(),(),(etxxxuetxxxuetxxxutxxxVtrVV 加速度表达式：VVtVVtVxuuturVVtVtrrVtVdtVdjiji)(12 什么是随体导数（加速度）、局部导数（加速度）及位变导数（加速度）？分别说明0dtvd，0tv 及0vv的物理意义？答：教材 P60 随体

7、导数：流体质点在其运动过程中的加速度所对应的微商，叫做随体导数；局部导数：流体位置不变时的加速度所对应的微商，叫做局部导数；位变导数：质点位移所造成的加速度所对应的微商，叫做位变导数。物理意义：0dtvd：随体导数为 0，流体质点在其运动过程中的加速度为 0；0tv：局部导数为 0，流体位置不变时的加速度为 0，流体是定常流动；0vv：位变导数为 0，流体质点位移所造成的加速度为 0，流体速度分布均匀。13 什么是流体的速度梯度张量？试述其对称和反对称张量的物理意义。答：教材 P65-67 对流体微团M，其中or处的速度为0V，那么r处的速度可以表示为 jjxxVVV0，或者jjiiixxuu

8、u0，即)(0VrVV。这里，Vxuji为二阶张量，是速度的梯度，因此称之为速度梯度张量。*速度梯度张量分解为对称和反对称部分：SAxuVij 反对称张量的物理意义：反对称张量表征了流体微团旋转运动，所对应的矢量为流体微团的角速度矢量。kijkzvywzuxwzvywyuxvzuxwyuxvA0000)(21)(21)(210)(21)(21)(210121323 Vroteeezyx 21321 对称张量的物理意义：对称张量表征了流体微团的变形运动。其中，对角线上的元素321,表示了流体单元微团在 3个坐标轴上的体变形分量，而三角元素32121,21,21表示了流体单元微团在 3 个坐标平面

9、上的角变形分量的一半。312123231212121212121 )(21)(21)(21)(21)(21)(21 zwzvywzuxwzvywyvyuxvzuxwyuxvxuA X O xvyuxwzuywzvY Z 反对称部分*X Y Z O xuyvzw 14 流体应力张量的物理意义是什么？它有什么性质？答：教材 P71 流体应力张量的物理意义：应力张量表示了坐标面的三个面力密度矢量zyxppp,的九个分量ijp组成的一二阶张量，即为面力密度张量。应力张量的性质：应力张量是对称张量，具有对称性 应力张量具有二阶对称张量的性质 (1)应力张量的几何表示为应力椭球面，即二次型 1222)(2

10、22zxpyzpxypzpypxprPrzxyzxyzzyyxx(2)应力张量有三个互相垂直的主轴方向，即是应力椭球的三个对称的直径的方向。在主轴坐标系下，应力张量具有标准形式：000000332211pppP(3)应力张量的三个不变量为：X Y O yuxwzuywzvZ xv反对称部分 223112123323122322113312312332211321223122322111133332223322111pppppppppppppppIpppppppppIpppI*nnpmmp15 某平面上的应力与应力张量有什么关系？nmmnpp的物理含义是什么？答：教材 P71 应力np与应力张量

11、P的关系：Pnpnpijn，即：空间某点处任意平面上的应力等于这点处的应力张量与该平面法向单位矢量的左向内积。nmmnpp的物理意义：ijijjjiijijinnmnpmmpnmpnmpmPnp)(mnmpnpnPm)(应力张量的对称性，使得在以n为法线的平面上的应力np在 m 方向上的投影等于（=）在以m为法线的平面上的应力mp在 n方向上的投影。16 流体微团上受力形式有哪两种？它们各自用什么形式的物理量来表达？答：教材 P68-71（1）质量力，也称体力，这种力作用在物质中每个质点上，其大小与每个质点的质量成正比。作用于某物质体上质量力的合力将通过该物质体的质心。)(rFf ，)(rFf

12、 )(rF为质量力密度，与位置有关。（2）面力，作用于流体微团表面 S 上的力。Sppn，SnSpp np为面力分布密度，Pnpnpijn 17 什么是广义的牛顿流体和非牛顿流体？答：教材 P86-87 牛顿内摩擦定律：流体微团的运动变形的的大小与其上所受的应力存在线性关系。遵从或近似遵从牛顿内摩擦定律的一类流体称为牛顿流体。不遵从牛顿内摩擦定律的流体称为非牛顿流体。广义牛顿内摩擦定律：偏应力张量的各分量与速度梯度张量的各分量间存在线性关系。遵从或近似遵从广义牛顿内摩擦定律的一类流体称为广义牛顿流体。*18 试述广义牛顿内摩擦定律的物理意义及相应的数学表达式？答：教材 P87 广义牛顿内摩擦定

13、律的物理意义：偏应力张量的各分量与速度梯度张量的各分量间存在线性关系。数学表达式：lkijkllkijklklijklijacscxvc，其中，二阶张量lks和lka市速度梯度张量的对称和反对称部分，而四阶张量ijklc称为动力粘性系数张量。19 什么是层流运动、紊流（湍流）运动和临界雷诺数？圆管中层流和紊流运动的速度分布规律是什么？答：层流流动是平稳有规律的流动状态，流体介质各部分之间分层流动，互不掺混，流体内部的微团具有连续而平滑的迹线，流场中各种有关物理量（参数）的变化较为缓慢，表现出明显的连续性和平稳性。湍流流动是极不规则的流动形态，流体介质各部分之间，各层之间有着剧烈的掺混，其流体内

14、部微团的运动迹线很不规则，杂乱无章，表征流体运动状态的各种物理量也表现出不同程度的跃变和随机性。雷诺数：流体运动中，惯性力与粘性力的无量纲比值 vdvdRe 下临界雷诺数：从湍流状态到层流状态的转折点；上临界雷诺数：从层流状态到湍流状态的转折点。圆管中层流和紊流运动的速度分布规律：层流：)(4220rRlppul （1）定常流动的速度沿径向的分布规律，由式（1）可以看出，流动截面上的速度分布是一抛物回转面。湍流：光滑圆管中的速度分布：394.5)lg(756.5*yUUu 粗糙圆管中的速度分布与光滑圆管中的速度分布相同，只是改变方程的常数。20 流体的阻力可分为哪几种？管路中的阻力通常分为哪几

15、种？答：粘性时产生阻力的根本原因，依据阻力产生的不同机理，可分为：摩擦阻力和压差阻力。管路中的阻力通常分为：沿程阻力（即摩擦阻力）和局部阻力。*21 试说明粘性流体流动的三个基本性质。答：教材 P170-174（1）粘性运动的有旋性 粘性流体运动时，有旋是绝对的，粘性流体的无旋运动是不存在的。（2）运动过程中有能量的损耗性 在粘性流动中永远伴随着机械能的损耗。这部分能量转换成热能形式传递给流体介质及相邻的固壁，使其温度升高而耗散。（3）粘性涡旋运动的扩散性 在粘性流体中，涡旋强的地方要向涡旋弱的地方传送涡量，直至涡量相等为止。22 使流体涡量产生变化的因素有哪些？其中哪些是流体运动的内在因素，

16、哪些是外在因素？答：流体涡量产生变化的因素有：（1）质量力无势；（2）流体不正压；（3）粘性剪切应力；（4）流体微团的体积变化；（5）流体涡线微元的变形（涡线的拉伸、压缩、扭曲）。其中，流体运动的外在因素为：（1）质量力无势；（2）流体不正压；（3）粘性剪切应力。内在因素为：（4）流体微团的体积变化；（5）流体涡线微元的变形（涡线的拉伸、压缩、扭曲）。23 试说明层流边界层和湍流边界层的速度分布特征。答：层流边界层：层流边界层内的速度分布呈线性分布规律；湍流边界层：分为层流底层和湍流核心区。层流底层内的速度分布呈线性分布，湍流核心区速度分布呈对数分布规律。24 试述雷诺应力jiuu 的物理意义

17、及其与分子粘性应力的异同。答：教材 P230 雷诺应力jiuu 的物理意义：在湍流运动中，由脉动速度引起的应力，称之为雷诺应力。雷诺应力与分子粘性应力的异同：相同：都是由于分子动量传递产生的应力，都是剪切应力。不同：（1）引起动量传递的原因不同（雷诺应力：分子脉动；分子粘性应力：分子热运动）；（2）分子粘性应力与粘性这一物质固有属性有关，而雷诺应力取决于流体的流动特性，与流场性质有关，与所处位置和时均速度有关。*25 试述平板湍流边界层的结构及其速度分布特征。答：教材 P241-242 结构：沿壁面法向，在板面附近有层流子层流区，其速度呈线性分布（01.0y），而后为很小的过渡区，接着为湍流核

18、心区。结构：层流子层流区 过渡区 湍流核心区；内层：粘性底层 过渡区 湍流核心区；外层：粘性顶层及边界层其余部分。速度分布特征：层流子层流区（80*yU）：*yUUux，速度呈线性分布；过渡区：308*yU 湍流核心区（*30yU）：9.4)lg(6.5*yUUux，速度呈对数分布。二、推导及证明 1 根据质量守恒定律推导连续性方程。证明：教材 P78-79 根据物理学中的质量守恒定律，由某封闭的物质面S所围成的体积中的物质在运动过程中不消灭也不创生，即使说，在运动过程中由物质面S所围成的体积中的流体介质的质量保持不变，是守恒的。在体元素中，若流体介质的密度为，那么其质量就为m，于是有限体积中

19、的质量m为 m （1）根据质量守恒定律的物理含义：体积中的质量m在其运动过程中保持不变，这意味着，质量m的随体导数为零，即 0)(dtddtdm （2）由物质体元素的随体导数表达式 Vdtd 知 )()(Vdtddtd （3）于是由式（2）有 0)(Vdtd （3）*即 0)(Vt （4）考虑到奥-高公式（SVnVudivSu）有 0SvtSVntnS （5）式（3）到式（5）都可称之为积分形式的连续方程。由式（3）和式（4）的被积函数为零可直接得到微分形式的连续方程：0Vdtd （6）0)(Vt （7）2 根据动量定律推导出微分形式的运动方程。证明：教材 P80-81 封闭曲面 S 所围成的

20、体积中流体物质体的动量为体积分：V，其变化率就是体积分的随体导数：)(Vdtd，而该物质体上所受外力为其上的质量力：F和面力：SPnSpSSn，由动量定理得：ssnSPnFSpFVdtd，因为)()()()()(VdtdVdtVdVVdtdVdtVddtdVVdtdVdtd 由连续性方程知，0)(VdtdV，所以ssnSPnFSpFdtVd，又snSVvtVVVtVdtVd)(得到SpFSVvtVSnsn*由奥-高公式PSPnS 所以，PFdtVd 于是得到微分形式的动量方程PFdtVd 3 根据能量守恒定律推导出微分形式的能量方程。证明：教材 P83-85 4 试推导出运动方程的 Berno

21、ulli 积分和 lagrange 积分。证明：教材 P108-109 *5 在不可压缩流体中，若流线是11cf 和22cf 两曲面的交线。试证明：2121,ffffFV，其中 F 是1f和2f所决定的函数。证明：设 构成曲线坐标系，于是 满足：由题设：流线是 两曲面的交线，那么速度场 的方向将同时垂直于 的梯度方向。因此：于是速度场可以表示为：即要证明 F 不显含 f3:而 又 所以，也就是说 F 中不显含 f 3。于是，有：2121,ffffFV。此题得证。6 证明不可压缩理想流体作二维定常流动时，忽略质量力，其流函数和涡旋满足 0,yx，若为常数，则压力方程为22vp常数。证明：由：PF

22、VVtV1)2(2 理想、定常、忽略质量力 pVV1)2(2 321,fff321,fff0),(),(321321xxxfff11cf 22cf V21 ,ff21/ffV)(,(21321fffffFV03fF0)(,(21321fffffFV)(),()(),(2132121321fffffFfffffFV0)()()(211221ffffff)(),(21321fffffFV)()(21332211ffffFffFffF0)(2133ffffF332313322212312111xfxfxfxfxfxfxfxfxf)(213fff0),(),(321321xxxfff03fF*0)2(

23、2VpV 两边取旋度 0)2(2VpV 0)()()()()(VVVVV 不可压 0)(V 蜗旋场无源 0)(V 二维流动 0)(V 0)(V 0V 0yvxu 0yxxy 0),(),(yx 由：0)2(2VpV （1）)()()(xyxyyxzexeyeveueveueV 由于，为常数：)()()(xyexeyV 代入（1），得：0)2(2pV 两端积分，得：CpV22 7 进行圆管中流体摩擦试验时，发现圆管中沿轴向的压降p是流速u、密度、粘性系数、管长l、管内径d及管壁粗糙度dhk的函数，而且p与l成正比。试用因次分析方法证明221udlp，其中Re,k为无因次系数。证明：由题意可假设存

24、在关系 udlkp1 Re),(（1）*相应各量的量纲（因次）为：2TLMp Ld 3LM TLu 式（1）对应量纲的协调条件为：TLMTLM31-2-11 于是，对于 M 量纲，有：1 T 量纲，有：2 2 L 量纲，有：131 1 将：1 1 2 带入（1）式，得：221udlp 此题得证。8 试从运动方程：PFdtVd 和本构关系)31(2IVSpIP 推导出：粘性不可压缩流体的运动方程为：VpFdtVd1 如果体力有势即GF 则有：Vdtd)(证明：（1）将本构关系带入运动方程：)31(2IVSpFdtVd 考虑到不可压缩流体 0 V 上式为：SpFdtVd21 Vxuxxuxuxxu

25、xxuxuxSiijijjiiijijiiji21)(21)(21)(2122 VpFdtVd1（2）考虑到体力有势：VpGdtVd1)()2()(VVVVtVVVtVdtVd*VVpGVtV)2(2 两边取旋度：VVtV)()()()()()(VVVVV 旋度无源：0)(V，不可压0)(V 所以，)()()(VVV)()(VVt 由于dtdVt)(所以，可得：Vdtd)(证毕。9 证明对粘性不可压缩流体定常运动，若外力有势，则有：222)21)(1(VpsV 其中 s 为沿流线的弧元素，为涡量，为运动粘性系数，V为流体速度，p为压力函数，为密度。证明：)(1)2(2ppFVVtV)2(2pV

26、V （1）在(1)两边同以流线切线方向的单位向量se作左向内积：)()2()2(22VVVpspVVes)()2(2VVpsV （2）*(1)两边同求散度：0)2(2pVV 0)2()(22pVV 0)2()()(22pVVV)()2(222VpV （3）（3）（2），得:222)21)(1(vpsv 10 证明：不可压缩流体的二维运动，外力有势时流函数 满足：422),(),(yxt 其中，)()(),(),(222yxyxyx 证明：粘性不可压缩流体涡旋运动方程：（见教材 6.2-4 式）Vdtd)(dtd yvxut 考虑流函数 yu xv 旋度计算式 2yuxv)()()(2222yx

27、xytyvxut 两边取负号 二维运动*yxt422),(),(三、计算题 1 在柱坐标系下，2cosrvr，2sinrv，0zv，求流线族。解：柱坐标系下的流线方程为：zrvdzvrdvdr 所以，22sincosrrdrdr 即，sincosrddr，因此，有：sincos drdr 即：sinsindrdr 所以，有：Crsinlnln 即，Crsinlnln Crsinln 1sinCr 所以，流线族为：21sinCzCr 2 在直角坐标系下，txu，tyv，0w，求流线族和迹线族。解：直角坐标系下，流线为：wdzvdyudx 所以，tydytxdx 即，Ctytx)ln()ln(亦即

28、，Ctytx)ln()ln(Ctytx)(ln(1)(Ctytx*所以，流线族为：21)(CzCtytx 求迹线族：0dtdztyvdtdytxudtdx 所以，迹线族为：321)(1)(1)(CtzteCtyteCtxtt 3 在球坐标系下，cos33raVvr，sin2133raVv，0v，试证明：ar 是流面。解：4 设有一定常流动为：zyu2 zxv2 yxw 求：速度梯度张量，变形速度张量，应力张量，偏应力张量以及作用在球面1222zyx上的合力。（设流体介质的动力粘性系数为，压力函数为p）解：速度梯度张量 022101110zwzvzuywyvyuxwxvxuxuVij*应力张量

29、pppssppPijkkijijijij333232)31(2 偏应力张量 033302320)31(2ijkkijijss 变形速度张量 0232323012310)(21)(21)(21)(21)(21)(21zwywzvxwzuzvywyvxvyuzuxwyuxvxuS 球面上的合力 sPeFSr izyxreeee cos sinsin cossin ppppPij333232 020sinijiijSipspF)cos3sinsin2cossin(-sin020pex)cos3sinsin-cossin(2sin020pey)cossinsin3 cossin(3sin020pez

30、)cos3sinsin2cossin(-sin020peFx)cos3sinsin-cossin(2sin020pey)cossinsin3 cossin(3sin020pez x o r z y *Aydydux020020020sincossincos3sincos3peeeFzyx 0sin cos2)3 3(0yyxepee 5 如图，水平放置的两块平行无穷平板间有厚度为a、b，粘性系数分别为a、b的不相混的不可压缩流体作平行于平板的定常的层流运动。试求：速度沿厚度方向的分布以及两层流体在界面上的切应力ab（设沿流动方向上的压力梯度为常数，即0dxdp）。解：定常、层流、水平流动控制方

31、程：xxuvxpxu100 xpuxuxx10 xxuxu0 22dyudx a 层流动 1122ByAyuaa b 层流动 2222ByAyubb 边界条件：22110000000BABAdydudyduuuuubyaabybbbyabybbayayb aba b X Y O*6 试分析复位势 zzmzW1ln的基本流动；解：zmzmzmz)(z(zmzzmzzmzWln1)(ln1)(ln11ln1ln1ln2 当 m 为正实数时，复位势描述的流动由两个强度均为 m，位置分别在（-1，0）和（1，0）的点源及一个强度为 m，位置在（0，0）的点汇组成。7 已知流体通过漏斗时旋转的速度分布可

32、用柱坐标表示为：（a 为漏斗半径）0 21 0 :0 21 0 :0 2zrzrvravvarvrvvar当当 求：涡量Vrot，说明在什么区域是有旋的，什么区域是无旋的？（是常数）zrzrvrvvzreererV1rot 解：计算涡量 柱坐标)(00201)(0 0201122arazreererarrerzreereruruuzreererzrzzrzrzr*8 带有自由面的粘性不可压缩流体在倾斜平板上由于重力的作用而发生运动。设：平板无限，与水平面的倾角为，流体的深度为 h，作定常直线运动。求：速度分布、流量、平均流速、最大流速及作用在平板上的摩擦力。解：不可压缩，定常 xxxxuvgx

33、uuxusin0 gyuxsin22 BAyygux22sin 0 0 xuy 0B Uuhyx hghUA2sin22 yhUhyygux)(2sin 9 一无限平板的上半空间充满粘性不可压缩流体，平板初始由静止开始于某时刻起沿自身平行方向作周期性的振动，若运动规律为)cos(0tuu，运动中压力不变。求：平板运动所引起流体的运动状态。解：yyyyxyxxyxxxyxuvypyuuxuutuuvxpyuuxuutuyuxu110 不考虑质量力、压力，并 uy=0 220yuvuvtuxuxxxx 0 cos 0 0 xxuytuuy 由边界条件，速度分布具有：)cos(0yteuuyx h

34、tuucos0 y O x*)sin(0yteutuyx )sin()cos()(0ytyteuyuyx)sin()cos()cos()sin(2022ytytytyteuyuyx)sin(2)sin(200yteuyteuyy 22 2 )2cos(20yteuuyx 10 不可压缩流体在无界流场中有一对方向相反、强度相等为的线涡，分别置于（h,0）和（h,0）两点。这时有无穷远速度为V的均匀来流恰好使得这两个涡线停滞不动。求其流线方程。解：点涡(0,h)和(0,-h)相互感生的速度场使得相应点涡位置的速度为-V，确定 强度，再作叠加。线涡),0(h th 0 感生的速度场 教材 p 165

35、（5-5-15）22222222),0()()(2)()(10041hyxexehytzhyxdtrotVyxhhh （1）（0,h）（0,-h）O V*222222222),0()()(4)()(10041tzhyxdtetzhyxdtrotVzhhh dtetzhyxzh)()(1(4222 aaa)(dtetzhyxetehyexzzyxh23222)()()-z()(4 dttzhyxexehyyxh23222)()()(4 23222)()()(4tzhyxdtexehyyxh ttyxhzthyxhyxztexehy22222)()()()(4 22)()(2hyxexehyyxh

36、 由题意：xxhhyxyxhheVhehhyxexehyhV2,022),0()2(2)2()()(2),0(hVh4 同理，线涡 ),0(h th 0 感生的速度场 22),0()()(2hyxexehyVyxhh （2）xxhhyxyxhheVhehyxexehyhV4)()(2),0(,022),0(hVh4 分别将 hVh4和hVh4带入(1)、(2)式，得到位于(0,h)和(0,-h)两点的涡线感生的速度场及无穷远来流的速度场：22),0()()(2hyxexehyhVVyxh 22),0()()(2hyxexehyhVVyxh xe-V *于是，总的速度场为：)()(2)()(22222xyxyxTehyxexehyhhyxexehyhVV yxTehyxhyxxhVehyxhyhhyxhyhVV)(1)(12 1)()(2)()(222222222 yxTehyxhyxxyhVehyxhyxhyhxhyhxyxVV)()(8)()(584422222222242222244 流线方程 dyxyhdxhyhxhyhxyx24222224485844