《方程与方程组》复习导航.pdf

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1、方程与方程组复习导航 本讲主要包括一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程和一元二次方程四部分内容.近年来，本部分内容在重点考查基础知识、基本技能的基础上，进一步强化了对学生运用方程（组）知识解决实际问题的考查.试题特点、分值及难度：对于方程与方程组的考查，一方面将以填空、选择的方式考查“双基”内容；另一方面以解答题的形式来考查探索方程解的过程.由于解方程（组）在中考中常以基础题的形式出现，所以本部分试题的难点是对阅读创新题和应用题的考查，考查本部分内容的分值平均占到12%左右，难度以中低档为主.复习建议:1明确目标，抓住重点：在复习方程（组）时，可从三个方面入手：一是解方程（组），二是应用

2、方程（组）解决实际问题，三是注重对基本题型和创新题型的总结.2关注生活，培养能力：在复习过程中，要关注社会、关注生活，运用所学的知识去解决身边的实际问题；同时，在复习好课本问题，传统问题的基础上，还要多关注近几年中考试题中涌现出的新题型，如开放探索题、情景应用题等.3领悟思想，把握实质：复习时，要用心体会本部分涉及的两大思想：转化思想：掌握解方程（组）的实质是化多元为一元、化高次为低次、化分式为整式；建模思想：体会并认识方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，体会数学的应用价值.专题一、一元一次方程 考点分析：利用一元一次方程的定义，或方程的解确定方程中字母的取值是近几年中考的热点之一，以选择

3、题和填空题为主，注重“双基”的考查；列一元一次方程解决较简单的实际问题是必考题型，较简单的问题以填空形式出现，较难的问题常放在解答题中去解决.考点 1：方程的有关概念 例 1（2010 年泸州市）若2x 是关于x的方程2310 xm 的解，则m的值为().A1 B0 C1 D2 分析：根据方程解的定义，只要把2x 代入方程，构造出关于m的新方程即可求出m.解：把2x 代入到方程2310 xm 中，得4310m，解得m=1故选 A.点评：理解方程的解的概念是解决此类问题的关键，一般地，将方程的解代入含字母系数的方程，从而构造出新的方程是解决此类问题的常用方法.考点 2：利用相关概念构造一元一次方

4、程 例 2（2010 年衡阳市）如果553mxy与321nx y是同类项，则mn的值为_.分析：根据同类项定义中“相同字母的指数相同”来构造方程，进而求解.解：由题意，得53m，215n.解得2m ，2n，所以2124mn.故填14.点评：常常利用绝对值、相反数、同类项等知识构造一元一次方程，旨在考查同学们对其概念的理解和灵活应用能力.考点 3：一元一次方程的解法 例3（2010年兖州市）一元一次方程13124xx 的解为_ 分析：本题可按照解一元一次方程的一般步骤求解，在去分母时，方程两边的“每一项”都应乘以 4，不要漏乘不含分母的项“1”.解：去分母，得2(1)4(3)xx.去括号，得22

5、43xx.移项、并合并同类项，得1x .方程两边同时除以1，得1x.故填 1.点评：解一元一次方程时，特别要注意在移项、去分母、去括号时避免出现错误，要能够根据方程的结构特征，灵活地安排解题步骤.考点 4：用一元一次方程解决实际问题 例 4（2010 年福州市）郑老师想为希望小学四年级（3）班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典贵 8 元，用 124 元恰好可以买到 3 个书包和 2 本词典 问每个书包和每本词典的价格各是多少元？分析：由于购买物品是每个同学都能在生活中碰到的一个问题，故题目的背景贴近生活实际.本题可利用“3 个书包2 本词典=124 元”这个相等关系来列方程

6、.解：设每个书包的价格为x元，则每本词典的价格为(8)x元.根据题意，得32(8)124xx，解得28x，所以820 x 答：每个书包的价格为 28 元，每本词典的价格为 20 元 点评：列方程解应用题的关键是寻找相等关系，当题中有两个相等关系时，其基本思路是用一个相等关系来设未知数，用另外一个相等关系列方程 易错点分析：1基本概念的常见误区：（1）对方程及一元一次方程的定义理解不深刻；（2）对方程的解理解不深刻.2解一元一次方程常见误区：（1）在去括号时，漏乘项或误用去括号法则；（2）移项时，移动的项不变号；（3）在去分母时，忘记乘没有分母的项或忽略分数线的括号作用.3列方程解应用题的常见误

7、区：（1）弄不清一些概念及其之间的关系；（2）复杂问题中搞错等量关系；（3）单位不统一；（4）考虑问题不全面，没有检查方程的解是否符合题意 专题二、二元一次方程（组）考点分析：由二元一次方程或二元一次方程组的解去求方程或方程组中的字母系数，是大部分省市中考的热点.主要以填空题或选择题的题型出现，它既考查了方程或方程的解的定义，又考查了二元一次方程组的解法；列二元一次方程组解简单的应用题，是每年中考中几乎不可缺少的题目.考点 1：二元一次方程组的解法 例 1（2010 年青岛市）解方程组:34194xyxy 分析：一般地，任何一个方程组都可以用代入法或加减法来解.代入法通常解系数较简单的方程组，

8、加减法通常解系数相同或相反的方程组.解：将4，得4416xy，得，735x，解得5x.把5x 代入得，1y.所以原方程组的解是51xy.点评：代入消元法和加减消元法都是解二元一次方程组的基本方法，其本质就是“消元”.“消元”体现了数学学习和研究中的“化未知数为已知”的化归思想.考点 2：二元一次方程组的解的意义 例 2（2010 年莱芜市）已知12yx是二元一次方程组18mynxnymx的解，则nm 2的算术平方根为（）.A4 B2 C 2 D 2 分析：根据方程组解的意义，可把已知解代人到方程组中，构造出含有字母m、n的新方程组，进而求出m、n的值.解：把12yx代入到方程组中，得2821m

9、nnm，解得32mn.所以24mn，由于 4 的算术平方根为 2，故选 B.点评:当含有字母系数的方程组的解直接给出时，可先把“给出的解”代入原方程组，从而得到关于字母系数的新方程组，然后再解这个新方程组即可.考点 3：构造二元一次方程组解题 例 3（2010 年济宁市）若0)3(12yyx，则yx的值为（）.A1 B1 C7 D7 分析：由于非负数的算术平方根是非负数，一个数的平方也是非负数，故当这几个非负数的和为 0 时，则每一个非负数都为 0.由此得到关于字母x、y的二元一次方程组.解：由非负数的性质得，1030 xyy，解得43xy，所以7xy.故选 C.点评：概念及性质是解题的基础，

10、在很多情形下，我们要优先考虑利用概念及性质解题，本题就是运用绝对值的性质列出二元一次方程组来解决问题的.考点 4：二元一次方程与一次函数图象的关系 例 4（2010 年聊城市）如图，过点 Q（0，3.5）的一次函数的图象与正比例函数 y=2x的图象相交于点 P，能表示这个一次函数的方程是（）.A323.50 xy B.323.50 xy C.3270 xy D.3270 xy 分析：任何一个二元一次方程都可以化成一次函数关系的形式，以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图象与这个二元一次方程化成的一次函数的图象相同.解：由于点 P 在 y=2x的图象上，且1Px，则2Py，所以点 P 的坐标为

11、（1,2）.设一次函数的解析式为ykxb，则有23.5kbb，解得32k ，72b.所以一次函数的解析式为3722yx，即3270 xy.故选 D.点评：从“数”的角度看，函数与方程描述的是同样的关系；从“形”的角度看，它们对应点（解）组成的图象相同，也就是说，方程的解即为函数图象上的点.考点 5：用二元一次方程解决实际问题 例 5（2010 年株洲市）老师布置了一个探究活动作业：仅用一架天平和一个 10 克的砝码测量壹元硬币和伍角硬币的质量（注：同种类的每枚硬币的质量相同）聪明的孔明同学找来足够多的壹元和伍角的硬币，经过探究得到以下两个探究记录：记录 天平左边 天平右边 状态 记录一 5 枚

12、壹元硬币，一个 10 克的砝码 10 枚伍角硬币 平衡 记录二 15 枚壹元硬币 20 枚伍角硬币，一个 10 克的砝码 平衡 请你用所学的数学知识计算出一枚壹元硬币有多少克，一枚伍角硬币有多少克？分析：本题有两个相等关系：5 枚壹元硬币的质量10 克=10 枚伍角硬币的质量；15 枚壹元硬币的质量=20 枚伍角硬币的质量10 克.解：设一枚壹元硬币有x克，一枚伍角硬币有y克.根据题意，得51010152010 xyxy，解得64xy.答：一枚壹元硬币有 6 克，一枚伍角硬币有 4 克.点评：数形结合是一种重要的思想，图形蕴含着数量关系；反之，数量关系又常常可以通过图形做出直观地反映和描述.本

13、题以天平平衡为载体，较好地体现了数形结合思想.易错点分析：1用代入法解方程组的基本步骤，可概括为：“先变形，后代入，再回代，求另数”，在“回代”时应注意合理性，不能重复.2用加减法解方程组，在系数变换时，不能漏乘方程组中的某些项，尤其是常数项，另外在加减消元时，不要弄错符号.3在列方程组解应用题的步骤中，设元时要注意写上单位，列方程组时应注意等式左右两边单位统一.专题三、分式方程 考点分析：分式方程是继整式方程之后的又一种重要的方程模型，该考点主要涉及：分式方程的概念，解分式方程的基本步骤，验根的基本方法，以及通过建立数学模型，列分式方程解决实际问题.题型有选择题、填空题和解答题，其中以分式方

14、程的解法为主要考点.考点 1：解分式方程 例 1（2010 年北京市)解方程：312422xxx.分析：由于242(2)xx，因此在方程两边同乘以2(2)x，即可约去分母，将其转化为整式方程.解：去分母，得322xx整理，得 35x 解得 53x 经检验53x 是原方程的解 所以原方程的解是53x 点评：解分式方程的基本思路是通过去分母，把分式方程转化为整式方程，因此分式方程有产生增根的可能，因此检验是解方式方程不可缺少的重要步骤.考点 2：分式方程的增根 例 2（2009 年遵义市）若关于x的方程2221151kkxxxxx有增根1x ，则k的值为_.分析：分式方程的增根是分式方程去分母转化

15、为整式方程的解，因此可先将原分式方程去分母转化为整式方程，然后再把增根1x 代入即可求出k的值.解：方程两边同时乘以11x xx得，1151x kxkx.化简，得36xk.把1x 代入，得 316k，解得9k.故填 9.点评：凡涉及利用分式方程的增根来求相关系数值的问题，其解题步骤为：去分母，化分式方程为整式方程；将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值.考点 3：含参数的分式方程的解的情况 例 3（2010 年齐齐哈尔市）已知关于 x 的分式方程 a2x1 1 的解是非正数，则 a 的取值范围是_ 分析：分式方程有非正数解的条件是：化简之后的整式方程有非正数解且不使原分式方程的分母为 0

16、.解：将原分式方程去分母，得21ax，解得1xa.因此，原分式方程有非正数解的条件是010 xx，即10(1)10aa .解得1a且2a .故填1a且2a .点评：本题要注意隐含条件，1a只能保证去分母之后的整式方程的解是非正数，但这样的非正数解有可能是分式方程的增根.考点 4：列分式方程解决实际问题 例 4（2010 年盐城市）某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款 1800 元已知 2 班比1 班人均捐款多 4 元，2 班的人数比 1 班的人数少 10%请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程 分析：本题答案不唯一，可根据“1 班的人

17、数90%=2 班的人数”这个等量关系来列分式方程，从而求出这两个班级的“人均捐款”数额.解：可提出问题“求两个班人均捐款各多少元？”设 1 班人均捐款 x 元，则 2 班人均捐款（x+4）元.根据题意得1800 x 90%=1800 x+4，解得 x=36.经检验 x=36 是原方程的根且符合题意，x+4=40.答：1 班人均捐 36 元，2 班人均捐 40 元 点评：分式方程的应用题一般都会出现两个层次或两种情况，它们之间是并列或递进的关系.我们往往就是通过对这两个层次进行比较、分析，找出相等关系，从而列出方程.易错点分析：1去分母时，要用最简公分母乘以原分式方程的每一项，特别是不要漏乘常数

18、项；去分母后，分数线消失，应在分子部分添上括号，并且要特别注意符号.2在方程两边同乘一个整式时，有可能产生增根，增根是去分母后的整式方程的根，但不是原分式方程的根，因此解分式方程必须检验，切不可漏掉检验这个重要步骤.3在列分式方程解应用题时，要抓住关键环节，细心分析问题中的数量关系，求解后要注意两种检验.一要检验是否是增根，二要检验是否符合题意（实际意义）.专题四、一元二次方程 考点分析：一元二次方程的定义，解法在中考中多以填空题、选择题的形式出现，另外对这部分的考查也贯穿在其他知识的解题过程中，既考查学生的基础知识，也考查学生的应用知识解决问题的能力，对一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

19、的考查常以探究题的形式出现.列一元二次方程解应用题，特别是平均增长率问题，仍是各省市的热点题目之一.考点 1：考查一元二次方程的有关概念.例 1（2009 年南平市）若关于 x 的一元二次方程0235)1(22mmxxm的常数项为 0，则 m 的值等于（）.A1 B2 C1 或 2 D0 分析：对于一元二次方程的一般形式20(0)axbxca，c叫做常数项.故本题需满足2320mm，且10m.解：由题意，得2320mm，解得121,2mm.由于10m，即1m，所以2m.故选 B.点评：在方程20axbxc中，只有当0a 时，才是一元二次方程，即当0a 时，就不是一元二次方程了，因此要注意本题中

20、的隐含条件10m.考点 2：考查一元二次方程的解法 例 2（2010 年泰安市）解方程：14)3)(23(xxx 分析：可先把已知方程整理成一元二次方程的一般形式，再利用公式法或配方法求解.解：原方程化为081032xx，由于683410102x.即573x，321x，42x.点评：一元二次方程主要有四种解法，选择适当的方法解一元二次方程可使运算简便.在四种解法中，优先选择顺序依次为：直接开平方法分解因式法公式法配方法.考点 3：判断一元二次方程根的情况 例 3（2010 年上海市）已知一元二次方程x210 x ，下列判断正确的是（）.A该方程有两个相等的实数根 B该方程有两个不相等的实数根

21、C该方程无实数根 D该方程根的情况不确定 分析：本题可以根据解方程或直接根据一元二次方程的根的判别式进行判断.解：由于1a，1b，1c ，所以2450bac，即方程210 xx 有两个不相等的实数根，故选 B.点评：在应用根的判别式时，首先应把一元二次方程整理成一般形式，正确得到a、b、c的值，然后根据24bac的符号，即可判断出方程的根的情况.考点 4：确定方程中字母系数的取值范围 例 4（2010 年兰州市）已知关于x的一元二次方程2(1)10mxx 有实数根，则m的取值范围是 .分析：由于一元二次方程2(1)10mxx 有实数根，故其根的判别式240bac且二次项系数10m.解：由于22

22、414(1)154bacmm ，根据题意，得540m且10m，解得54m 且1m.故填54m 且1m.点评：在一元二次方程中，当二次项系数中含有字母时，我们一定要注意二次项系数不能为零这个隐含条件，否则在解题时会出现丢解、漏解的错误.考点 5：考查根与系数关系 例 5（2010 年烟台市）一元二次方程2210 xx 的两个实数根分别为1x、2x，则12(1)(1)xx=_.分析：设一元二次方程20axbxc(0)a 的两根为1x，2x，则两根与方程系数之间有如下关系：12bxxa，12cxxa 解：由根与系数关系，得122xx，121xx.所以121212(1)(1)()112 12xxx x

23、xx .故填2.点评：求这类含方程根的代数式的值的问题，要注意把所求的代数式进行有目标的变形，使其变形为只含有12xx、12xx的形式，然后即可整体代入求值.考点 6：考查一元二次方程的应用 例 6（2010 年安徽省）在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年 3 月份的 14000元/m2下降到 5 月份的 12600 元/m2.（1）问 4、5 两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据：0.90.95）（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到 7 月份该市的商品房成交均价是否会跌破 10000 元/m2？请说明理由.分析：这是平均增长率问题，要正确认识平均增长率（或降低率）

24、公式1nQax，增长为“”，降低为“”，a为基础量，Q为变化后的量，n是增长（或降低）的次数.解：（1）设 4、5 两月平均每月降价的百分率为x.根据题意，得214000(1)12600 x，化简得2(1)0.9x.解得10.05x，11.95x（不合题意，应舍去）.答：设 4、5 两月平均每月降价的百分率为 5%.（2）如果房价按此降价的百分率继续回落，则 7 月份该市的商品房成交均价为 212600(1)126000.91134010000 x.答：7 月份该市的商品房成交均价不会跌破 10000 元/m2.点评：解决应用型问题的关键是弄清问题的背景，正确建立数学模型，找出数量之间的相等关

25、系，并把这样的关系“翻译”成一元二次方程，还应注意检验求得的解要符合实际.易错点分析：1任何一个一元二次方程都可以化成ax2bxc=0(a0)的形式，其中a0 是定义的一部分，不可漏掉.要注意二次项系数、一次项系数、常数项都包括系数前面的符号.2应用求根公式解一元二次方程时，应先把方程化为一元二次方程的一般形式，当240bac时，才能代入求根公式，求出1x，2x；否则方程无解.3在解一元二次方程时，方程两边决不能随便约去含有未知数的代数式，即“要确保约去的公因式不能为 0”，以免出现漏解的错误.4 在判断方程根的情况时，应特别注意“方程有实数根”、“一元二次方程有实数根”，“有两个实数根”、“有两个相等的实数根”等关键词语的区别，要注意思考它们的隐含条件.5列方程解应用题时，应注意及时从语言叙述中写出等量关系，注意单位的统一，认真检查方程的解是否符合题意，还要加强对各类题型的训练巩固.