【志鸿优化设计】高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数、导数的计算教学案理新人教A版.pdf

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1、 第三章 导数及其应用 3.1 导数、导数的计算 考纲要求 1了解导数概念的实际背景 2通过函数图象直观地理解导数的几何意义 3能根据导数定义求函数yc，yx，yx2，yx3，y1x，yx的导数 4能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数能求简单复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数)的导数 1导数的概念 一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是limx0yx_，称其为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0.2导函数 如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导 这样，对开区间(a，b)内每一个

2、值x，都对应一个确定的导数f(x)于是在区间(a，b)内_构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数yf(x)的导函数，记为f(x)或y.3导数的几何意义 函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在xx0处的切线的斜率相应地，切线方程为_ 4基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)c(c为常数)f(x)0 f(x)xn(nQ*)f(x)_ f(x)sin x f(x)_ f(x)cos x f(x)_ f(x)ax f(x)_ f(x)ex f(x)_ f(x)logax f(x)_ f(x)ln x f(x)_ 5导数的运算法则(1)f(x)g(x)_；(2)

3、f(x)g(x)_；(3)fxgx_(g(x)0)6复合函数的导数 设uv(x)在点x处可导，yf(u)在点u处可导，则复合函数yfv(x)在点x处可导，且f(x)_，即yx_.1 若函数f(x)2x21 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1x,1y)，则yx等于()A4 B4x C42x D42x2 2一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s13t332t22t，那么速度为零的时刻是()A0 秒 B1 秒末 C2 秒末 D1 秒末和 2 秒末 3曲线yx3在点P处的切线的斜率为 3，则点P的坐标为()A(1,1)B(1，1)C(1,1)或(1，1)D(1，1)4若函数f(x)ax4

4、bx2c满足f(1)2，则f(1)等于()A1 B2 C2 D0 5若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80 垂直，则l的方程为_ 6ysin 2x的导数为_ 一、根据导数的定义求函数的导数【例 11】已知f(2)2，f(2)3，则limx2 fx3x21 的值为()A1 B2 C3 D4【例 12】用导数的定义求函数yf(x)1x在x1 处的导数 方法提炼 1根据导数的概念求函数的导数是求导的基本方法确定yf(x)在xx0处的导数有两种方法：一是导数的定义法，二是导函数的函数值法 2求函数yf(x)在xx0处的导数的求解步骤：请做演练巩固提升 1 二、利用求导公式、法则求导【例 2】求下列函

5、数的导数：(1)y(2x3)2；(2)ytan x；(3)yx22x5.方法提炼 一般来说，分式函数求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数的要先化简；对数函数的求导，可先化为和、差的形式；三角函数的求 导，先利用三角函数公式转化为和或差的形式 请做演练巩固提升 2 三、导数的几何意义【例 3】已知曲线y13x343.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为 1 的曲线的切线方程 方法提炼 1求曲线yf(x)在xx0处的切线方程(1)求出函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)即为曲线yf(x)在xx0处的切线斜率

6、；(2)由切点(x0，f(x0)和斜率f(x0)，用点斜式写出切线方程yf(x0)f(x0)(xx0)，再化为一般式即可 特别地，如果曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于x轴，则此时导数f(x0)不存在，由切线定义可知，切线方程为xx0.2求曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线方程 可设切点为(x1，y1)，由 y1fx1，y0y1fx1x0 x1解出x1，进而确定过点P的切线方程为yy0f(x1)(xx0)，再化为一般式即可 3“过某点”与“在某点处”的切线是不同的，过某点的切线，此点并不一定是切点，在某点处的切线才表明此点是切点 无论是求函数在某点的切线还是过某点的切线，

7、首先都是求(或设)切点坐标得出切线的斜率，再解决问题曲线在某点处的切线只有一条，而过某点的切线可以不止一条 请做演练巩固提升 4 对“在某点处”与“过某点”字眼的区分 【典例】若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2154x9 都相切，则a等于()A1 或2564 B1 或214 C74或2564 D74或 7 解析：因为点(1,0)不在曲线yx3上，所以应从设切点入手来求切线方程，再利用切线与曲线yax2154x9 相切求a的值 设过(1,0)的直线与yx3相切于点(x0，x30)，所以切线方程为yx303x20(xx0)，即y3x20 x2x30.又(1,0)在切线上，则x00 或

8、x032.当x00 时，由y0 与yax2154x9 相切可得a2564；当x032时，由y274x274与yax2154x9 相切可得a1，所以选 A.答案：A 答题指导：1在解答本题时有两个易错点：(1)审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点；(2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系，而必须设出切点 2解决与导数的几何意义有关的问题时，以下几点在备考时要高度关注：(1)首先确定已知点是否为曲线的切点是求解关键；(2)基本初等函数的导数和导数的运算法则要熟练掌握；(3)对于直线的方程与斜率公式的求解，要熟练掌握 1设f(x)为可导函数，且满足limx0

9、f1f12x2x1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为()A2 B1 C1 D2 2ycos(x23)的导数y_.3若曲线f(x)ax3ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_ 4(2012 安徽高考)设定义在(0，)上的函数f(x)ax1axb(a0)(1)求f(x)的最小值；(2)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y32x，求a，b的值 参考答案 基础梳理自测 知识梳理 1limx0 f(x0 x)f(x0)x 2f(x)3yf(x0)f(x0)(xx0)4nxn1 cos x sin x axln a(a0)ex 1xln a(a0，且a1)1x

10、5(1)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)2 6f(u)v(x)yuux 基础自测 1C 解析：yf(1x)f(1)2(1x)2114x2(x)2，yx42x.2D 解析：s13t332t22t，vs(t)t23t2.令v0，得t23t20，t11，t22.3C 解析：y3x2，3x23.x1.当x1 时，y1，当x1 时，y1.4B 解析：f(x)4ax32bx为奇函数，f(1)f(1)2.54xy30 解析：设切点为(x0，y0)，y4x3,4x034，x01.y01.l的方程为 4xy30.6y2cos 2x 考点探究突破

11、【例 11】C 解析：令 xx2，则limx2 f(x)3x21 limx0 f(x2)f(2)x1 f(2)1213.【例 12】解：yf(1x)f(1)11x11 11x1x x1x(1 1x).yx11x(1 1x)，limx0yx limx011x(1 1x)12.f(1)12.【例 2】解：(1)y(4x212x9)8x12.(2)ysin xcos x(sin x)cos xsin x(cos x)cos2x cos xcos xsin x(sin x)cos2x 1cos2x.(3)y(x22x5)1221(25)2xx(2x2)x1x22x5.【例 3】解：(1)P(2,4)在

12、曲线y13x343上，且yx2，在点P(2,4)处的切线的斜率为：y|x24.曲线在点P(2,4)处的切线方程为：y44(x2)，即 4xy40.(2)设曲线y13x343与过点P(2,4)的切线相切于点Ax0，13x0343，则切线的斜率为：y|xx0 x02.切线方程为y13x0343x02(xx0)，即yx02x23x0343.点P(2,4)在切线上，42x0223x0343，即x033x0240，x03x024x0240，x02(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01 或x02，故所求的切线方程为4xy40 或xy20.(3)设切点为(x0，y0)，则x

13、021，x01，切点为(1,1)或1，53，切线方程为y1x1 或y53x1，即xy20 或 3x3y20.演练巩固提升 1B 解析：limx0 f(1)f(12x)2x limx0 f(12x)f(1)2x1，即y|x11，则yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为1.22xsin(x23)解析：ycos(x23)2xsin(x23)2xsin(x23)3(，0)解析：f(x)3ax21x(x0)，若函数存在垂直于y轴的切线，即 3ax21x0 有解，a13x3.x0，13x30.a0.4解：(1)(方法一)由题设和基本不等式可知，f(x)ax1axb2b，其中当且仅当ax1 时，等号成立，即当x1a时，f(x)取最小值为 2b.(方法二)f(x)的导数f(x)a1ax2a2x21ax2，当x1a时，f(x)0，f(x)在1a，上递增；当 0 x1a时，f(x)0，f(x)在0，1a上递减 所以当x1a时，f(x)取最小值为 2b.(2)f(x)a1ax2.由题设知，f(1)a1a32，解得a2 或a12(不合题意，舍去)将a2 代入f(1)a1ab32，解得b1.所以a2，b1.