【志鸿优化设计】高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.4微积分基本定理教学案理新人教A版.pdf

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1、 3.4 微积分基本定理 考纲要求 1了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念 2了解微积分基本定理的含义 1定积分的定义和相关概念(1)如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0 x1xi1xixnb将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式_，当n时，上述和式无限接近_，这个_叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作_，即baf(x)dx_.(2)在baf(x)dx中，_分别叫做积分下限与积分上限，区间_叫做积分区间，_叫做被积函数，_叫做积分变量，_叫做被积式 2定积分的几何意义(1)当函数f(x)在区间a，b

2、上恒为正时，定积分baf(x)dx的几何意义是由直线xa，xb(ab)，y0 和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积(甲图中阴影部分)(2)一般情况下，定积分baf(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线xa，xb之间的曲边梯形面积的代数和(乙图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数 3定积分的性质(1)bakf(x)dx_(k为常数)；(2)baf(x)g(x)dx_；(3)baf(x)dx_(其中acb)4微积分基本定理 一般地，如果f(x)是在区间a，b上的连续函数，且F(x)f(x)，那么baf(x)dx_.这个结

3、论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式 其中F(x)叫做f(x)的一个原函数 为了方便，我们常把F(b)F(a)记作_，即baf(x)dxF(x)|baF(b)F(a)1.421xdx()A2ln 2 B2ln 2 Cln 2 Dln 2 2下列值等于 1 的积分是()A10 xdx B10(x1)dx C101dx D1012dx 3(2013 届山东潍坊四县一校期中联考)已知t0，若t0(2x2)dx8，则t()A1 B2 C2 或 4 D4 4 如图，函数yx22x1与y1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是()A1 B.43 C.3 D2 5根据定积分的几

4、何意义计算定积分：31|x2|dx_.6(2012 山东高考)设a0，若曲线yx与直线xa，y0 所围成封闭图形的面积为a2，则a_.一、利用微积分基本定理计算定积分【例 1】计算下列定积分：(1)31(3x22x1)dx；(2)e1x1x1x2dx；(3)设f(x)x2，x0，1，1x，x1，e，试求e0f(x)dx的值 方法提炼 计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值；(5)计算原始

5、定积分的值 提醒：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算 请做演练巩固提升 2 二、定积分在物理中的应用【例 2】列车以 72 km的前n项和为Sn，且S1030(12x)dx，S2017，则S30为()A15 B20 C25 D30 3设函数f(x)ax2c(a0)，若10f(x)dxf(x0)，其中1x00，则x0 _.4一物体受到与它运动方向相反的力F(x)110exx的作用，则它从x0 运动到x1 时F(x)所做的功等于_ 5求定积

6、分101x2dx.参考答案 基础梳理自测 知识梳理 1(1)i1nf(i)xi1n banf(i)某个常数 常数 baf(x)dx limni1n banf(i)(2)a与b a，b 函数f(x)x f(x)dx 3(1)kbaf(x)dx(2)baf(x)dx bag(x)dx(3)caf(x)dxbcf(x)dx 4F(b)F(a)F(x)ba 基础自测 1D 解析：421xdxln x42 ln 4ln 2ln 2.2C 解析：101dxx10101.3D 解析：由0t(2x2)dx8，得(x22x)0tt22t8，解得t4 或t2(舍去)，选 D.4B 解析：由 yx22x1，y1，得

7、x10，x22.S20(x22x11)dx 20(x22x)dx x33x22083443.5 1 解析：根据定积分的几何意义，所求的定积分就是函数y|x2|的图象、直线x1，x3 和x轴所围成的图形的面积，故S31|x2|dx121112111.649 解析：由题意可得曲线yx与直线xa，y0 所围成封闭图形的面积S0axdx32023ax3223aa2，解得a49.考点探究突破【例 1】解：(1)31(3x22x1)dx(x3x2x)|3124.(2)e1x1x1x2dxe1xdxe11xdxe11x2dx12x2e1ln xe11xe1 12(e21)(ln eln 1)1e11 12e

8、21e32.(3)e0f(x)dx10 x2dxe11xdx 13x310ln xe1 13ln e43.【例 2】解：因列车停在车站时，速度为 0，故应先求出速度的表达式，之后令v0，求出t，再根据v和t应用定积分求出路程 已知列车速度v072 km的前n项和，所以S10，S20S10，S30S20成等差数列，即 12,5，S3017 成等差数列，易得S3015.333 解析：10(ax2c)dx13ax3cx1013acf(x0)ax02c，x0213.又1x00，x033.4e1025 解析：由题意知F(x)所做的功为10110exxdx 110ex12x210e1025.5解：定积分101x2dx的几何意义就是圆x2y21 在第一象限同坐标轴围成的图形的面积，故101x2dx4.