大学物理2-1第二章(质点动力学)习题答案.pdf

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1、2-1 习 题 二 2-1 质量为 m 的子弹以速率0v水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为 k，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系；(2)子弹射入沙土的最大深度。解 设任意时刻子弹的速度为 v，子弹进入沙土的最大深度为 s，由题意知，子弹所受的阻力 f=-kv(1)由牛顿第二定律 tvmmafdd 即 tvmkvdd 所以 tmkvvdd 对等式两边积分 tvvtmkvv0dd0 得 tmkvv0ln 因此 tmkevv0(2)由牛顿第二定律 xvmvtxxvmtvmmafdddddddd 即 xvmvkvdd 所以 vxmk

2、dd 对上式两边积分 000ddvsvxmk 得到 0vsmk 即 kmvs0 2-2 质量为 m 的小球，在水中受到的浮力为 F，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为 fkv(k 为常数)。假设从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率 v 与时间的关系为 mktekFmgv1 证明 任意时刻 t 小球的受力如下图，取向下为 y 轴的正方向，开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得 tvmmafFmgdd mgFfy02-2 即 tvmmakvFmgdd 整理得 mtkvFmgvdd 对上式两边积分 tvmtkvFmgv00dd 得 mktFmgkvFmgln 即 mktekFmgv1

3、 2-3 跳伞运发动与装备的质量共为 m，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kvF。求跳伞员的运动速率 v 随时间 t 变化的规律和极限速率Tv。解 设运发动在任一时刻的速率为 v，极限速率为Tv，当运发动受的空气阻力等于运发动及装备的重力时，速率到达极限。此时 2Tkvmg 即 kmgvT 有牛顿第二定律 tvmkvmgdd2 整理得 mtkvmgvdd2 对上式两边积分 mgkmtkvmgvtv21dd002 得 mtvkmgvkmgln 整理得 T22221111veekmgeevkgmtkgmtkgmtkgmt 2-3 2-4 一人造地球卫星质量 m=1327

4、kg，在离地面61085.1hm 的高空中环绕地球作匀速率圆周运动。求：(1)卫星所受向心力 f 的大小；(2)卫星的速率 v；(3)卫星的转动周期 T。解 卫星所受的向心力即是卫星和地球之间的引力 2ehRmMGf地 2eRMGg地 由上面两式得N1082.71085.11063781063788.913273263232e2ehRRmgf(2)由牛顿第二定律 hRvmfe2 sm1096.613271085.11063781082.73633emhRfv(3)卫星的运转周期 2h3min50ss1043.71096.61085.1106378223363evhRT 2-5 试求赤道上方的地

5、球同步卫星距地面的高度。解 设同步卫距地面高度为 h，距地心为 R+h，那么 22mrrMmG mgRMmG2 所以 2gRGM 代入第一式中 3122gRr srad1027.736002425 解得 mr71022.4 m1058.31037.61022.4467Rrh 2-6 两个质量都是 m 的星球，保持在同一圆形轨道上运行，轨道圆心位置上及轨道附近都没有其它星球。轨道半径为 R，求：(1)每个星球所受到的合力；(2)每个星球的运行周期。解 因为两个星球在同一轨道上作圆周运动，因此，他们受到的合力必须指向圆形轨道的圆心，又因星球不受其他星球的作用，因此，只有这两个星球间的万有引力提供向

6、心力。2-4 所以两个星球必须分布在直径的两个端点上，且其运行的速度周期均相同(1)每个星球所受的合力 2222142RmGRmmGFF(2)设运动周期为 T RvmF21 vRT2 联立上述三式得 GmRRT4 所以，每个星球的运行周期 GmRRTTT421 2-7 2-8 2-9 一根线密度为的均匀柔软链条，上端被人用手提住，下端恰好碰到桌面。现将手突然松开，链条下落，设每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上，求链条下落距离 s时对桌面的瞬时作用力。解 链条对桌面的作用力由两局部构成：一是已下落的 s 段对桌面的压力1N，另一局部是正在下落的xd段对桌面的冲力2N，桌面对xd段的作用力为2N

7、。显然 sgN1 t时刻，下落桌面局部长 s。设再经过td，有xd落在桌面上。取下落的xd段链条为研究对象，它在t d时间之内速度由gsv2变为零，根据动量定理 ptNdd2 (1)xvpd0d (2)tvxdd (3)由(2)、(3)式得 sgN22 sgNN222 故链条对桌面的作用力为 sgNNN321 2-5 2-10 一半径为 R 的半球形碗，内外表光滑，碗口向上固定于桌面上。一质量为 m 的小球正以角速度沿碗的内面在水平面上作匀速率圆周运动。求小球的运动水平面距离碗底的高度。分析 小钢球沿碗内壁作圆周运动，其向心力是由内壁对它的支承力的分力提供的，而支承力的方向始终与该点内壁相垂直

8、，显然，不同的角速度对应不同大小和方向的支承力。解 设小球的运动水平面距碗底的高度为 h，小球受力如下图，那么 mgNsin rmN2cos RhR sin Rrcos 由以上四式得 RgRh21 2-11 自动步枪连发时每分钟射出 120 发子弹，每颗子弹的质量为 m7.90g，出口速率为 735sm，求射击时(以分钟计)抢托对肩的平均压力。解 取t时间之内射出的子弹为研究对象，作用在子弹上的平均力为N，根据动量定理得 ptN 所以 N6.117351090.7220601203mvttvmtpN 故枪托对肩部的平均压力为 N6.11 NN 2-12 水力采煤是利用高压水枪喷出的强力水柱冲击

9、煤层。设水柱直径为 D=30mm，水速 v=56sm，水柱垂直射到煤层外表上，冲击煤层后速度变为零。求水柱对煤层的平均冲力。解 取长为 dx 的一段水柱为研究对象，设它受到的煤层的作用力为N，根据动量定理 ptNdd 所以 2224d2d0ddvDtvDxtpN N1022.2561014103032323 故水柱对煤层的平均冲力 N1022.23NN mgrNhR2-6 2-13 F30+4t 的力作用在质量为 10kg 的物体上，求：(1)在开始两秒钟内，此力的冲量是多少?(2)要使冲量等于 300sN，此力作用的时间为多少?(3)假设物体的初速度为 10 sm，方向与 F 相同，在 t=

10、6.86s 时，此物体的速度是多少?解 根据冲量定义 200230d430dtttttFItt(1)开始两秒钟此力的冲量 sN6822230230222ttI(2)当sN300I时 3002302 tt 解得 s86.6t(3)当s86.6t时，sN300I，根据动量定理 0mvmvpI 因此 sm401010103000mmvIv 2-14 质量为 m 的质点，以不变速率 v 沿图示三角形 ABC 的水平光滑轨道运动。求质点越过角 A 时，轨道作用于质点冲量的大小。解 如下图，质点越过 A 角时动量的改变为 12vvpm 由图知p的大小 mvmvp360sin20 根据动量定理 mvpI3

11、2-15 质量为 m 的质点在 xOy 平面内运动，其运动方程jirtbtasincos，试求：(1)质点的动量；(2)从 t0 到2t这段时间内质点受到的合力的冲量；(3)在上述时间内，质点的动量是否守恒?为什么?解 质点的速度 jirvtbtatcossindd (1)(1)质点的动量 jivptbtammcossin(2)由(1)式得0t时，质点的速度 mv2mv1pA2-7 jvb0 2t时，质点的速度为 jjivbba2cos2sint 根据动量定理 00tmvmvpI 解法二：jiaFjivajirvtmbwtmamtbwtattbtatsincossincosddcossindd

12、2222 0dsincosd202220ttmbwtmatjiFI (3)质点的动量不守恒，因为由第一问结果知动量随时间 t 变化。2-16 将一空盒放在台秤盘上，并将台秤的读数调节到零，然后从高出盒底 h 处将石子以每秒 n 个的速率连续注入盒中，每一石子的质量为 m。假定石子与盒子的碰撞是完全非弹性的，试求石子开始落入盒后 t 秒时，台秤的读数。解 t 秒钟后台秤的读数包括下面两局部，一局部是已落入盒中的石子对称盘的压力1N，另一局部是正下落的石子对秤的冲力2N，显然 nmgtN 1 取t时间下落的石子为研究对象，设它们所受到的平均冲力为N，根据动量定理 ghtnmtvnmptN2002

13、所以 ghnmN22 故t时间下落的石子对称的冲力 ghnmNN222 因此秤的读数为 ghnmnmgtNNN221 2-17 一质点的运动轨迹如下图。质点的质量为 20g，在 A、B 两位置处的速率都是20sm，Av与 x 轴成045角，Bv与 y 轴垂直，求质点由 A 点运动到 B 点这段时间内，作用在质点上外力的总冲量。2-8 解 由题意知，质点由 A 点到 B 点动量的改变为 smkg683.02220102020102045cos330ABxmvmvp smkg283.02220102045sin030Aymvp 根据动量定理，作用在质点上的外力的冲量 xxpI yypI 所以 sN

14、739.0283.0683.0222y2x2y2xppIII 冲量与 x 轴之间的夹角 0 xg5.202683.0283.0arctanarctanII 2-18 假设直升飞机上升的螺旋浆由两个对称的叶片组成，每一叶片的质量 m136kg，长 l=3.66m。当它的转速 n=320minr时，求两个叶片根部的张力(设叶片是均匀薄片)。解一 设叶片的根部为原点 O，作径向 Or 轴，在叶片上距 O 点为 r 处取一线元rd，那么rmdd，其两边所受的张力如下图。根据圆周运动沿径向的动力学方程，有 rrlmmrTTTddd22 即 rrlmTdd2 对上式积分，并考虑到叶片的外端 r 趋近于 l

15、 时，张力0T，那么 lrTrrlmTdd20 因此距 O 点为 r 处叶片中的张力为 222222222rllmnrllmT 式中负号说明 T 指向 O 点。取 r=0，代入题中所给数据，得叶片根部张力 N1079.225220lmnT 解二 任意时刻 t 叶片的动量 mlnlmnrlmrnrlmrmvpll602602d602dd00t 2-9 经过 dt 时间，叶片动量的改变 tnptpppd602dddttt 叶片根部所受的作用力 mlnnptpF222t602602ddN1079.266.31366032025222 2-19 如下图，砂子从 h0.8m 处下落到以0v3sm的速率沿

16、水平向右运动的传输带上，假设每秒钟落下 100kg 的砂子，求传输带对砂子作用力的大小和方向。解 如下图，设t时间内落下的砂子的质量为m，那么m的动量改变 10vvpm 显然有 ghv21 由图可知 20212021vvmmvmvp 根据动量定理 pFt 所以 2020212vghtmvvtmtpF N49738.08.921002 2-20 矿砂从传输带 A 落到另一传输带 B，其速度大小为1v4sm，2v2sm方向如下图。设传输带的运送量tm 2000hkg，求矿砂作用在传输带 B 上的力的大小和方向。解 取t时间内落下的矿砂m为研究对象，建立如下图的坐标系，其动量的改变为 2211112

17、2xcossinsincosvvmmvmvp mv1pmv00yx2-10 22111122ysincoscossinvvmmvmvp 根据动量定理 pFt xxptF yyptF 所以 N1079.315cos230sin436002000cossin2002211xxvvtmtpF N21.230cos415sin236002000cossin001122yyvvtmtpF 故矿砂作用在传输带 B 上的力 N22.21079.311.22322y2xFFF 与竖直方向的夹角 03yx111.21079.3arctgarctgFF 2-21 质量为 m 的质点，当它处在 r=-2i+4j+6

18、k 的位置时的速度 v=5i+4j+6k，试求其对原点的角动量。解 质点对原点的角动量为 vrprLm )2842(645642kjkjimm 2-22 一质量为 m2200kg 的汽车 v=60hkm的速率沿一平直公路行驶。求汽车对公路一侧距公路为 d50m 的一点的角动量是多大?对公路上任一点的角动量又是多大?解 根据角动量的定义式vrLm(1)smkg1083.150360010602200sin263mvdrmvL(2)对公路上任一点 rv，所以 0L 2-23 某人造地球卫星的质量为 ml802kg，在离地面 2100km 的高空沿圆形轨道运行。试求卫星对地心的角动量(地球半径610

19、40.6地Rm)。解 设卫星的速度为 v，地球的质量为 M，那么 hRvmhRMmG地地22 (1)又 gRMG地 (2)2-11 联立两式得 地地RhRgv 卫星对地的角动量 地地地hRgmvhRmL 6661040.61010.21040.68.91802 smkg1005.1214 2-24 假设将月球轨道视为圆周，其转动周期为 27.3d，求月球对地球中心的角动量及面积速度(221035.7月mkg，轨道半径 R=81084.3m)。解 设月球的速度为v，月球对地球中心的角动量为L，那么 TRv/2 TRmRvmL2月月 3600243.2714.32)1084.3(1035.7282

20、2/smkg1089.2234 月球的面积速度为/sm1096.1/2112TRv面 2-25 氢原子中的电子以角速度srad1013.46在半径10103.5rm的圆形轨道上绕质子转动。试求电子的轨道角动量，并以普朗克常数 h 表示之(sJ1063.634h)。解 电子的轨道角动量 sJ106.11006.11013.4103.5101.99426210312mrL 2-26 海王星的轨道运动可看成是匀速率圆周运动，轨道半径约为km1059R，绕太阳运行的周期为 T=165 年。海王星的质量约为kg100.126m，试计算海王星对大阳中心的角动量的大小。解 海王星对太阳中心的角动量 mRvL

21、 TRv2 联立两式得到 smkg1002.336002436516510100.52100.12242239262TRmL 2-12 2-27 质量为 m 的质点开始处于静止状态，在外力 F 的作用下沿直线运动。TtFF2sin0，方向与直线平行。求：(1)在 0 到 T 的时间内，力 F 的冲量的大小；(2)在 0到2T时间内，力 F 冲量的大小；(3)在 0 到2T时间内，力 F 所作的总功；(4)讨论质点的运动情况。解由冲量的定义12dtttFI，在直线情况下，求冲量I的大小可用代数量的积分，即 12dtttFI(1)从 t0 到 t=T，冲量的大小为：TtFI01dTTTtTFtTt

22、F00002cos2d2sin=0 (2)从 t=0 到 t=T/2，冲量的大小为 00000022222cos2d2sindTFTtTFtTtFtFITTT(3)初速度00v，由冲量定理 0mvmvI 当 t=T/2 时，质点的速度mTFmIv0 又由动能定理，力 F 所作的功 mFTmFmTmvmvmvA220222202220222212121 (4)质点的加速度)/2sin()/(0TtmFa，在 t=0 到 t=T/2 时间内，a0，质点作初速度为零的加速运动，t=T/2 时，a=0，速度到达最大；在 t=T/2 到 t=T 时间内，a0，故质点作减速运动，t=T 时 a=0，速度到

23、达最小，等于零；此后，质点又进行下一周期的相似运动。总之，质点作速度方向不变的变速直线运动。2-28 角动量为 L，质量为 m 的人造地球卫星，在半径为 r 的圆形轨道上运行，试求其动能、势能和总能量。解 将人造地球卫星看作质点，因为卫星作圆周运动，所以vr，由vrLm知，rmvL rmLv 所以卫星的动能 mrLrmLmmvE2222k212121 选无穷远处为势能零点，由牛顿运动定律得：22nrGMmrvmF 2-13 所以 rGMmmvE2212k 又 rGMmEp 所以 22kp2mrLEE 所以 22pk2mrLEEE 2-29 一质量为1m与另一质量为2m的质点间有万有引力作用。试

24、求使两质点间的距离由1x增加到dxx1时所需要作的功。解 万有引力 0221rFrmmG 两质点间的距离由 x 增加到dxx1时，万有引力所作的功为 112122111dd1111xdxmGmrmmGAdxxdxxrrF 故外力所作的功 dxxdmGmdxxmGmAAdxx1121112111d11rF 此题也可用功能原理求：外pEEA 2-30 设两粒子之间的相互作用力为排斥力，其变化规律为2rkf，k 为常数。假设取无穷远处为零势能参考位置，试求两粒子相距为 r 时的势能。解由势能的定义知 r 处的势能pE为:rrrrrkrfEddd3prf22221rkrkr 2-31 设地球的质量为

25、M，万有引力恒量为0G，一质量为 m 的宇宙飞船返回地球时，可认为它是在地球引力场中运动(此时飞船的发动机已关闭)。求它从距地心1R下降到2R处时所增加的动能。解 由动能定理，宇宙飞船动能的增量等于万有引力对飞船所作的功，而此功又等于这一过程中地球与飞船系统势能增量的负值，即：2-14 212101020pk)()(RRRRMmGRMmGRMmGEE 2-32 双原子中两原子间相互作用的势能函数可近似写成 612pxbxaxE，式中 a、b为常数，x 为原子间距，两原子的势能曲线如下图。(1)x 为何值时 0pxE?x 为何值时 xEp为极小值?(2)试确定两原子间的作用力；(3)假设两原子中

26、有一个保持静止，另一个沿 x 轴运动，试述可能发生的运动情况。解(1)当 xEp=0 时，有：0612xbxa 即 bax 6 或 016x 故 0)(p161）（时，或xExbax pE(x)为极小值时，有 0d)(dpxxE 即 0612713xbxa 所以 26121xbax或(2)设两原子之间作用力为 xf，那么 )(grad)(pxExf 在一维情况下，有 713p612d)(d)(xbxaxxExf(3)由原子的受力情况可以看出可能发生的运动情况为:当 x0，它们互相排斥，另一原子将远离；当 xx2 时 f(x)0，它们又互相吸引，另一原子在远离过程中减速，直至速度为零，然后改变方

27、向加速靠近静止原子，再当 xx2 时，又受斥力，逐渐减速到零，原子又将远离。如此循环往复。假设开始时两原子离得很远，那么 f(x)趋于零，两原子互不影响。2-33 两 核 子 之 间 的 相 互 作 用 势 能，在 某 种 准 确 程 度 上 可 以 用 汤 川 势2-15 000prrerrErE来表示，式中0E约为 50MeV，0r约为m105.115。(1)试求两个柱子之间的相互作用力 F 与它们之间距离 r 之间的函数关系；(2)求0rr 时相互作用力的值；(3)求02rr，05rr，010rr 时作用力的值，并通过比拟解释什么是短程力。解(1)0000000p11dddrrrrerrrrEerrErrrdErf rf0 为引力 (2)当0rr 时，N1092.32223001000rEerEF (3)当02rr 时，N1054.083431212300202000002FereEerrrrEF 当05rr 时，0405050000052532561515FereEerrrrEF 当010rr 时，070100100000052001110011110110FereEerrrrEF 由以上的计算结果知，当 r 增大时，F 值迅速减小，即 F 只在 r 比拟小的范围内(数量级均为m1014)有明显作用，这种力就叫做短程力。