三角函数总复习题解答.pdf

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1、 三角函数总复习题解答：A 组 1 解：(1)kkS,24Z，49,4,47(2)kkS,232Z，310,34,32(3)kkS,2512Z，512,52,58(4)kkS,2Z，2，0，2 评述：这一题目要求我们首先要准确写出集合S，并判断k可取何值时，能使集合S中角又属于所要求的范围 2 解：由lr得29151031518054l 4430292rlC cm 101.1413515292121lrS cm2 答：周长约 44 cm，面积约 1110 cm2 评述：这一题需先将 54换算为弧度数，然后分别用公式进行计算 3(1)sin40；(2)cos50；(3)tan80；(4)tan(

2、3)0 评述：先判断角所属象限，然后确定其三角函数的符号.,041cos415sin1cossin41cos:.422为第一或第四象限角知由得由解 当为第一象限角时，sin415，tan15；当为第四象限角时，sin415，tan15 评述：先由已知条件确定角所属象限，然后结合同角三角函数基本关系式，求出另外的三角函数值 5 解：由 sinx2cosx，得 tanx2 x为第一象限或第三象限角 当x为第一象限角时 tanx2，cotx21，cosx55，secx5，sinx552，cscx25 当x为第三象限角时 tanx2，cotx21，cosx55，secx5，sinx552，cscx25

3、 110sin10cos10sin10cos10sin10cos10cos10sin170sin10cos)10cos10(sin170cos110cos10cos10sin21:.622解 评述：注意灵活使用同角三角函数的基本关系式的变形式，即“1”的妙用，这也是三角函数式化简过程中常用的技巧之一，另外，注意及时使用诱导公式和三角函数图象和性质：当0,4)时，sincos 7 解：sin4sin2cos2sin2(sin21)cos2(1cos2)(cos2)cos2 cos2cos4cos2cos4 评述：注意使用 sin2cos21 及变形式 8 证明：(1)左边2(1sin)(1cos

4、)2(1sincossincos)22sin2cossin2 右边(1sincos)21(sincos)2 12(sincos)(sincos)2 12sin2cossin2cos22sincos 22sin2cossin2 左边右边 即原式得证(2)左边sin2sin2sin2sin2cos2cos2 sin2(1sin2)cos2cos2sin2 sin2cos2cos2cos2sin2 cos2(sin2cos2)sin21右边 原式得证 评述：三角恒等式的证明一般遵循由繁到简的原则 9 解：(1)tan352tan4cossin352cossin4sin3cos5cos2sin4 将

5、tan3 代入得，原式.75(2)sincostancos2tan1033113tan1122(3)(sincos)212sincos1258103 评述：注意挖掘已知条件与所求结论中的三角函数的关系 10 解：(1)sin625cos325tan(425)sin6cos3tan4=012121(2)sin2cos3tan410777 评述：注意灵活应用诱导公式化简后再求值 11 解：(1)sin()21sin sin21 cos(2)cos23sin12 当为第一象限时，cos23 当为第二象限时，cos23(2)tan(7)tan(7)tan 当为第一象限时，tan33 当为第二象限时，t

6、an33 评述：要注意讨论角的范围 12 解：(1)sin37821sin182103148(2)sin(879)sin(159)sin2103584(3)sin301409 评述：要用诱导公式将其转化为锐角三角函数值问题 13 解：设 0 x2 x 67 43 45 34 47 611 sinx 21 22 22 23 22 21 cosx 23 22 22 21 22 23 tanx 33 1 1 3 1 33 14 解：cos419且23 sin4140，tan940 tan(4)493194019401tan1tan1 评述：仔细分析题目，要做到有的放矢 15 解：sin55，为锐角

7、cos552 又sin1010，为锐角 cos10103 cos()coscossinsin22 又0，4 说明：若先求出 sin()22，则需否定43 评述：一般地，若所求角在(0，)上，则一般取此角的余弦较为简便；若所求角在(2，2)上，则一般取此角的正弦较为简便 16(1)证明：4 BA tan(AB)tan41BABAtantan1tantan 即：tanAtanB1tanAtanB tanAtanBtanAtanB1(1tanA)(1tanB)1tanAtanBtanAtanB(1tanA)(1tanB)2(2)证明：由(1tanA)(1tanB)2 得 tanAtanB1tanAt

8、anB 又0A2，0B2 tanAtanB0 1tantan1tantanBABA 即 tan(AB)1 又0AB AB4(3)解：由上述解答过程可知：两锐角之和为直角之半的充要条件是(1tanA)(1tanB)2 不可以说“两个角A、B之和为4的充要条件是(1tanA)(1tanB)2”因为在(2)小题中要求A、B都是锐角 17 证明：设正方形的边长为 1 则 tan21，tan31 tan()1tantan1tantan 又0，4 评述：要紧扣三角函数定义 18 证明：0，2 且 tan211，tan511，tan811 0，4 又tan()1 043 45 19 解：(1)由 cos25

9、3 得532cos)cos)(sincos(sincossin222244(2)6255271)247(121tan121cos22cos222xxx(3)由 sincos32 得(sincos)2sin22sincoscos21sin294 sin295(4)(sincos)212sincos169289(sincos)212sincos16949 又42 sincos1317 sincos137 sin1312，cos135 20 解：设ABC的底为a，则腰长为 2 sin2A4122aa cos2A4152215aa sinA2sin2Acos2A815 cosA2cos22A18151

10、87 tanA715 21 证明：Psinsin(2)sincos21sin2 22 证明：由题意可知：sin2rRrR cos2rRRrrRrRrR2)(22 sin2sin2cos22rRrRrRRr22)()(4rRRrrR 23 解：由教科书图 412，可知：当为某一象限角时，有：sinMP，cosOM MPOMOP1，sincos1 当的终边落在坐标轴上时，有sincos1 因此，角的正弦绝对值与余弦绝对值之和不小于 1 评述：要注意数形结合这种重要的数学思想的利用 24 解：(1)由 1tanx0，得 tanx1 xk4且xk2，kZ 函数yxtan11的定义域为：xxk4且xk2

11、，kZ(2)由2xk2得x2k，kZ ytan2x的定义域为xx2k，kZ 25 解：(1)由 cos2x15，得 cosx5.1 又5.11，1 cos2x15 不能成立(2)由 sinxcosx2sin(x4)2，2 sinxcosx25 不能成立(3)当x4时，tanx1 tanxxtan12 有可能成立(4)由 sin3x4得 sinx341，1 sin3x4成立 评述：要注意三角函数的有界性 26 解：(1)当 sinx1 时，即x2k2，kZ 时,y2xsin取得最大值 y2xsin的最大值为21 使y取得最大值的x的集合为xx22k，kZ 当 sinx1 时，即x22k时 y2x

12、sin取得最小值 y2xsin的最小值为21 使y取得最小值的x的集合为xx22k，kZ(2)当 cosx1 即x(2k1)时,y32cosx取得最大值,y32cosx的最大值为 5 使y取得最大值的x的集合为xx2k，kZ 当 cosx1，即x2k时 y32cosx取得最小值 y32cosx的最小值为 1 使y取得最小值的x的集合为xx2k，kZ 27 解：(1)ysinx3cosx(xR)2sin(x6)，ymax2，ymin2(2)ysinxcosx2sin(x4)，(xR)ymax2，ymin=2 28 解：当 0 x2时，由图象可知：(1)当x23，2时，角x的正弦函数、余弦函数都是

13、增函数(2)当x2，时，角x的正弦函数、余弦函数都是减函数(3)当x0，2时，角x的正弦函数是增函数，而余弦函数是减函数(4)当x，23时，角x的正弦函数是减函数，而余弦函数是增函数 29 解：(1)由f(x)(x)2cos(x)x2cosxf(x)得yx2cosx，xR 是偶函数(2)由y2sinx2sin(x)得y2sinx，xR 是偶函数(3)由ytanx2tan(x)2 得ytanx2，xk2(kZ)是偶函数(4)由yx2sinx(x)2sin(x)得yx2sinx，xR 是奇函数 30(1)y21sin(3x3)，xR (2)y2sin(x4)，xR(3)y1sin(2x5)，xR

14、(4)y3sin(63)，xR 31(1)略(2)解：由 sin(x)sinx，可知函数ysinx，x0，的图象关于直线x2对称，据此可得出函数ysinx，x2，的图象；又由 sin(2x)sinx，可知函数ysinx，x0，2的图象关于点(，0)对 称，据此可得出函数ysinx，x，2的图象 (3)解：把y轴向右(当0时)或向左(当0时平行移动个单位长度，再把x轴向下(当k0 时)或向上(当k0 时平移k个单位长度，就可得出函数ysin(x)k的图象 32 解：(1)ysin(5x6)，xR 振幅是 1，周期是52，初相是6 把正弦曲线向左平行移动6个单位长度，可以得出函数ysin(x6)，

15、xR 的图象；再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的51倍(纵坐标不变)，就可得出函数ysin(5x6)，xR 的图象(2)y2sin61x，xR 振幅是 2，周期是 12，初相是 0 把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的 6 倍(纵坐标不变)，可以得出函数ysin61x，xR 的图象；再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，就可得出函数y2sin61x，xR 的图象 33 解：(1)由2sin(4)，0，）得0 时，2 cm 即：小球开始振动时的位置在离平衡位置2 cm 处(2)当 sin(4)1 时，max2sin(4)1 时，max2 即：小球最高、最低点与平

16、衡位置的距离都是 2 (3)由T2得 T2s 即：经过 2s，小球往复振动一次(4)f211T 即：小球每 1 s 往复振动21次 34 解：(1)由 sinx0，x0，2 得x0，2(2)由 cosx06124，x0，2 得x071，129或 arccos(06124)，2arccos(06124)(3)由 cosx0，x0，2 得x2，23(4)由 sinx01011，x0，2 得x003，197或 arcsin01011，arcsin01011(5)由 tanx4，x0，2 得x058，158或arctan(4)，2arctan(4)(6)由 cosx1，x0，2 得x0，2 B 组 1

17、 解：由已知是第四象限角 得 2k232k2，(kZ)(1)k432k 2的终边在第二或第四象限(2)32k2332k32 即：90k12033090k120 3的终边在第二、第三或第四象限(3)4k324k4 即：2的终边在第三或第四象限，也可在y轴的负半轴上 2 解：由题意知5215lrSrl 解之得25弧度 答：扇形中心角度数约为 143 3 解：cossin1sin1sincos1cos1cos2222sin)cos1(sincos)sin1(cossincos1sincossin1cos(cossinsincos1sin)cossin1(为第二象限角)4 解：由 tan31(1)16

18、5)31(5231tan52tansincos5cos2sin 3101tan2tan1)1tan2(tan111)1tan2(cos1costancos21coscossin21)2(222222 5 证明：左边cossin1cossin2sin1 cossin1cossincoscossin2sin22 cossin1)cos(sin)cos(sin2 cossin1)cossin1()cos(sin sincos右边 6 证明：xcosa，ycotb，(a0，0)1cossin1cossincos1cotcos222222222222222yyxxbyax 7 证明：(1)左边AAAAA

19、AAAA222222222tancossinsincos1cossin1cot1tan1 右边AAAAAAAAA2222tan)cossin()sincos1cossin1()cot1tan1(222)cot1tan1(cot1tan1AAAA(2)左边右边ABBABABABABABABAAABBBBAAABBAcottantantancoscossinsinsinsin)sin(coscos)sin(sincossincoscossincossincotcottantan 8 证明：由 tansina，tansin 得(22)2()2()2(2sin)2(2tan)216sin2tan2 1

20、6ab16(tansin)(tansin)16(tan2sin2)16sin2(2cos11)16sin222coscos116sin2tan2(22)216 9 证明：由 3sinsin(2)得 3sin()sin()3sin()cos3cos()sin sin()coscos()sin 2sin()cos=4cos()sin tan()2tan 评述：等式两边主要是角的差异，应从变换条件中的角入手 10 解：由已知 cos(4x)35，1217x47 得：cos2(4x)2cos2(4x)1cos(22x)sin2x257 sin2x257，sin(4x)54 75285354257)4t

21、an(2sintan1tan12sintan1sin22sin2xxxxxxxx 11解：(1)当 2k2x32k，(kZ)即k6xk32时 y3cos(2x3)是减函数(2)当 2k23x42k23，(kZ)即1232kx432k时 ysin(3x4)是减函数 12 解：由01tan0)32cos(xx 得12kx4k或4kx125k(kZ)函数1tan)32cos(lgxxy的定义域为：(12k，4k)(4k，125k)，kZ 13解：ysin2x2sinxcosx3cos2x(xR)1sin2x2cos2x2sin2xcos2x 22sin(2x4)(1)周期T22(2)当 2k22x42k2，kZ 即83kx8k时，原函数为增函数 函数在83k，8k上是增函数(3)图象可以由函数y2sin2x，xR 的图象向左平行移动8个单位长度，再向上平行移动 2 个单位长度而得到 14 证明：由 sinsin(2)得 sin()=sin()即 sin()coscos()sin sin()coscos()sin(1)sin()cos(1+)cos()sin 1，2k，2k(kZ)tan()mm11tan 评述：此方法是综合法，利用综合法证明恒等式时，必须有分析的基础，此证法是观察到结论中的角构造：()；2()，证明时有的放矢，顺利完成证明