【志鸿优化设计】高考数学一轮复习第七章不等式7.4二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题教学案.pdf

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1、 7.4 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 考纲要求 1会从实际情境中抽象出二元一次不等式组 2了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组 3会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决 1二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的_ 2二元一次不等式表示平面区域 在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线AxByC0 分成三类：(1)满足AxByC_0 的点；(2)满足AxByC_0 的点；(3)满足AxByC_0 的点 3坐标平面内的点与

2、方程式AxByC0 的关系(1)点在直线l上点的坐标使AxByC0.(2)直线l同一侧的点点的坐标使式子AxByC值具有_的符号 (3)点M，N在直线l两侧M，N两点的坐标使式子AxByC值的符号_，即一侧都_，另一侧都_(4)二元一次不等式所表示区域的确定方法在直线l的某一侧取一特殊点，检测其_是否满足二元一次不等式，如果满足，则这点_区域就是所求的区域；否则l的_就是所求的区域 4线性规划中的基本概念 名称 定义 目标函数 欲求_的函数，叫做目标函数 约束条件 目标函数中的_要满足的不等式组 线性目标函数 若目标函数是关于变量的_函数，则称为线性目标函数 线性约束条件 如果约束条件是关于变

3、量的_不等式(或等式)，则称为线性约束条件 可行解 满足线性约束条件的解_称为可行解 可行域 所有可行解组成的_叫做可行域 最优解 使目标函数达到_或_的点的坐标 线性规划问题 在线性约束条件下，求线性目标函数的_或_问题 1能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是()A.0y12xy20 B.y12xy20 C.0y12xy20 x0 D.y1x02xy20 2已知点(3，1)和(4，6)在直线 3x2ya0 的两侧，则a的取值范围是()A(24,7)B(7,24)C(，7)(24，)D(，24)(7，)3下面给出的四个点中，到直线xy10 的距离为22，且位于 xy10表示的平面区域内的点是

4、()A(1,1)B(1,1)C(1，1)D(1，1)4(2012 安徽高考)若x，y满足约束条件 x0，x2y3，2xy3，则zxy的最小值是()A3 B0 C32 D3 5若实数x，y满足 x3y30，x0，y0，则该不等式组表示的区域面积为_，zy2x1的取值范围是_ 一、二元一次不等式(组)表示平面区域【例 1】(1)画出不等式组 x3，2yx，3x2y6，3yx9表示的平面区域；(2)如图，在ABC中，A(0,1)，B(2,2)，C(2,6)，写出ABC区域所表示的二元一次不等式组 方法提炼 二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域 注意不等式中不等号有无等号，

5、无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点 请做演练巩固提升 3 二、求目标函数的最值【例 21】(2012 四川高考)若变量x，y满足约束条件 xy3，x2y12，2xy12，x0，y0，则z3x4y的最大值是()A12 B26 C28 D33【例 22】一元二次方程x2ax2b0(a，bR)有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，求：(1)点(a，b)对应的区域的面积；(2)b2a1的取值范围 方法提炼 求目标函数的最大值或最小值，必须先求出准确的可行域，令目标函数等于 0，将其对应的直线平行移动，最先

6、通过或最后通过的顶点便是最优解 特别强调(1)线性目标函数zaxby与y轴交点为0，zb，zbzbb(线性目标函数在y轴上的截距)故对b的符号一定要注意：当b0 时，当直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z值最大，在y轴上的截距最小时，z值最小；当b0 时，当直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z值最小，在y轴上的截距最小时，z值最大 (2)如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点 请做演练巩固提升 2,4 三、线性规划的实际应用【例 3】某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个，生产一个卫兵玩具需 5 分钟

7、，生产一个骑兵玩具需 7 分钟，生产一个伞兵玩具需 4分钟，已知总生产时间不超过 10 小时若生产一个卫兵玩具可获利润 5 元，生产一 个骑兵玩具可获利润 6 元，生产一个伞兵玩具可获利润 3 元(1)用每天生产的卫兵玩具个数x与骑兵玩具个数y表示每天的利润w(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？方法提炼 线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：(1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线l；(2)

8、平移将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；(3)求值解方程组求出A点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值 请做演练巩固提升 6 数形结合求解非线性目标函数的最值问题【典例】(12 分)变量x，y满足 x4y30，3x5y250，x1，(1)设zyx，求z的最小值；(2)设zx2y2，求z的取值范围；(3)设zx2y26x4y13，求z的取值范围 分析：(x，y)是可行域内的点(1)zy0 x0可以理解为点(x，y)与点(0,0)连线的斜率(2)x2y2可以理解为点(x，y)与点(0,0)连线距离的平方(3)x2y26x4y13(x3)2(y2)2可以理解为点(x，y)与(3,2)

9、的距离的平方结合图形确定最值 规范解答：由约束条件 x4y30，3x5y250，x1作出(x，y)的可行域如图所示 由 x1，3x5y250，解得A1，225.由 x1，x4y30，解得C(1,1)由 x4y30，3x5y250解得B(5,2)(4 分)(1)zyxy0 x0，z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率 观察图形可知zminkOB25.(6 分)(2)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方 结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|2，dmax|OB|29.2z29.(9分)(3)zx2y26x4y13(x3)2(y2)2的几何意义是可行域上的点到

10、点(3,2)的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到(3,2)的距离中，dmin1(3)4，dmax3522228.16z64.(12 分)答题指导：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义 (3)本题错误率较高出错原因是，很多学生无从入手，缺乏数形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题 1(2012 课标全国高考)已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在ABC内部，则zxy的取值范围是()A(1 3，2)B(0,2)C(31,2)D(0,1

11、 3)2(2012 辽宁高考)设变量x，y满足 xy10，0 xy20，0y15，则 2x3y的最大值为()A20 B35 C45 D55 3不等式组 x0，y0，xy1所表示的平面区域的面积为_ 4已知x，y满足 y20，x30，xy10，则x2y2的最大值为_ 5已知实数x，y满足 y1，y2x1，xym，如果目标函数zxy的最小值为1，则实数m等于_ 6已知某著名品牌汽车零件生产企业生产甲、乙两种汽车配件，已知生产每万件甲种配件要用A原料 3 吨，B原料 2 吨；生产每万件乙种配件要用A原料 1 吨，B原料 3 吨，销售每件甲配件可获得利润 5 元，每件乙配件可获得利润 3 元已知该企业

12、在一年内消耗A原料不超过 13 吨，B原料不超过 18 吨，那么该企业在一年内可获得的最大利润是_ 参考答案 基础梳理自测 知识梳理 1解集 2(1)(2)(3)3(2)相同(3)相反 大于 0 小于 0(4)坐标 所在的 另一侧 4最大值或最小值 变量x，y 一次 一次(x，y)集合 最大值 最小值 最大值 最小值 基础自测 1C 解析：由图可看出，阴影部分满足 0y1，1x0.点(0,0)在直线 2xy20 的下方，且(0,0)点坐标代入方程左端有 20020，阴影部分符合 2xy20.2B 解析：点(3，1)和(4，6)在直线 3x2ya0 的两侧，则(92a)(1212a)0，即(a7

13、)(a24)0.7a24.3C 解析：经验证(1,1)，(1,1)不在 xy10所表示的平面区域内，而(1，1)，(1，1)满足 xy10，又点(1，1)到直线xy10 的距离d|111|222，(1，1)到直线xy10 的距离d|1(1)1|23 22，(1，1)满足条件 4A 解析：作出可行域如图所示，令z0，得l0：xy0，平移l0，当l0过点A(0,3)时满足z最小，此时zmin033.5.32(，21，)解析：在坐标系中画出可行域，如下图阴影部分所示，S123132，zy2x1即为可行域中的点与点P(1，2)连线的斜率，z0(2)311 或z0(2)012.考点探究突破【例 1】解：

14、(1)不等式x3 表示x3 左侧点的集合 不等式 2yx表示x2y0 上及其左上方点的集合 不等式 3x2y6 表示直线 3x2y60 上及其右上方点的集合 不等式 3yx9 表示直线 3yx90 右下方点的集合 综上可得：不等式组表示的平面区域如图所示 (2)由两点式得直线AB，BC，CA的方程并化简为：直线AB：x2y20，直线BC：xy40，直线CA：5x2y20.原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为 x2y20，xy40，5x2y20.【例 21】C 解析：作出可行域如图五边形OABCD边界及其内部，作直线l0：3x4y0，平移直线l

15、0经可行域内点B时，z取最大值 由 x2y12，2xy12，得B(4,4)，于是zmax344428，故选 C.【例 22】解：方程x2ax2b0 的两根在区间(0,1)和(1,2)上的几何意义分别是：函数yf(x)x2ax2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内，由此可得不等式组 f(0)0，f(1)0 b0，a2b10.由 a2b10，ab20，解得A(3,1)由 ab20，b0，解得B(2,0)由 a2b10，b0，解得C(1,0)，在如图所示的aOb坐标平面内，满足约束条件的点(a，b)对应的平面区域为ABC(不包括边界)(1)ABC的面积为SABC12|BC|1

16、 3，当yxz过点B时z取到最大值，此时zmax2，综合可知z的取值范围为(1 3，2)2D 解析：作出可行域如图所示 令z2x3y，则y23x13z，要使z取得最大值，则需求直线y23x13z在y轴上的截距的最大值，移动直线l0：y23x，可 知当l0过点C(5,15)时，z取最大值，且zmax2531555，于是 2x3y的最大值为 55.故选 D.3.12 解析：满足 x0，y0，xy1的点(x，y)的可行域如图所示，SAOB121112.425 解析：作出如图所示的可行域 x2y2表示可行域内的点到原点的距离的平方，易知在点A(3，4)处取最大值(3)2(4)225.55 解析：画出可行域(如图中阴影部分所示)由于zxy，所以yxz，z值越小，直线截距越大，因此当z取得最小值1 时，其方程为yx1.由方程组 yxm，y2x1，解得A点的坐标为m13，2m13，代入直线方程yx1，得m5.627 万元 解析：设生产甲种配件x万件，生产乙种配件y万件，则有关系：A原料 B原料 甲种配件x万件 3x 2x 乙种配件y万件 y 3y 有 x0，y0，3xy13，2x3y18，(x，yN*)目标函数z5x3y.如图所示，作出可行域，求出可行域边界上各端点的坐标，A133，0，B(0,6)，C(3,4)由图形可知，目标函数在点C(3,4)处取得最大值，最大值为z533427.