【新高考数学专用】专题14分类讨论证明或求函数的单调区间(原卷+解析)-2022年难点解题方法突破.pdf

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1、 专题 14 分类讨论证明或求函数的单调区间（含参）1设函数21()sincos2f xxxxax（1）当12a 时，讨论()f x在(,)内的单调性；（2）当13a 时，证明：()f x有且仅有两个零点 2已知函数2()2ln2(1)f xmxxm x（1）讨论函数()f x的单调区间；（2）当1x 时，求证：2286 ln3521xxxxxx 3已知函数 1 lnf xaxx aR.（1）若1a，求 f x在区间1,ee上的极值；（2）讨论函数 f x的单调性.4已知函数21()xm xxf xe（1）试讨论()f x的单调性；（2）若0m，证明：()lnefxxx 5已知函数()exf

2、xax，a 为非零常数.（1）求 f x单调递减区间；（2）讨论方程 21f xx的根的个数.6已知函数 21ln2fxaxxxb，g xfx.（1）判断函数 yg x的单调性；（2）若0,2.718xe e，判断是否存在实数a，使函数 g x的最小值为 2？若存在求出a的值；若不存在，请说明理由；（3）证明：31233ln12341nnnn.7已知函数 21ln,2fxaxxxb a bR，g xfx.（1）判断函数 yg x的单调性；（2）若0,2.718xe e，判断是否存在实数a，使函数 g x的最小值为 2？若存在求出a的值；若不存在，请说明理由；8已知函数()ln1f xxax a

3、R.（1）讨论函数 f x的单调性.（2）若 2112g xxxaf x，设1212,x xxx是函数 g x的两个极值点，若32a，求证:12152ln28xg xg.9已知函数 2xf xeae x.（1）讨论 fx的单调区间；（2）当0a 时，证明：2lnf xex.10已知函数2()lnf xxaxx.（1）试讨论函数()f x的单调性；（2）对任意0a，满足2()lnf xxaxx的图象与直线ykx恒有且仅有一个公共点，求 k 的取值范围.11设函数223223()3,()33,22aaf xxxax g xaxxa R.（1）求函数 f x的单调区间；（2）若函数23()()()0

4、,222axf xg xxx在0 x 处取得最大值，求 a的取值范围.12已知函数 21ln1fxxaxx（0a）.（1）讨论函数 f x的单调性；（2）若关于x的不等式 1lnxxfxxx在1，上恒成立，求实数a的取值范围.13已知函数 ln2ag xxxx.（1）讨论 g x的单调性；（2）当10ae时，函数 222af xxg xxx在其定义域内有两个不同的极值点，记作1x、2x，且11xx，若m1，证明：112mmx xe.14已知实数0a，函数 22lnf xa xxx，0,10 x.（1）讨论函数 f x的单调性；（2）若1x 是函数 f x的极值点，曲线 yf x在点 11,P

5、x f x 22,Q xf x(12xx)处的切线分别为1l2l，且1l2l在 y轴上的截距分别为1b2b.若12/ll，求12bb的取值范围.15已知函数32()23(1)6()f xxm xmx xR.(1)讨论函数()f x的单调性；(2)若(1)5f，函数2()()(ln1)0f xg xaxx在(1,)上恒成立，求证：2ae.16设 1,54mh xxxx，其中m是不等于零的常数，（1）写出 4hx的定义域；（2）求 h x的单调递增区间；17已知1,12k，函数2()(1)xf xxekx（2.71828e 为自然对数的底数）（1）求函数()f x的单调区间；（2）求函数()f x

6、在0,k上的最大值 18已知函数2()ln(21)f xxaxax（1）若函数()f x在1x 处取得极值，求曲线()yf x在点(2,(2)f处的切线方程；（2）讨论函数()f x的单调性；（3）当0a 时，2()(1)()1g xxf xx，证明：函数()g x有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数 19已知函数 222 lnf xxxax（1）当0a 时，讨论函数 f x的单调性；（2）若函数 f x有两个极值点1 2x x，证明；123ln22fxfx 20（1）已知函数 f（x）=2lnx+1若 f（x）2x+c，求 c的取值范围；（2）已知函数=lnf xxmxm mR.讨论函数 f

7、 x的单调性.21已知函数2()3(6)ln()f xxa xax aR（1）求函数()yf x的单调区间；（2）当1a 时，证明：对任意的20,()352xxf xexx.22设函数 2lnafxxx，323g xxx.（1）讨论函数 f x的单调性；（2）如果对于任意的12123xx，都有 112x f xg x成立，试求a的取值范围.23已知函数21()2ln()2f xxxax aR.（1）讨论函数 f x的单调性；（2）若 f x存在两个极值点1x，2x，求证 123f xf x.24已知函数 xf xeax.（1）讨论 f x的单调性；（2）当1x 时，2fxa xx，求 a的取值

8、范围.25设函数 212af xxax aR，lng xx，F xf xg x.（1）讨论函数 F x的单调性；（2）若4,3a ，121,2xx、，总有 12ln2F xF xat成立，求实数 t的取值范围.26已知函数2()22xf xxxae，其中 e是自然对数的底数，aR.（1）求函数()f x的单调区间；（2）当0,4x时，求函数()f x的最小值.27已知函数 xf xeax，1lng xxx.（1）讨论函数 f x的单调性；（2）若当0 x 时，方程 f xg x有实数解，求实数a的取值范围.28已知函数 212fxx，lng xax.设 h xf xg x（1）试讨论函数 h

9、x的单调性.（2）若对任意两个不等的正数12,x x，都有 12122h xh xxx恒成立，求实数a的取值范围；29已知函数32()21f xxax.（1）讨论()f x的单调性；（2）是否存在a，使得()f x在区间0,1的最小值为1且最大值为 1？若存在，求出a的所有值；若不存在，说明理由.30已知 1ln,f xxa xaRx.（1）讨论 fx的单调性；（2）1x 时，若1k xxex恒成立，求实数 k的取值范围.专题 14 分类讨论证明或求函数的单调区间（含参）1设函数21()sincos2f xxxxax（1）当12a 时，讨论()f x在(,)内的单调性；（2）当13a 时，证明

10、：()f x有且仅有两个零点【答案】（1）在,03或,3上单调递减，在,3或0,3上单调递增；（2）证明见解析.【分析】（1）先求导，根据导数和函数的单调性，结合三角函数的性质即可求出单调区间；（2）先判断出函数为偶函数，则问题转化为()f x在(0,)有且只有一个零点，再利用导数和函数单调性的关系，以及函数零点存在定理即可求出【详解】（1）当12a 时，21()sincos4f xxxxx，11()sincossin(cos)22fxxxxxxxx，令()0fx，解得0 x 或3x，3x，当()0fx时，解得03x或3x，当()0fx时，解得3x 或03x，()f x在(3，0)或(3，)上

11、单调递减，在(,)3或(0,)3上单调递增；（2）()f x的定义域为(,)，2211()()sin()cos()()sincos()22fxxxxaxxxxaxf x，()f x为偶函数，(0)10f，()f x有且仅有两个零点等价于()f x在(0,)有且只有一个零点，()(cos)fxxxa，当1a时，cos0 xa，()0fx恒成立，()f x在(0,)上单调递减，2211()sincos1022faa ，(0)?()0ff，()f x在(0,)上有且只有一个零点，当113a时，令()(cos)0fxxxa，即cos xa，可知存在唯一(0,)2，使得cosa，当(0,)x或(22,2

12、2)xkk时，kN，()0fx，函数()f x单调递增，当(2,22)xkk时，kN，()0fx，函数()f x单调递减，由21tan1a，113a，可得0tan2 2，当kN，22tan2(2)k，2221113(22tan)10(22)(22tan)1(22tan)1022626kfkakka ，()f x在(0,)上有且只有一个零点，综上所述，当13a 时，()f x有且仅有两个零点【点睛】方法点睛：1、利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当 f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论；若可导函数 f(x)在指定的区间 D上单调递增(减)，求参数范围

13、问题，可转化为 f(x)0(或 f(x)0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“”是否可以取到 2、用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.2已知函数2()2ln2(1)f xmxxm x（1）讨论函数()f x的单调区间；（2）当1x 时，求证：2286 ln3521xxxxxx【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析【分析】（1）先求导，分为0m，1m ，1m 和10m 四种情形进行分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出；（2）等价于3226(1ln)23501xxxxx，令

14、3261 ln235h xxxxx，利用当2m 时的结论，根据导数判断 h x与 0的关系，即可证明.【详解】解：()f x的定义域为(0,)，则22(1)1(1)(1)()22(1)22mxm xmxxfxmxmxxx，当0m时，10mx，当(0,1)x时，()0fx，当(1,)x时，()0fx，函数()f x的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)，当0m 时，令()0fx，解得1x 或1xm，当1m 时，2(1)()2?0 xfxx 恒成立，函数()f x的单调递减区间为(0,)，无单调递增区间，当1m 时，101m，当1(0,)xm或(1,)时，()0fx，当1(xm，1)时

15、，()0fx，函数()f x的单调递减区间为1(0,)m或(1,)，单调递增区间为1(m，1)，当10m，11m，当(0,1)x或1(m，)时，()0fx，当1(1,)xm时，()0fx，函数()f x的单调递减区间为(0,1)或1(m，)，单调递增区间为1(1,)m 综上所述：当0m时，函数()f x的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)，当1m 时，函数()f x的单调递减区间为(0,)，无单调递增区间，当1m 时，函数()f x的单调递减区间为1(0,)m，(1,)，单调递增区间为1(m，1)，当10m 时，函数()f x的单调递减区间为(0,1)或1(m，)，单调递增区间为

16、1(1,)m（2）证明：要证2286 ln3521xxxxxx，即证3226(1ln)23501xxxxx，令32()6(1 ln)235h xxxxx，则22()66ln6663(22ln2)h xxxxxxx，由（1），当2m 时，2()22ln2f xxxx，可得()f x的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)，即()h x的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)，()h xh（1）0，()h x在(0,)上单调递增，h（1）6(1 ln1)2 3 50 ，当01x时，()0h x，210 x，当1x 时，()0h x，210 x，3226(1)23501xlnxx

17、xx，即22863521xxlnxxxx【点睛】含有参数的函数单调性讨论常见的形式：（1）对二次项系数的符号进行讨论；（2）导函数是否有零点进行讨论；（3）导函数中零点的大小进行讨论；（4）导函数的零点与定义域端点值的关系进行讨论等.3已知函数 1 lnf xaxx aR.（1）若1a，求 f x在区间1,ee上的极值；（2）讨论函数 f x的单调性.【答案】（1）极小值为0，无极大值；（2）答案见解析.【分析】（1）当1a 时，求得 1xfxx，利用导数分析函数 f x的单调性，由此可求得函数 f x在区间1,ee上的极值；（2）求得 10axfxxx，分0a 和0a 两种情况讨论，分析导数

18、的符号变化，由此可得出函数 f x的单调递增区间和递减区间.【详解】（1）当1a 时，1 lnf xxx，所以，1110 xfxxxx，列表；x 1,1e 1 1,e fx 0 f x 单调递减 极小 单调递增 所以，f x在区间1,ee上的有极小值 10f，无极大值；（2）函数 f x的定义域为0,，11axfxaxx.当0a 时，10ax，从而 0fx，故函数 f x在0,上单调递减；当0a 时，若10 xa，则10ax，从而 0fx；若1xa，则10ax，从而 0fx.故函数 f x在10,a上单调递减，在1,a上单调递增.综上所述，当0a 时，函数 f x的单调递减区间为0,，无单调递

19、增区间；当0a 时，函数 f x的单调递减区间为10,a，单调递增区间为1,a.【点睛】方法点睛：讨论含参数函数的单调性，通常以下几个方面：（1）求导后看函数的最高次项系数是否为0，需分类讨论；（2）若最高次项系数不为0，且最高次项为一次，一般为一次函数，求出导数方程的根；（3）对导数方程的根是否在定义域内进行分类讨论，结合导数的符号变化可得出函数的单调性.4已知函数21()xm xxf xe（1）试讨论()f x的单调性；（2）若0m，证明：()lnefxxx【答案】（1）答案不唯一见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）对函数进行求导得(1)(1)()xxmxmfxe，再对m分三种情况讨论

20、，即0m，0m，0m 三种情况；（2）要证明 ()lnefxxx，只需证明 ()lnefxxx，而ln1xx，因此只需证明1()f xe，再利用函数的单调性，即可得证；【详解】解析：（1）因为(1)(1)()xxmxmfxe，当0m 时，1()xxfxe，当1x 时，()0fx，当1x 时，()0fx，所以()f x在(,1)上单调递增，在(1,)上单调递减；当0m 时，1(1)11(),11xm xxmfxem ，当11,1xm时，()0fx，当1,1(1,)xm 时，()0fx，所以()f x在11,1m单调递增，在1,1,(1,)m单调递减；当0m 时，111m，当11,1xm时，()0

21、fx，当1(,1)1,xm 时，()0fx，所以()f x在11,1m单调递减，在1(,1),1,m单调递增（2）要证明 ()lnefxxx，只需证明 ()lnefxxx，而ln1xx，因此只需证明1()f xe，当0m 时，()xxf xe，由（1）知()f x在(,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，所以max1()(1)f xfe；当0m 时，211()xxm xxxf xeee，故 ()lnefxxx【点睛】利用导数研究含参函数的单调区间，要注意先求导后，再解导数不等式.5已知函数()exf xax，a 为非零常数.（1）求 f x单调递减区间；（2）讨论方程 21f xx的根的个数

22、.【答案】（1）当0a 时，f x的单调递减区间为(,1)，当0a 时，f x的单调递减区间为(1,)；（2）当0a 时，原方程有且仅有一个解；当0a 时，原方程有两个解.【分析】（1）求导，对a分类讨论，利用 0fx可解得结果；（2）转化为函数2(1)()exxg xx与ya的图象的交点的个数，利用导数可求得结果.【详解】（1）()(1)exxxfxaeaxea x，由()0fx得1x ，若0a 时，由 0fx得1x ，所以()f x的单调递减区间为(,1)；若0a 时，由 0fx得1x ，所以()f x的单调递减区间为(1,).综上所述，当0a 时，f x的单调递减区间为(,1)；当0a

23、时，f x的单调递减区间为(1,).（2）因为方程2()(1)f xx等价于2(1)exxax，令2(1)()exxg xx，所以方程 21f xx的根的个数等于函数2(1)()exxg xx与ya的图象的交点的个数，因为2222(1)12(1)(1)()()()exxxxxxxxxexexeg xxex，由()0g x，得1x ，当(,1)x ，时，0gx，g x在(,1)上单调递增；当 1,00,x 时，0g x，所以 g x在1,0，0,上单调递减，又 10g，所以当(,1)x 时，,0g x ；当1,0 x 时，,0g x ；当0,x时，0,g x.所以，当0a 时，原方程有且仅有一个

24、解；当0a 时，原方程有两个解.【点睛】方法点睛：讨论函数零点(或方程根)的个数的常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，可得方程根的个数；（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 6已知函数 21ln2fxaxxxb，g xfx.（1）判断函数 yg x的单调性；（2）若0,2.718xe e，判断是否存在实数a，使函数 g x的最小值为 2？若存在求出a的值；若不存在，请说明理由；（3）证明：31233ln12341nnnn.【答案】（1）答案见解析；（2）存在，2ae；（3）证明见解析.【分析】（1）

25、先求 g xfx，再对 yg x求导，对参数 a 进行讨论确定导数的正负，即得函数单调性；（2）对参数 a 进行讨论确定 yg x导数的正负，即得函数 yg x单调性，再根据单调性确定最值等于 2，解得符合条件的参数值即得结果；（3）先构造函数11()ln31,132h xxxx，证明其小于零，即得1,12x时13ln13xx，再将1nxn代入求和即证结论.【详解】解：（1）由 21ln2fxaxxxb，知 ln1g xfxaxx，0 x，故 11axgxaxx，0 x.当0a 时，0g x，即 g x在0,为减函数，当0a 时，在10,a上 0g x，所以 g x在10,a为减函数，在1,a

26、上 0gx，所以 g x在1,a增函数.（2）当0a 时，g x在0,e为减函数，所以 min11g xg eea .故不存在最小值 3.当10ae时，1ea，g x在0,e为减函数，所以 min1 ln2g xg eeae，所以4ae，不合题意，舍去 当1ae时10ea，在10,a上 0g x，函数 g x单调递减；在1,ea上 0gx，函数 g x单 调递增，由此 min111 1 ln2g xgaa ，所以ln2a.解得2ae 故2ae时，使函数 g x的最小值为 2.（3）构造函数11()ln31,132h xxxx，则11 9()3033xh xxx，故1()ln313h xxx在1

27、,12x上递减，111111()ln31ln20232232h xh ，故1ln3103xx，即1,12x时13ln13xx，而11,1,1112nnNxnn，故13ln1311nnnn，即ln(13ln131)1nnnn，将nN依次代入并相加得 1ln1ln12313ln2ln3.ln(1)ln1231ln4323nnnnnnn，即31233ln12341nnnn.【点睛】本题解题关键在于观察证明式31233ln12341nnnn，构造函数11()ln31,132h xxxx，以证明13ln13xx，将1nxn代入求和即突破难点.用导数解决与正整数 n有关的不等式证明问题，属于难点，突破点就

28、在于观察构造合适的函数，通过导数证明不等式，再将关于 n 的式子代入即可.7已知函数 21ln,2fxaxxxb a bR，g xfx.（1）判断函数 yg x的单调性；（2）若0,2.718xe e，判断是否存在实数a，使函数 g x的最小值为 2？若存在求出a的值；若不存在，请说明理由；【答案】（1）答案见解析；（2）存在，2ae.【分析】（1）先求 g xfx，再对 yg x求导，对参数 a 进行讨论确定导数的正负，即得函数单调性；（2）对参数 a 进行讨论确定 yg x导数的正负，即得函数 yg x单调性，再根据单调性确定最值等于 2，解得符合条件的参数值即得结果；【详解】（1）由 2

29、1ln2fxaxxxb，知 ln1g xfxaxx，0 x，故 11axgxaxx.当0a 时，0g x，即 g x在0,为减函数，当0a 时，在10,a上 0g x，所以 g x在10,a为减函数，在1,a上 0gx，所以 g x在1,a增函数.（2）当0a 时，g x在0,e为减函数，所以 min11g xg eea .故不存在最小值 3.当10ae时，1ea，g x在0,e为减函数，所以 min1 ln2g xg eeae，所以4ae，不合题意，舍去.当1ae时，10ea，在10,a上 0g x，函数 g x单调递减；在1,ea上 0gx，函数 g x单调递增，由此 min111 1 l

30、n2g xgaa ，所以ln2a.解得2ae，故2ae时，使函数 g x的最小值为 2.【点睛】利用导数研究函数()f x的单调性和最值的步骤：写定义域，对函数()f x求导()fx；在定义域内，讨论不等式何时()0fx和()0fx对应得到增区间和减区间及极值点，进而比较端点和极值点的值确定指定区间的最值即可.8已知函数()ln1f xxax aR.（1）讨论函数 f x的单调性.（2）若 2112g xxxaf x，设1212,x xxx是函数 g x的两个极值点，若32a，求证:12152ln28xg xg.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先求得 f x的定义域和

31、导函数 fx，对a分成0a 和0a 两种情况进行分类讨论，由此求得 f x的单调区间.（2）求得 g x的表达式，求得 g x，利用根与系数关系得到12,x x的关系式以及1x的取值范围，将 12g xg x表示为只含1x的形式，利用构造函数法求得 12g xg x的最小值，从而证得不等式成立.【详解】(1)由题意得，函数 f x的定义域为(1,)，11fxax.当0a 时，101fxax，函数 f x在(1,)上单调递增.当0a 时，令 0fx，得11xa .若11,1xa ，则 0fx，此时函数 f x单调递增；若11,xa ，则 0fx，此时函数 f x单调递减.综上，当0a 时，函数

32、f x在(1,)上单调递增；当0a 时，函数 f x在11,1a 上单调递增，在11,a 上单调递减.(2)21ln12g xxxax，0 x，11gxxax211xaxx.由 0g x得2110 xax，240321aa 121xxa，121x x，211xx.32a，512a ，12xx 111115210 xxxx，解得1102x.12xg xg221121221ln12xxxaxxx21121112ln2xxx.设 221112ln022xh xxxx，则 22331210 xh xxxxx，函数 h x在10,2上单调递减.当112x 时，min1152ln228h xh.32a时，

33、12152ln28xg xg成立.【点睛】求解含有参数的函数的单调性题，求导后要根据导函数的形式进行分类讨论.9已知函数 2xf xeae x.（1）讨论 fx的单调区间；（2）当0a 时，证明：2lnf xex.【答案】（1）当0a 时，fx的增区间为,，无减区间；当0a 时，fx的减区间为,2ln a，增区间2ln,a，（2）证明见解析【分析】（1）先求出函数的定义域，再求导数，分0a 和0a，分别由导数大于零和小于零，可求得函数的单调 区间；（2）要证明22lnxae xexe，只要证2ln0 xeex，构造函数 2lnxg xeex，然后利用导数求出此函数的最小值即可，或要证明22ln

34、xae xexe，只要证22lnxexxexae，构造函数 20 xg xaexxe，然后用导数求其最小值，构造函数 2ln0 xh xexx，然后利用导数求其最大值，或要证明22lnxae xexe 由于当0a 时，20ae x，只要证2ln0 xeex，构造函数 222222lnlnxxg xeexe xexeeeex，令 220 xh xee xex，222lnm xe xeex，再利用导数求其最小值即可【详解】（1）解：fx的定义域为,，2xfxeae 当0a 时，0fx，则 fx的增区间为,，无减区间 当0a 时，由0fx，得2lnxa 当,2lnxa 时，0fx；当2ln,xa时，

35、0fx，所以 fx的减区间为,2ln a，增区间2ln,a（2）证明：法一：要证明22lnxae xexe 由于当0a 时，20ae x，只要证2ln0 xeex 设 2lnxg xeex，则 2xgxeex，220 xgxexe，所以 g x在0,上是增函数 又 210gee，2222022egee，所以存在01,2x，使得 02000 xgexex，即020 xeex，00ln2xx 所以当00,xx时，0gx；当0,xx时，0gx，因此 g x在00,x上是减函数，在0,x 上是增函数，所以 g x有极小值，且极小值为 022222222000000ln22220 xg xeexexe

36、xeeexexe 因此 0g x，即2ln0 xex 综上，当0a 时，2lnf xex 法二：要证明22lnxae xexe，只要证22lnxexxexae 设 20 xg xaexxe，则 21xxegxx 当01x时，0gx；当1x 时，0gx，所以 g x在0,1上是减函数，在1,上是增函数，所以1x 是 g x的极小值点，也是最小值点，且 2min1g xgeae 令 2ln0 xh xexx，则 221 ln xhxxe 当0 xe时，0h x；当ex时，0h x，所以 h x在0,e上是增函数，在,e 上是减函数，所以xe是 h x的极大值点，也是最大值点，且 maxh xh e

37、e，所以当0a 时，2g xeaeeh x，即22lnxexxexae 综上，当0a 时，2lnf xex 法三：要证明22lnxae xexe 由于当0a 时，20ae x，只要证2ln0 xeex 设 222222lnlnxxg xeexe xexeeeex，令 220 xh xee xex，则 2xh xee，当02x时，0h x；当2x 时，0h x，所以 h x在0,2上是减函数，在2,上是增函数，所以2x 是 h x的极小值点，也是 h x的最小值点，即 min20h xh 设 222lnm xe xeex，则 2221xem xexxe 当01x时，0m x；当2x 时，0m x

38、，所以 m x在0,1上是减函数，在1,上是增函数，所以1x 是 m x的极小值点，也是 m x的最小值点，即 min10m xm 综上，0h x（当且仅当2x 时取等号），0m x（当且仅当1x 时取等号），所以 0g xh xm x，故当0a 时，2lnf xex【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数证明不等式，解题的关键是将不等式等价转化，然后构造函数，利用导数求函数的最值，考查数学转化思想，属于较难题 10已知函数2()lnf xxaxx.（1）试讨论函数()f x的单调性；（2）对任意0a，满足2()lnf xxaxx的图象与直线ykx恒有且仅有一个公共点，求 k 的取

39、值范围.【答案】（1）当0a 时，在(0,)单调递增；当0a 时，在1180,4aa 单调递增，在118,4aa 单调递减；（2）1k 或3221ke.【分析】（1）首先求函数的导数2121()21(0)axxfxaxxxx，分0a 和0a 两千情况讨论导数的正负，确定函数的单调性；（2）由方程 f xkx，转化为2ln xaxxkx，构造函数 2ln xaxxh xx，利用二阶导数判断函数的单调性，并分情况讨论 h x最小值的正负，并结合零点存在性定理，确定函数的性质，根据2ln xaxxkx有唯一解，确定k的取值范围.【详解】（1）2121()21(0)axxfxaxxxx 当0a 时，恒

40、有()0fx，所以()f x在(0,)单调递增；当0a 时，令2210axx，则1 80a ，则111804axa ，211804axa（舍去），当118(0,)4axa 时，()0fx，()f x在118(0,)4aa 单调递增；当118(,)4axa 时，()0fx，()f x在118(,)4aa 单调递减.综上所述，当0a 时，()f x在(0,)单调递增；当0a 时，()f x在118(0,)4aa 单调递增，()f x在118(,)4aa 单调递减.（2）原命题等价于对任意0a，2ln xaxxkx 有且仅有一解，即2ln xaxxkx；令ln()1xh xaxx 则21ln()xh

41、 xax，332(ln)2()xhxx，令()0hx 得32xe 所以)(h x在32(0,)e上递减，在32(,)e上递增，3232min331ln1()()2eh xh eaaee 当312ae 时，()0h x，所以()h x在 R 上单调递增，又当0 x 时，ln,0 xaxx ，所以()h x ；当x 时，ln,xaxx ，所以()h x .所以()h x在 R 上必存在唯一零点，此时k R；当3102ae时，32min()()0h xh e，同时又当0 x 时，21ln,xax ，所以()h x ；当x 时，21ln0,xax，所以()h x .所以方程()0h x 存在两根12,

42、x x，即2211221ln1ln0 xaxxax 且332212(0,),(,)xexe，所以()h x在1(0,)x上单调递增，12(,)x x上单调递减，在2(,)x 上单调递增，所以()h x的极大值为1()h x，极小值为2()h x 要使有方程2ln xaxxkx唯一解，必有1()kh x或2()kh x，又2222222222lnln1ln2ln1()111xxxxh xaxxxxx ，又322(,)xe，则2ln1()1xxx，232ln()0 xxx，所以()x在32(,)e递减，且x 时，2ln1()11xxx，所以1k；同理1112ln1()1xh xx，321(0,)x

43、e，2ln1()1xxx在32(0,)e递增，3322322()()121xeee，所以3221ke.综上可得，1k 或3221ke.【点睛】思路点睛：本题是一道利用导数研究函数性质，零点的综合应用题型，属于难题，一般利用导数研究函数零点或方程的实数根时，需根据题意构造函数 f x，利用导数研究函数在该区间上的单调性，极值，端点值等性质，以及零点存在性定理等研究函数的零点.11设函数223223()3,()33,22aaf xxxax g xaxxa R.（1）求函数 f x的单调区间；（2）若函数23()()()0,222axf xg xxx在0 x 处取得最大值，求 a的取值范围.【答案】

44、（1）当3a 时，()f x的单调递增区间为(,)，无单调递减区间；当3a 时，()f x的单调递增区间为93,13a和931,3a，单调递减区间为93931,133aa；（2）6,5.【分析】（1）先对 f x求导，对导函数分3a 和3a 两种情况讨论即可.（2）因为函数 x在0 x 处取得最大值，所以23223133(0)()(1)3,0,22222axaxaxxax，利用分离参数法转化为不等式恒成立问题，求函数的最值即可.【详解】解：（1）22()36313fxxxaxa，当3a 时，0fx，所以()f x的单调递增区间为(,)，无单调递减区间；当3a 时，令 0fx，得9313ax 或

45、9313ax，所以()f x的单调递增区间为93,13a和931,3a 令 0fx，得93931133aax，所以()f x的单调递减区间为93931,133aa.综上，当3a 时，()f x的单调递增区间为(,)，无单调递减区间；当3a 时，()f x的单调递增区间为93,13a和931,3a，单调递减区间为93931,133aa.（2）由题意得322133()(1)3,0,2222xaxaxxax.因为函数 x在0 x 处取得最大值，所以23223133(0)()(1)3,0,22222axaxaxxax，即3213(1)30,0,222axaxxx，当0 x 时，显然成立.当0,2x时，

46、得21313022axax，即22323232322221+2xxaxxxxxx.令22,4tx，则2()1,(2,4th ttt，2210h tt 恒成立，所以 2()1,(2,4th ttt 是增函数，5()0,2h t，所以3625(2)12xx，即65a，所以 a 的取值范围为6,5.【点睛】思路点睛：对含参数的函数求单调区间，根据导函数分类讨论是解决这类题的一般方法；已知函数的最大值求参数的取值范围，往往转化为不等式恒成立问题，如果能分离参数的话，分离参数是解决这类题的常用方法，然后再求函数的最值即可.12已知函数 21ln1fxxaxx（0a）.（1）讨论函数 f x的单调性；（2

47、）若关于x的不等式 1lnxxfxxx在1，上恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）02a.【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论 a的范围，判断函数的单调性即可；（2原不等式化为：ln2xaxx在1，上恒成立，设 ln2xh xxx，1,x，求出函数的导数，再令 221 lng xxx，根据函数的单调性求出 a的范围即可【详解】（1）1121121xfxxaxaxx 12121a xxaxxxx，0,x，令 0fx，则2ax 或1x，当02a时，函数 f x在区间0,2a和1,上单调递增，在区间,12a上单调递减，当2a 时，函数 f x在0，上单调递增，当2a

48、 时，函数 f x在区间0,1和,2a上单调递增，在区间1,2a上单调递减；（2）原不等式化为：ln2xaxx在1，上恒成立，设 ln2xh xxx，1,x，2221 ln21ln2xxxh xxx，令 221 lng xxx，则 140gxxx，所以 g x在1，上单调递增，110g xg，所以 0h x，则函数 h x在1，上单调递增，且 12h，02a.【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究单调性（含参），考查利用导数研究恒成立问题，解决第（2）问的关键是将原不等式转化为ln2xaxx在1，上恒成立，进而利用导数研究函数的单调性，从而得解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化和划归思

49、想，属于常考题.13已知函数 ln2ag xxxx.（1）讨论 g x的单调性；（2）当10ae时，函数 222af xxg xxx在其定义域内有两个不同的极值点，记作1x、2x，且11xx，若m1，证明：112mmx xe.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求出函数 g x的定义域，求得 222xxagxx，对实数a的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数 g x的单调递增区间和递减区间；（2）利用分析法得出所证不等式等价于121212121ln0mxxxxxxxmx，令120,1xtx，构造函数 11lnm th tttm，其中0,1t，利用导数证明出

50、 0h t 对任意的0,1t恒成立，由此可证得原不等式成立.【详解】（1）函数 ln2ag xxxx的定义域为0,，222122axx ag xaRxxx ，方程220 xxa的判别式1 8a .当18a 时，0，0g x，g x在0,为增函数；当18a 时，0，方程220 xxa的两根为111 84ax ，211 84ax ，（i）当108a时，120 xx，对任意的0 x，0gx，g x在0,为增函数；（ii）当0a 时，120 xx，令 0g x，可得20 xx，令 0gx，可得2xx.所以，g x在1 81,4a为增函数，在1 810,4a为减函数.综上所述：当0a 时，g x的增区间