三角函数的图象和性质(二).pdf

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1、三角函数的图像和性质（二）一：填空题：1已知4,k 则函数cos2(cos1)2yxkx的最大值是 。2函数2cos,0,sinxyxx的最小值是 。3已知直线的倾斜角263，则其斜率k的取值范围是 。4已知函数 sin2cosf xxxxR是偶函数，则cos2 。5函数cossin2,412 12yxx x 的最小值是 。6 已知函数 sincos44xxf x，若12,x xR，使得对 12,xR f xf xf x 恒成立，则12xx的最小值是 。7已知函数 sin0,0f xAxA的部分图像如图所示，则 12ff20082009ff 。8给出下列四个命题：若coscos，则2,()kk

2、Z；函数 sinf xx是周期函数；函数 cos(sin),()f xxxR是偶函数；若函数()tanf xxx，12,(,)2 2x x 且12xx，则12()()f xf x。其中所有正确命题的序号是 。9已知1sinsin3，则2sincos的取值范围是 。10已知函数 sin,sincoscos,sincosxxxfxxxx，下列命题中不正确的是 。f x的值域为1,1；当且仅当22xkkZ时，max1f x；f x的最小正周期为；当且仅当3222kxkkZ时，0f x。x Oy842633 二、解答题：11 已知函数()sin,(0,0)f xx是偶函数，其图像关于点3,04M对称，

3、且在区间0,2上是单调函数，求和的值。12.如图一块长方形区域ABCD，2ADkm，1ABkm。在边AD的中点O处，有一个可转动的探照灯，其照射角EOF始终为4，设AOE，探照灯O照射在长方形ABCD内部区域（图中阴影部分）的面积为S。当02时，写出S关于的函数表达式；当04时，求S的最大值；若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来回”，忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间），且转动的角速度大小一定，设AB边上有一点G，且6AOG，求点G在“一个来回”中，被照到的时间。H G F E D C B A O 三角函数的图象和性质（二）（答案）一：填空题：1已知

4、4k ，则函数cos2(cos1)2yxkx的最大值是 1 。解：2cos2(cos1)22coscos3yxkxxkxk，令cos xt，则223,11ytktkt ，4k ，14k。函数223ytktk在1,1上单调递减，当1t 时，y的最大值为1。2函数2cos,0,sinxyxx的最小值是 3 。解法一：22cossin2cossincos21sin2sinxyyxxyxxyxx，22sin1xy，由已知得sin1x，即2221121yy ，从而3y 或3y ，由于0,x，所以0y，于是3y。故函数2cos,0,sinxyxx的最小值是3。解法二：222sin2coscos12cos,

5、0,sinsinxxxxyxxx，令0y 得3x，当0,3x时，0y；当,3x时，0y。故当3x时，函数2cos,0,sinxyxx的最小值是3。3 已知直线的倾斜角263，则其斜率k的取值范围是 3,3,3。解：由于tan,0,22k，画出函数tan,0,22k 的图象，数形结合可得斜率k的取值范围是3,3,3。4已知函数 sin2cosf xxxxR是偶函数，则cos2 35 。解：函数 sin2cosf xxx是偶函数，f xfx，即sin2cossin2cosxxxx ，sin2cossin2cosxxxx，sincoscossin2coscos2sinsinxxxx sincosco

6、ssin2coscos2sinsinxxxx，sincos2sinsinxx，由于该式对xR恒成立，cos2sin，即22cos4sin，又22sincos1，24cos5，故243cos22cos12155 。5函数cossin2,412 12yxx x 的最小值是 312 。解法一：2cossin2cossin2sincos42yxxxxxx，令cossinxxt，则22sincos1xxt，2212ytt，,12 12x，13cos,422x，即26cossin2cos,422txxx，数形结合可知当62t 时，y的最小值是312。解法二：x Oy8 2336 cossin 2cosco

7、s2coscos244244yxxxxxx 2cos2cos144xx，令cos4xt，则221ytt ，,12 12x，13cos,422tx，故当32t 时，y的最小值是312。6 已知函数 sincos44xxf x，若12,x xR，使得对 12,xR f xf xf x 恒成立，则12xx的最小值是 4 。解：sincos2sin4444xxxfx，函数 f x的周期为8，根据函数 f x的图象可知 1f x为函数 f x的最小值；2f x为函数 f x的最大值。由题意知12xx的最小值应为函数 f x的周期的一半，故12xx的最小值是4。7已知函数 sin0,0f xAxA的部分图

8、象如图所示，则 12ff20082009ff 3 22 。解：由图可知函数的一个解析式为 3sin4f xx，12ff20082009ff 2200820093 23sin3sin3sin3sin44442。8给出下列四个命题：若coscos，则2,()kkZ；函数 sinf xx是周期函数；函数 cos(sin),()f xxxR是偶函数；若函数()tanf xxx，12,(,)2 2x x 且12xx，则12()()f xf x。其中所有正确命题的序号是 。解：取24,33，满足coscos，但223kkZ，故不正确；由函数 sinf xx的图象可知函数 sinf xx不是周期函数，故不正

9、确；cos(sin),()cos sincossincos sin,()f xxxRfxxxxxR fxf x，从而函数 cos(sin),()f xxxR是偶函数，故正确；由 ()tantantanf xxxfxxxxxf x 得 函 数()tanf xxx，12,(,)2 2x x 为偶函数。由于函数,tanyx yx在0,2上均为增函数，函数()tanf xxx在0,2上为增函数，从而函数()tanf xxx在,02上为减函数。画出函数()tanf xxx，12,(,)2 2x x 的图象的示意图，可以知道当0 x 时，0y。即当12xx时有12()()f xf x，故正确。9已知1si

10、nsin3，则2sincos的取值范围是 11 4,12 9 。解：11sinsinsinsin33，所以221sincossincos3 2212sin1 sinsinsin33，又1124sinsinsinsinsin3333，而1sin1，2sin13，从而21124sinsin1239，故2sincos的取值范围是 11 4,12 9。10已知函数 sin,sincoscos,sincosxxxfxxxx，下列命题中不正确的是 。f x的值域为1,1；当且仅当22xkkZ时，max1f x；f x的最小正周期为；当且仅当3222kxkkZ时，0f x。解：在同一坐标系中画出sinyx和

11、cosyx的图象，本题是“大函数”问题，观察函数图象的上沿，从而得出正确的结论。二、解答题：11 已知函数()sin,(0,0)f xx是偶函数，其图象关于点3,04M对称，且在区间0,2上是单调函数，求和的值。解：函数()sin,(0,0)f xx是偶函数，2kkZ，由于0，故2。从而()sincos,(0)2f xxx，函数图象关于点3,04M对称，33()cos044f，342423kkkZkZ。函数()cos0f xx在区间0,2上是单调函数，2，从而02。故23或2（k只能取0或1）。12.如图一块长方形区域ABCD，2ADkm，1ABkm。在边AD的中点O处，有一个可转动的探照灯，

12、其照射角EOF始终为4，设AOE，探照灯O照射在长方形ABCD内部区域（图中阴影部分）的面积为S。当02时，写出S关于的函数表达式；当04时，求S的最大值；若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来回”，忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间），且转动的角速度大小一定，设AB边上有一点G，且6AOG，求点G在“一个来回”中，被照到的时间。解：过O作OHBC，H为垂足 当04时，E在边AB上，F在线段BH上（如图），此时，tanAE，tan()4FH，OAEOFHOABHSSSS正方形 H G F E D C B A O 图 111tantan()224 当42

13、时，E在线段BH上，F在线段CH上（如图），此时，1tanEH，13tan()4FH，113tantan()4EF 11132 tantan()4OEFSS。综上所述，111tantan(),(0),2244111,().32 tan42tan()4S 当04时，111tantan()224S，即122(1tan)21tanS。04，0tan1,即1 1tan2。21tan2 21tan。22S。当tan21时，S取得最大值为22。在“一个来回”中，OE共转了33242，角速度为3296。其中点G被照到时，共转了263。故“一个来回”中，点G被照到的时间为326（分钟）。H O A B C D E F G 图