工资问题数学建模.pdf

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1、学习文档 仅供参考 对工资待遇问题的探讨 工资支付，就是工资的具体发放方法。包括如何计发在制度工作时间内职工完成一定的工作量后应获得的报酬，或者在特殊情况下的工资如何支付等问题。主要包括：工资支付项目、工资支付水平、工资支付形式、工资支付对象、工资支付时间以及特殊情况下的工资支付等。工资支付的项目，一般包括计时工资、计件工资、奖金、津贴和补贴、延长工作时间的工资报酬以及特殊情况下支付的工资。本文我们讨论的是对大学教师工资的分配问题，原工资支付系统导致抱怨的原因大致分为两个方面：1 称与工龄相同的教师的工资相差太大，则工资低的人会抱怨。2 能力高、奉献大的人希望得到更高的收入，否则则会产生抱怨。

2、我们对两篇获奖论文进行了分析摘要总结。论文 1：摘要:该模型通过选取两个指标作为评价某工资分配方案优劣的标准，并以该指标确定三种不同的评价函数，建立规划模型。通过对规划问题求解，可以找到较为合理的工资过渡方案。在年工资总额增长 3%，人年工资增长率介于 1%3%间的条件下，通过对工资调整的几个原则的逐步考虑，由较为简化的单一模型发展到较为复杂的分级非线性模型，使模型在符合所有的原则的前提下，做到了过渡过程尽可能平稳有序，到达了较为满意的结果。知识：最小二乘法：用于直线拟合；偏差平方和：实际值与理论值差的平方和；无序度函数：Entropy定义为某数列的逆序值。线性规划 假设：工资增长总额为定值，

3、问题转化为：如何将增长额合理地分配到各教员，使其尽可能接近目标方案的优化问题。原则：1.每年所有教职工资须有所提升。2.教员应从晋级中获得实质性利益，如果一个人在最短的时间内得到晋级，其工资的增长应大致相当于七年正常未晋级工资的增长。3.按时每 7 至 8 年得到晋级且工作 25 年以上的教员在退休时工资应大致相当于刚工作博士工资的两倍。4.对于相同级别的教员，工作年限长，经验多的应得到更多的报酬，但是这种由工作年限长短导致的工资差异应逐渐变小。建模分析：为了解决该问题，我们建立了三种模型：单一线性模型、分级模型和分级非线性模型。单一线性模型的建立是假设每个教员每年工资的期望增长率均相同，与级

4、别或工资年限无关。由原则二可以为每个教员建立单一的工资水平参考分数：7rankyearscore 在理想的情况下可以认为工资仅和该参考分数有关，该工资方案下，对数据点salaryscore,运用最小二乘法得到拟合线性方程)(,scorefsalaryscore，为了得到较为精确的线性方程，我们用偏差平方和无序度指数来衡量线性方程。学习文档 仅供参考 目 标 函 数 一：该 组 数 据 点 偏 差 平 方 和T1=2salary,)(xfsalarysalarysalaryscore。目标函数二：根据Score对教员进行排序，计算该序列的无序度T2=salaryscore,Entropy。1.评

5、价该分配方案优劣采取指标一，可建立以下规划模型 令目标函数 Min:2salary,)(argscorefsalarysalarysalaryettsalaryscore st.LowRatesalarysalary HighRatesalarysalary Totalsalary 2.评价该分配方案优劣采取指标二，可建立以下规划模型：令目标函数 Min:salaryscoresalaryett,Entropyarg st.LowRatesalarysalary HighRatesalarysalary Totalsalary 3.从两组结果来看，各指标均能对工资方案进行约束，其中指标一的整体

6、约束效果较好，但在每年调整过程中个体间的有序度并未显著改善；指标二的针对局部有序的调整十分有效，但整体效果欠佳，理想的优化目标应是两者兼顾。可建立以下规划模型 令目标函数 Min:21argTTsalaryett st.LowRatesalarysalary HighRatesalarysalary Totalsalary 所以，今后目标函数均采取21argTTsalaryett形式 分级模型：如果考虑实际情况，不同职级的人应该有不同的年限工资，例如一个讲师一年增加的工资应该没有一个副教授一年增加的工资多，这是我们就不能单纯的用以上学习文档 仅供参考 直线模型来规划，而应分别对不同的职级分开加

7、以讨论，得到一个分级的模型。由于不同的职级的人有不同的年限工资，由原则二可知，在工作年限相同的情况下，相邻两职级的教员的工资差异应大致等于同在较低一级中工作年限相差七年的两教员的工资差。这样我们可以对分级模型进行一些改动就可以满足要求。目标函数 T1 变为各级偏差平方和的总和，T2 变为各级五序度的总和，仍令目标函数 Min:21argTTsalaryett st.LowRatesalarysalary HighRatesalarysalary Totalsalary 分级非线性模型：结合考虑到原则四，在同一职级中，假设每年增加的工资都相同，则在同职级的情况下，由工作年限产生的工资差异将不会逐

8、渐消除。为了到达原则四的要求，则同一职级中，每年增加的工资额应逐渐减少，而前两个模型都没有考虑该原则，为了满足该原则可以假设在同一职级中，每一年所增加的工资随着工作年限呈指数关系递减，在足够后，两个同职级的有丰富经验的教员的工资会很接近。这样我们可以对分级模型进行一些改动就可以满足要求。在该工资方案下，首先我们对各数据 点以rank为 分类 变量将数 据点按 级别 分类，在 每一个 级别 内对数据 点salaryyear,以 指 数 函 数 作 为 基 底 运 用 最 小 二 乘 法 得 到 拟 合 非 线 性 方 程yearsalaryyearrankbayearf)(,，以此作为各教员期望

9、工资函数，同上可计算各级别内各数据点偏差平方和,再对各级别的偏差平方和求和作为 T1=(公式)。在各级别内根据year对教员进行排序，计算该序列的无序度salaryyear,Entropyrank,再对各级别的无序度求和作为 T2=(公式)目标函数：Min:21argTTsalaryett st.LowRatesalarysalary HighRatesalarysalary Totalsalary 单一模型对于原则一、二有较好的表达，并可得到较好的结果。假设要符合原则三，仅使用单一模型是不够的，需要使用分级模型，此外假设要顾及原则四，则需要使用分级非线性模型。限制因素：工资增长总额上限，人员

10、的动态调整晋级，退休，聘用等，教员间工资增长学习文档 仅供参考 间差异应保持在一定范围一定的稳定性内。评价方案 1.偏差平方和。2.有序度指数。论文 2：摘要:作者考虑把总工资 S 分为由不同因素决定的三部分，列出基本关系式：S=W+A+L 级别工资 W：由级别职称与工龄决定。级别越高，工龄越长，则级别工资越高。能力奖金 A：由能力和奉献决定。能力越高，奉献越大，则能力奖金越高。生活津贴 L：由生活指数决定。随着生活指数的增长，生活津贴也增长。模型假设：1.经验的丰富由给定的工龄长短决定。2.级别不同，相同的工龄的重要性不同。但以前的级别工龄仅由表中数据无法判断，则以前的工龄同等看待，不再区分

11、。而今后的工龄应分别对待。3.级别越高，应受的优待越多。4.正常晋升，即各级别的工龄应大于一最小值，即各级别的最小工龄。5.在过渡期，教师的晋升均为正常晋升，不存在破格提拔。模型的建立与求解：对 4 个等级分别用最小二乘法拟合其工资曲线，发现拟合的曲线与题目要求的有很大的不符。于是认为原工资体系在公平合理性方面过于脆弱，不能从此数据中得到足够的信息量，从另一方面着手，先根据题目的要求构造出合理的工资体系，在反过头来用数据检验该工资体系。级别工资 w 1.原则四说明随着 t 的增长，同级别的 Wi的差异趋近于 0，即存在 Wi的上限 ki 使 titf常数 ki 由此立出下式：iTtiitiam

12、xfiii01)(ix为级别 i 的教师的 Wi增长工资的上限，即在级别 i 工作假设干年增长值Witix ai为级别 i 的起点工资，且 a1=27000 a2=32000。mi为常数，控制增长幅度。由于各级别工资假设干年增长极限值 xi不同。设各级别工资假设干年增长极限值 xi之比分别为一常数 ci，即iiicxx1ci1对 ci确实定如下：对原工资数据按不同级别分别进行拟合。求出级别 i 的教师工资的标准差i,得到标准差之比。275.134 125.134 546.134 原工资的标准差i之比反映了各级别工资假设干年增长极限值 xi之比，设为正比关系，则 11iiiiicxxcc 为比例

13、系数。学习文档 仅供参考 特殊情况t1T10，t2T20，t3T30，t4T40 ：认为工龄不够的教师的级别工资 W 为该级的起点工资ai,其级别工龄补足为该级别的工龄最小值，即在tiTi0时，令ti=Ti0 itiafi)(。能力奖金 A 定义能力系数j ：教师 j 原工资与他应得标准级别工资之差与标准级别工资之比。00iijijWWS，并且由于原工资系统存在不合理性，规定一个修正系数j,说明原工资系统表达的能力水平的可信程度，即原能力奖金偏高还是偏低及偏差的大小。j=1，说明教师 j 原工资准确的反映了其能力。j1,说明教师 j 原能力奖金偏低，即应增高其能力奖金。j确实定应用了概率的相关

14、知识：因为无法从已知中获得，采取仿真模拟，随机产生一组数据，并根据以下原则；1.认为原工资系统在总体上反映出的能力水平应是比较合理的，只是反映个人水平时有偏高偏低，偏差由大有小。且认为偏差很大的情况发生的几率很小，即认为绝大多数偏差集中在一定范围内。2.设j服从正态分布，其均值为 1，j在 1 附近波动，标准差由偏差集中程度决定。即满足j出现在一个置信区间内的概率不小于 p。变动 p 及置信区间的位置，可得到不同的标准差，从而产生不同组的j 修正后的能力系数与其应得的标准级别工资之积即为标准能力奖金。由此得到教师 j 的标准能力奖金 Aj0=Wi0*j*j=Wi0*00iijiWWS*j 不考

15、虑生活指数时的工资系统 S 不考虑生活指数影响时，在级别 i，教师 j 的标准工资 Sij0(t)=Wi0(t)+Aj0(t)在函数图上表示为教师 j 的级别工资函数向上或向下平移一段距离|Aj0|，Aj00 时，向上平移，说明教师 j 的能力高，因而能力奖金高于一般水平用 0 表示；Aj00 时，向下平移，说明教师 j 的能力低，因而能力奖金低于一般水平；Aj0=0 时，不平移，说明教师 j 的能力一般，因而能力奖金为 0。不考虑生活指数时的过渡计划 1.未晋升的情况 1。按 Sij0(t)=Wi0(t)+Aj0(t)得到其应得的工资，即对他不存在过渡期。2。工资 Sij高于标准工资 S0i

16、j 令他所得工资按原工资不变，直到某年其应得标准工资等于原工资,然后按Sij0(t)=Wi0(t)+Aj0(t)增加。3。工资 Sij低于标准工资 S0ij 为保证平稳过渡，不一次补足，而是逐年补足。规定一个补偿值 dj(t)表示第 t 年给教师j 的超出标准工资 S0ij(t)的那部分工资。则第 t 年增长的工资包括两部分：补偿部分与按规定增长部分。即)(tSij=dj(t)+学习文档 仅供参考)(0tSij。规定)()()()(tqlltdtjtjj。在仿真中规定 q(t0)等于今年假设要一次补足所应补偿的总金额的 k 倍，k 为今年补偿的比例。同时设 q(t+1)=q(t)*(1+a),

17、a 为一比例因子，由人为给定。)(tjl为教师 j 第 t 年所得工资与标准工资的差值。则今年)(0tlj=Sij-S0ij(t0)。2晋升的情况只考虑正常晋升 原则上保证与不晋升时的处理方法相同，只是增加一晋升工资。假设教师 j 在第 t1 年按工龄正常晋升，则按正常增长 Sij(t1)=Si-1，j(t1-1)+Si-1，i Si-1，i为从级别 i-1 升到级别 i 应增加的工资。在得到各种情况下的 Sij(t)后，定义各教师的工资百分比 perj=%1002041)()(jtijtijSS。则在确定每年的工资总额 S 后，即由 perj*S 得到实际每年应发工资。3 过渡年限确实定 定

18、义一个判别指标：标准偏差 g(t)240)(20412)(jtjltg表示第 t 年工资系统与标准工资系统的差距。定义过渡成功率判别过渡是否成功，=M/204*100%，M 为满足|)(tlj|500 的人数。令极限参数=500，今年补偿的比例 k=0.2，补偿金增长的比例因子 a=0.1，确定能力修正系数的置信区间取0.5，1.5，置信概率 p=0.98，随机产生 100 组能力修正系数j进行仿真模拟仿真过程中j的产生见前面能力奖金中的表达，得到在 N 取 5 时,标准偏差 g(t)达最小值 391 美元，过渡成功率=90.8%。故认为在此时的参数条件下，过渡年限为 5 年。考虑生活指数时的

19、工资系统 S 考虑生活指数时，将今后每年的生活指数与今年的作比较，只需考虑生活指数增长带来的影响。设第 n 年的生活指数n为今年的1+b倍，则第 n 年的生活津贴应增长其级别工资的起点工资 ai的 b 倍，即Ln=b*ai 考虑生活指数时的工资 Sij0=Wi0+Aj0+Ln 考虑生活指数时的工资支付方法不变。模型的进一步讨论：对 a=0.1,0.2,0.3,0.4 以及 k=0.1,0.2,0.3,0.4 的情形进行了模拟，发现成功率受它们的影响如下：一：成功率随补偿资金的增加而减小。二：成功率随过渡期的减短而增加。目标是花最短的时间以较高的成功率过渡到标准工资体系中。因此，过渡期有个较优解

20、。本模型的优点是：建立一个“分割”模型，将工资分为级别工资、能力奖金、生活津贴三部分。其优点是学习文档 仅供参考 各部分相对独立，处理方便。给出的标准工资函数是建立在给定原则的基础上，尽可能做到全面合理。在过渡计划中，为减少抱怨，从总体利益出发，维持工资偏高者的现有工资，逐步补偿工资偏低者的现有工资，使现有工资系统稳步过渡到标准工资系统。在过渡中考虑了晋升等特殊情况，使模型适应性较强。按“分饼”原则，由个人工资占工资总额的百分比支付工资，其优点是不受每年变化的资金总额的影响。在模型中，通过对各影响参数的变动讨论，分析利弊，得出较佳的参数值供学校参考，其优点是机动灵活，可随时随实际情况变化。本模型的缺点：在过渡期，工资偏高者的工资未增长，未满足原则一在有钱可涨工资的任何一年，全体教师都应涨工资。但考虑到其所得工资本来就偏高，不合理，故不予增长。在建议的参数取值下，按本模型模拟得出过渡期为 5 年，过渡成功率为 90.8%。综合考虑较短的过渡期和较高的成功率，认为此结果比较合理。总结：两个模型都各有本身的优缺点，模型 1 比较多的用到了线性规划的知识，而模型 2 则较多的用到了概率统计学的原理。相似点在于两者都用到了最小二乘法画图得出原工资系统不够合理，并判断出自己更新后的工资系统较合理。混 013 王 隽 混 016 庄利亚 3013001157