平面几何的几个重要的定理--梅涅劳斯定理.pdf

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1、.平面几何的几个重要的定理 一、梅涅劳斯定理：注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的 线段成比例的条件；注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要屡次使用 再相乘；共线；、证明点引的垂线的垂足，、向是从点、的外接圆上；位于点例111111CBAABCABCPCBAABCP.2 平面几何的几个重要定理 塞瓦定理 塞瓦定理：1:RBARQACQPCBPCRBQAPABCABCABCRQP的充要条件是三线共点、边上的点，则、的分别是、设1PCBPRQP ABCABCABCABCl1RBARQACQ，则、的延长线分别交于或它们、的三边的顶点，并且与不经过：若直线定理C B A 1A1B1C三点共线

2、；、依梅涅劳斯定理可知，可得且将上面三条式子相乘，证：易得：111111111111111CBA1BCACABCBCABA180PBAPCA,PCBPAB,PBCPACPBAcosPBPABcosAPBCACPACcosAPPCAcosCPABCB,PCBcosCPPBCcosBPCABAM Q R A C P B.；相交于一点点、重合，故必与上，所以都在线段和因为于是：，由塞瓦定理有：，于交，且直线相交于与，设再证充分性：若以上三式相乘，得：同理：，则：相交于点、证：先证必要性：设MCRBQAPRRABRRRBARBRARBRARQACQPCBPRABCMMBQAPRBARQACQPCBPR

3、BARQACQPCBPSSRBARSSQACQSSSSSSPCBPMCRBQAPBCMACMABMBCMACMABMCMPBMPACPABP111交于一点；：证明：三角形的中线例1 高交于一点；】证明：锐角三角形的【练习2 ABCPPANBMCKBLBCACALBLBCACALBLBCNBBKBKCBNLACALAKAMAKCAMLNBBKAKAMCNMCAKBKNBCNMCAMANBMCKPANBMCKABCK点三线共点，且为、理可知：依三角形的角平分线定即要证即要证明：又即要证：三线共点，依塞瓦定理、要证点，三线共点，且为、下证证：作1111 C B A 1A1B1CC B A 1A1B1

4、CK L N M C B A.平面几何的几个重要定理托勒密定理 托勒密定理：圆接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：；内接于圆，则有：设四边形BDACBCADCDABABCD 一、直接应用托勒密定理 例 1 如图 2，P 是正ABC 外接圆的劣弧上任一点(不与 B、C 重合)，求证：PA=PBPC 分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗 假设借助托勒密定理论证，则有PABC=PBACPCAB，AB=BC=AC PA=PB+PC 二、完善图形借助托勒密定理 例 2 证明勾股定理

5、：在 RtABC 中，B=90，求证：AC2=AB2BC2 证明：如图，作以 RtABC 的斜边 AC 为一对角线的矩形 ABCD，显然 ABCD是圆接四边形 由托勒密定理，有 ACBD=ABCDADBC 又ABCD 是矩形，AB=CD，AD=BC，AC=BD 把代人，得 AC2=AB2BC2 四点共圆时成立；、上时成立，即当且仅当在且等号当且仅当相似和且又相似和则：，使内取点证：在四边形DCBABDEBDACBCADCDABEDBEACBCADCDABEDACBCADADEDACBCAEDABCEADBACADAEACABBEACCDABCDBEACABACDABEACDABECADBAEE

6、ABCD)(E D C B A.例 3 如图，在ABC 中，A 的平分线交外接圆于 D，连结 BD，求证：ADBC=BD(ABAC)证明：连结 CD，依托勒密定理，有 ADBCABCDACBD 1=2，BD=CD 故 ADBC=ABBDACBD=BD(ABAC)三、构造图形借助托勒密定理 例 4 假设 a、b、*、y 是实数，且 a2b2=1，*2y2=1 求证：a*by1 证明：如图作直径 AB=1 的圆，在 AB 两边任作 RtACB 和 RtADB，使 ACa，BC=b，BD*，ADy 由勾股定理知 a、b、*、y 是满足题设条件的 据托勒密定理，有 ACBDBCAD=ABCD CDAB

7、1，a*by1 四、巧变原式妙构图形，借助托勒密定理 例 5a、b、c 是ABC 的三边，且 a2=b(bc)，求证：A=2B 分析：将 a2=b(bc)变形为 aa=bbbc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为 b，两对角线为 a，一底边为 c 证明：如图，作ABC 的外接圆，以 A 为圆心，BC 为半径作弧交圆于 D，连结 BD、DC、DA AD=BC，ABD=BAC 又BDA=ACB(对同弧)，1=2 依托勒密定理，有 BCAD=ABCDBDAC 而 a2=b(bc)，即 aa=bcb2 .BAC=2ABC 五、巧变形妙引线借肋托勒密定理 例 6 在ABC 中，ABC=124，分析：将结论变形为 ACBCABBC=ABAC，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆接四边形 如图，作ABC 的外接圆，作弦 BD=BC，边结 AD、CD 在圆接四边形 ADBC 中，由托勒密定理，有 ACBDBCAD=ABCD 易证 AB=AD，CD=AC，ACBCBCAB=ABAC，1.ABC 中，B=2C。求证：AC2=AB2+ABBC。【分析】过 A 作 BC 的平行线交ABC 的外接圆于 D，连结 BD。则 CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，ACBD=ADBC+CDAB。2 正七边形 A1A2A3A4A5A6A7。求证：。第 21 届全数学竞赛