数学复习全书(理工类)一_1.pdf

《数学复习全书(理工类)一_1.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学复习全书(理工类)一_1.pdf（36页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第一章 行列式 一、本章知识串讲 行列式的重点是计算，应当在理解n阶行列式的概念、掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶行列式，也要会计算简单的n阶行列式的值.计算行列式的基本方法是：按行（列）展开公式，通过降阶来实现，但在展开之前往往先通过对行列式的恒等变形，以期新的行列式中能构造出较多的零或有公因式，从而可简化计算.行列式计算的常用技巧有：三角化法，递推法，数学归纳法，公式法等.行列式在线性代数中有较多的应用.例如：（1）当A=0 时，齐次方程组0Ax 有非零解，而非齐次方程组Axb不是唯一解（可能无解，亦可能有无穷多解）.而当0A 时，由克莱姆法则，可求出Axb的唯一解.（2）

2、可证明矩阵A可逆，并由伴随矩阵A求出1A.（3）对n个n维向量12,na aa可通过计算行列式12na aa是否为零来判断它们是线性相关或线性无关.（4）矩阵A的秩()r A是用A中非零子式的最高阶数来定义的.（5）求矩阵A的特征值，即计算0.EA （6）判断二次型Tx Ax的正定性，可用顺序主子式全大于零.【评注】这些应用，要求考生在概念上应清晰，运用时要灵活，对知识的衔接与内在联系要把握得较好（在微积分中，行列式也多次出现，帮助我们记忆与运算，例如，向量积，混合积，平面方程的建立，重积分的变量代换公式，曲面积分中的斯托克斯定理，场论中的旋度等）.二、大纲考查要点诠释 1行列式的概念 n阶行

3、列式 1 221 21112121222()1212(1)nnnnnj jjjnjj jjnnnnaaaaaaAa aaaaa （1.1）是否有取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和，它由!n项组成，其中带正号与带负号的项各占一半，12()nj jj表示排列12,njjj的逆序数.2行列式按行（列）展开公式 1122(1,2,)jjjjninja Aa Aa Ajn （1.2）其中 111111111111111111111111(1)jjniijijinijijiijijinnnjnjnnaaaaaaaaAaaaaaaaa （1.3）是A中去掉第i行及第j列元素后的1n阶行列式，并带有符号(

4、1)ij，称为ija的代数余予式.特别地，考生应熟悉：（1）上（下）三角行列式等于其主对角线上元素的乘积，即 1111222211220;0*nnnnnnaaaaa aaaa （1.4）（2）关于副对角线，其计算公式为 11(1)21212121111*0(1);0*nnn nnnnnnnnaaaaa aaaa（1.5）（3）两种特殊的拉普拉斯（Laplace）展开式：设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，则 *,*(1).*mnAOAA BBOBOAAA BBBO （1.6）【注】代数余子式的性质除用于按行（列）展开公式计算列式外，还有两条重要性质：（1）只改变ija所在行和列中元素的值并不影响其代

5、数余子式.ijA特别地，ijA与ija的取值没有关系.例如，两个行列式 的ija并不相同，但第一行元素的代数余子式1jA是完全一样的.（2）行列式一行（列）元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和必为零.即 11220(),ijijinjna Aa Aa Aij 11220().jkjknjnka Aa Aa Ajk （1.7）【例 1.3】已知 10121103,11101254A 求（1）1222324241424344;(2).AAAAAAAA 3行列式的性质 （1）经转置的行列式的值不变，即.TAA这表明在行列式中行与列的地位是对等的，因此，行列式的行所具有的性质，对于列亦具有.

6、为简捷，下面仅叙述行的性质.（2）行列式中某一行积各元素如有公因数,k则k可以提到行列式符号外，特别地，若行列式中某行元素全是零，则行列式的值为零.（3）如果行列式中某行的每个元素都是两个数的和，则这个行列式可以拆成两个行列式的和.4 几个重要公式 （1）若A是n阶矩阵，则.nkAkA (1.8)（2）若,A B都是n阶矩阵，则.ABA B (1.9)（3）若A是n阶矩阵，则1*;nAA (1.10)若A是n阶可逆矩阵，则 (1.11)则1().ijj i nAxx （1.12）（5）若A是n阶矩阵，(1,2,)iin是A的特征值，则1.niiA （1.13）【例 1.7】设,A B均为n阶矩

7、阵，2,3,AB 则 （1）2111*1*12222;3nnnnA BABAB (2)2211*1*1222(2).3nnnnnnA BABAB 【评注】往届考生在应用公式kA上出错较多，对*A的公式也不熟悉.在（1）中*1A B是矩阵相乘，用行列式乘法公式（1.9）进行计算；（2）中*2A是行列式是数，用kA公式（1.8）进行计算，两者不要混淆.三、典型题型分析及解题方法与技巧 题型（一）有关行列式的概念与性质的命题 【例 1.8】方程 212322212223()0333245354435743xxxxxxxxf xxxxxxxxx 的根的个数为（）.（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

8、 【分析】问方程()0f x 有几个根，也就是问()f x是x的几次多项式，为此应先对()f x作恒等变形，将第 1 列的-1 倍分别加至第 2、3、4 列得 210122101(),331224373xxf xxxxx 再将第 2 列加至第 4 列，行列式的右上角为0.可用拉普拉斯展开式（1.6），从而知应选（B）.【例 1.9】齐次线性方程组 21231231230,0,0.xxxxxxxxx 的系数矩阵记为A，若存在3阶非零矩阵B使得0AB，则（）()2,0.AB 且 ()2,0.BB 且 ()1,0.CB且 ()1,0.DB且 【分析】对于0AB，如0,B 则B可逆.于是1100.AA

9、BBB但 21110.11 可见必有0.B 因此排除（B）、（D）.另一方面，对于0AB 知 B 的每一列都是齐次方程组0Ax 的解，现在0B，故0Ax 有非零解，从而0.A 显然1时0A，故应选（C）.【评注】作为选择题，不要通过计算 222221111111111(1)011011001A 来求，只需把已知条件2,1 中之一代入验证A是否为零即可.【例 1.10】设A是n阶矩阵，且0,A 则（）（A）A中必有两行元素对应成比例 （B）A中任一行向量是其余各行向量的线性组合 （C）A中必有一列向量可由其余的列向量线性表出 （D）方程组Axb必有无穷多解 【分析】（A）是充分条件，（D）方程组

10、可能无解，故（A），（D）均错误.由0A 知A的行（列）向量组线性相关，但线性相关向量组中，只是有向量可由其余向量线性表出，并不是每一个向量都可由其余向量线性表出，参看【定理 2.2】及【定理 2.4】.故应选（C）.【例 1.11】已知,A B C都是行列式值为 2 的 3 阶矩阵，则 10_.2()3ADBC【分析】由公式（1.6），（1.8）,（1.11）等，有 3 31313123327(1)()(1)2().3228DABABB 【评注】对于拉普拉斯展开式（1.6）要正确应用，不能错误地按 2 阶行列式来计算.例如 0*AA BB 是不是正确的，应当是(1),mnA B其中,m n分

11、别是,A B的阶数.【例 1.12】已知n阶行列式 01000020,0001000Ann 则A的第k行代数余子式的和12_.kkknAAA 【评注】请回顾考点诠释中有关代数余子式的【例 1.3】.并用【例 1.3】（2）的方法通过算n阶行列式的值来解本题.【例 1.13】已知123,.,a aa 都是 4维列向量，且123321,a a aaa a ab，则1232,_a aa.【分析】321,a a a中第 1 列是两个数的和，用性质（3）可将其拆成两个行列式的和，再利用对换，提公因式等行列式性质作恒等变形，就有 321321321,a a aa a aa a a 321123321123

12、,a a aa a aa a aa a a 于是1232,2().a a aab 题型（二）行列式的计算 【解题思路】计算行列式值的最基本方法是：按行（列）展开公式，另外，常用的方法还有：.三角公法 【例 1.14】计算行列式 11223311 11111bbbDbbb之值.【解】从第 1 行开始，依次把每行加至下一行，得 1112222333331111111.1 111111 11bbbbbbDbbbbbb 【例 1.17】计算行列式 1111111111111111xxDxx之值.【解】把每列均加至第 1 列，提取公因式x，再把第 1 列加至 2 列，4 列得 4111111111111

13、11111111xxxxDxxxx（公式（1.5）.【评法】三角化时常用的方法是逐行相加，把某行的适当倍加至其它各行，把其它各行的适当倍数加至某行等.递推法 【例 1.19】计算行列式 5 145411(1),111111aaaDDaaaaaaa 继续使用这个递推公式，有434332,DDaDDa 而初始值221,Daa 所以234551.Daaaaa 【评注】对于规律性强且零元素多的行列式，可以考虑用按行展开公式建立递推关系式来求行列式的值.公式法【例 1.21】计算行列式 1111222200000000abcdAbadc之值.【解】先互换 2，3 两行，再对调 2，3 两列，就可用拉普拉

14、斯展开式（1.6），即 11221111121 21 212112222220000()().0000abbaabcdAa abbc cd dcdbadcdc【例 1.22】计算行列式 abcdbadcAcdabdcba之值.【解】由于2222()TAAabcdE，故用行列式乘法公式（1.9），得 222224().TTAA AAAabcd 因A中，4a系数是1，所以2222 2().Aabcd 题型（三）含参数行列式的计算 【例 1.24】已知3111510,113xDxx求.x 【解】将第 3 行的-1 倍加至第 1 行，有 202101151(2)151113113xxDxxxxx 10

15、052(2)152(2)14114xxxxxx 2(2)(918).xxx 所以2,3,6.xxx 【评注】对这一类行列式，通常是将某行的k倍加至另一行，以期出现x的一次因式，提出x的这个一次因式（也就求出了x的一个根），再处理剩下的 3 阶行列式可求出x的另外两个根.本题亦可以将第 2、3 行加至第 1 行，这时有3x的公因式，请读者完成.题型（四）关于0A 的证明 【解题思路】证明行列式0A 常用的思路有：（1）设法证AA 或,1;Al A l （2）反证法，如0A，从A可逆找矛盾；、（3）构造齐次方程组0Ax，设法证明它有非零解；（4）设法证矩阵的秩();r An （5）证明 0 是矩阵

16、A的一个特征值.【例 1.27】设A是n阶反对称矩阵，如A可逆，则n必是偶数.【证明】因为A是反对称矩阵，即,TAA 那么(1).TnAAAA 即nrArA 如果n是奇数，必有,AA 即0A 与A可逆相矛盾，所以n必是偶数.【例 1.28】设2,AA AE（单位矩阵），证明0A.【证法一】如0A，则A可逆，那么121AA AA AE与已知条件AE矛盾.【证法二】由2AA，有()0A AE，从而AE的每一列都是齐次方程组0Ax 的解.又因,AE故0Ax 有非零解,从而0A.【证法三】同上，由AE的每一列(1,2,)iin都是0Ax 的解.所以 12()(,)().nr AErnr A 又因,()

17、0,AE r AE故()(),r Anr AEn所以0A.【证法四】同上，设j是AE中非零列，则00jjA，则，0 是A的特征值，故0A.【评注】这些证法有繁有易，也有雷同之外，关键是思路要开阔.对于0AB 我们应认识到B的每一列都是齐次方程组0Ax 的解，B的列向量只是0Ax 的解的一部分，另一方面矩阵的秩也是偶列向量组的秩.因此从0Ax，得到 即 又芥()(),r Bnr A则B的列向量可以表示0Ax 的任一解.【例 1.29】已知A阶正交矩阵，即,TTAAA AE证明 【证明】由行列式乘法公式（1.9），得 （1）如A=1，那么 ()()TTTEAAAAA AEA AEEA 21(1),

18、nEAEA 从而0.EA （2）如，那么 得到又因 2()(),EAEA EAEA EA 所以不论A是1或1，总有20.EA 第二章 n维向量与向量空间 一、本章知识串讲 向量是线性代数的重点之一，也是难点，对逻辑推理有较高的要求.粗略地说，本章由线性组合、线性相关（无关）出发，进而讨论无关向量的个数，引出秩（向量组及矩阵）的研究，最后扩展应用到向量空间有基、维数、坐标等，共三个板块.无论是证明、判断还是计算，关健在于要深刻理解本章的基本概念，搞清其相互间的关联.要学会用定义来作推导论证，注意推导过程中逻辑的正确性.向量组的秩与矩阵的秩之间有密切地联系，向量组（）可由向量组（）线性表出时，向量

19、组的秩之间有相互制约的关系，因此对于秩的问题要灵活运用条件,注意知识点的转化.求秩、求极大线性无关组的重要方法是初等行变换.在向量空间nR中，应在了解各定义的基础上，熟练计算向量组的极大线性无关组及秩、过渡矩阵等；要掌握基变换，坐标变换及 Schmidt正交化.利用向量对线性方程组有解问题可作深入的讨论，对矩阵引入特征向量，使矩阵对角公问题有广泛地应用，特别地，可化简二次曲面.二、大纲考查要点诠释 1n维向量的概念与运算 n个数12,na aa构成的有序数组称为n维向量，记作12(,)na aa或12(,),Tna aa分别称为n维行向量或n维列向量.数称为向量的第i个分量.如果1212(,)

20、,(,),nnaa aab bb则 （1）加法1122(,);nnaab abab （2）数乘12(,);nkaka kaka （3）内积1 122(,).TTnnaa ba ba baa 【注】由加法及数乘运算可引出线性组合、线性相关等概念，由内积可引出单位化、正交化等问题.2线性组合与线性表出 【定义 2.1】s个n维向量12,saaa及s个数12,sk kk所构成的向量 1 122ssk ak ak a （2.1）称为向量组12,saaa的一个线性组合，数12,sk kk称为组合系数.【定义 2.2】如n维向量能表示成向量12,saaa的线性组合，即 1 122ssk ak ak a，（

21、2.2）则称可由12,saaa线性表出，或说是12,saaa的线性组合.【定义 2.3】如果向量组（）12,saaa中每个向量都可由向量组（）12,t中向量线性表出，则称向量组（）可由向量组（）线性表出.如两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价.【注】等价向量组具有传递性、对称性及反身性.任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同.向量组12,saaa的任意两个极大无关组所含向量的个数相同.等价的向量组具有相同的秩.向量组的等价性常用于，要讨论的向量组与已知的向量组具有相同的秩，进而讨论线性相关性.【评注】如12(,)

22、,1,2,Tjjjnjaaaajs 12(,)Tnb bb，则可由12,saaa线性表出的充要条件是方程组 1111121212222212ssnnnssnxbaaaaaaxbaaaxb 有解，而表示法唯一等价于方程组有唯一解.由于方程组有解的问题与矩阵的秩有密切联系，因而又有 可由12,saaa线性表示 12121212(,)(,),(,)1(,).ssssr a aar a aar a aar a aa 或 3线性相关与线性无关 【定义 2.4】对于n维向量12,saaa，如存在一组不全为零的数12,sk kk，使得 1 1220,ssk ak ak a （2.3）则称12,saaa线性相

23、关.【例 2.2】若123(2,2,2),(3,3,3),(4,5,6),aaa则因1233200aaa组合系数 3，-2，0 不全为零，故123,aa a线性相关.【定理 2.1】12,saaa线性相关 齐次方程组1212(,)0ssxxaaax 有非零解 （2.4）向量组的秩12(,)sr aaas（向量的个数）（2.5）存在某(1,2,)ia is可由其余1s个向量线性表出.特别地，【定理 2.2】n个n维向量线性相关 120;na aa （2.6）1n个n维向量一定线性相关.【定义 2.5】对n维向量12,sa aa如果 1 122220k ak ak a 必有120,skkk则称12

24、,sa aa线性无关.或者说，只要12,sk kk不全为零，必有1 1220.ssk ak ak a 【定理 2.1】12,sa aa线性无关 齐次方程组1212()0ssxxa aax 只有零解 向量组的秩12(,)sr a aas（向量的个数）每一个向量ia都不能用其余1s个向量线性表出 【定理 2.3】（1）阶梯形向量组一定线性无关.（2）若12,sa aa线性无关，则它的任一个部分组12,tiiiaaa必线性无关，它的任一延伸组必线性无关.（3）两两正交、非零的向量组必线性无关.【例 2.3】123(1,2,3),(0,4,5),(0,0,6)aaa是阶梯形向量组，有123,a a a

25、线性无关；去掉3a后，12,a a仍线性无关；延伸组112212312(1,2,3,),(0,4,5,),(0,0,6,)xxyyzz还线性无关.【评注】要理解线性相关、无关的定义，要会用定义、秩、线性表出、等价向量组、方程组、行列式及反证法等来判断、证明向量组的线性相关性.4线性相关与线性表出 【定理 2.4】12,sa aa线性相关的充要条件是有ia可用其余个向量线性表出.【定理 2.5】若线性无关，12,sa aa线性相关，则可由线性表出，且表示法唯一.【定理 2.6】若向量组可由向量组12,t 线性表出，且,st则线性相关.【推论 2.7】若向量组可由向量组12,t 线性表出，且线性无

26、关,则.st 5向量组的秩与矩阵的秩 要了解向量组的极大线性无关组及向量组的秩，矩阵的秩的概念；应知道向量组的秩与矩阵的秩之间的关系；要知道向量组等价的概念及等价向量组秩之间的关系；要会用初等变换熟练地求秩、求极大线性无关组；应知道证明一个矩阵是零矩阵的方法.【定义 2.6】在向量组中，如存在一个部分组12,riiiaaa线性无关，而再添加进组中任一向量ja（如果还有的话）都线性相关，则称12,riiiaaa是向量组的一个极大线性无关组.【注】只由一个零向量构成的向量组不存在极大线性无关组，一个线性无关向量组的极大线性无关组就是该向量组自身.【例 2.4】若12,riiiaaa与12,tjjj

27、aaa都是12,sa aa的极大线性无关组，则rt.【证明】因为12,riiiaaa是极大线性无关相，所以添加1ia后11,riijaaa必线性相关.那么1ja可由12,riiiaaa线性表出（【定理 2.5】）.类似地，2,tjjaa也都可由12,riiiaaa线性表出.又因12,rjjjaaa线性无关，得知tr（【推论 2.7】）.同理，.rt所以，.rt 【定义 2.7】向量组12,sa aa的极大线性无关组中所含向量的个数r称为向量组的秩，记为12(,)sr a aar.【定义 2.8】矩阵A中非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记作()r A.【定理 2.8】()r AA的行秩（矩阵A

28、的行向量组的的秩）=A的列秩（矩阵A的列向量组的秩）.【定理 2.9】经初等变换矩阵、向量组的秩均不变.【定理 2.10】若向量组（）可由向量组（）线性表出，则()().rr 特别地，等价的向量组有相同的秩.【注】秩相同的向量组不一定等价.例如12(1,0),(2,0)aa与12(0,1),(0,2).6矩阵秩的重要公式 （1）()().Tr Ar A （2）()()().r ABr Ar B （3）()(),0.r kAr A k （4）()min(),().r ABr A r B （2.7）（5）如A可逆，则()();r ABr B如B可逆，则()().r ABr A （6）A是mn矩阵，

29、B是np矩阵，如0AB，则()().r Ar Bn 【例 2.5】,A B都是mn矩阵，则()()().r ABr Ar B 【证明】设A的列向量中12,riiiaaa是其一个极大线性无关组，12,tjjj是B的列向量的一个极大线性无关组.那么，A的每一个列向量均可以由12,riiiaaa线性表出，B的每一个列向量均能用12,tjjj线性表出.于是AB的每一个列向量kka都能用12,12,rtiiijjja aa线性表出.因此，AB列向量组中极大线性无关组的向量个数不大于向量组1212,rtiiijjjaaa中间量个数.即()()().r ABrtr Ar B 【例 2.6】A是mn矩阵，B是

30、np矩阵，如0,AB 则()().r Ar Bn 【证明】构造齐次方程组0Ax，对矩阵B按列公块，记12(,),pB 那么 1212()(,)(0,0,0),pPABAAAA 于是12,0,pAx 解向量而0Ax 解向量的秩所以 12()(,)(),pr Brnr A 移项即有()().r Ar Bn 7向量空间与予空间 【定义 2.9】设V是n维向量的非空集合，且V中向量对于加法及数乘这两种运算封闭，则称V是向量空间.【定义 2.0】设W是向量空间V的一个非空子集，如W叹V的加擕数乘两运算都封闭，则称W是V的予空间.【例 2.7】n元齐次方程组0Ax 的解向量的集合是nR的子空间，通常称为A

31、的解空间.而线性方程组Axb的解向量的集合不是nR的子空间.因为当12,是Axb的解时，12不是Axb的解，即加法不封闭.8基、维数、坐标 【定义 2.11】设V是向量空间，若V中有n个向量线性无关，而V中任一向量都可由这n个向量线性表出，则称V是n维向量空间，这n个向量称为向量空间V的一组基.【定义 2.12】设12,na aa是向量空间V的一组基，那么V，有唯一的一组数，使1 122,nnx ax ax a 称有序数组是向量在基下的坐标.9基变换与坐标变换 【定义 2.13】若12,na aa与是向量空间V的两组基，则基变换公式为 111212122212121212()()(),nnnn

32、nnnnncccccca aaa aa cccc （2.8）其中C是可逆矩阵，称为由基12,na aa到基12,n 的过渡矩阵.【注】C中的第j列就是j在基12,na aa下的坐标.【定义 2.14】若向量在基12,na aa与基12,n 的坐标分别是 12(,),TnXx xx12(,),TnYy yy 即1 1221122,nnnnx ax ax ayyy则向量坐标变换公式为 ,XCYX-1或Y=C （2.9）其中C是从基12,na aa到基12,n 的过渡矩阵.【评注】当向量空间取定一组基之后，每个向量都可由这组基唯一地线性表出.求向量的坐标也就是求线性方程组的解.由于向量空间中，基向量

33、的选取不是唯一的（犹如向量组的极大线性无关组），应掌握基变换及坐标变换公式，要会求过渡矩阵.由于 11212()(),nnCa aa （2.10）除可先求出112(,)na aa，再作乘法求C外，亦可用初等行变换 （2.11）直接求C.10标准正交基与 Schmidt正交化 【定义 2.15】向量空间一组基中的向量如果两正交，就称为正交基；若正交基中每个向量都是单位向量，就称基为标准正交基.【定义 2.16】若12,sa aa线性无关，则可构造12s 使其两两正交，且i仅是1,a2,iaa的线性组合(1,2,),is再把i单位化，记,iii则12,s 是标准正交向量组.令11,a则 31322

34、12213312111122(,)(,)(,),(,)(,)(,)aaaaa （2.12）【注】考生要掌握 Schmidt正交化.三、典型题型分析及解题方法与技巧 题型（一）线性组合、线性相关的判别 【例 2.8】（1）(1,2,)t可由123(2,1,1),(1,2,7),(1,1,4)aaa 线性表出，则_.t （2）123(1,0,5,2),(3,2,3,4),(1,1,3)aaat 线性相关，则_.t （2）已知向量组1234,a a a a线性无关，则命题正确的是（）.（A）12233441,aa aa aa aa线性无关 （B）12233441,aa aa aa aa线性无关 （C

35、）12233441,aa aa aa aa线性无关 （D）12233441,aa aa aa aa线性无关 （3）设12,sa aa是n维向量，下列命题中正确的是（）.（A）如sa不能用121,sa aa线性表出，则12,sa aa线性无关 （B）如12,sa aa线性相关，sa不能由121,sa aa线性表出，则121,sa aa线性相关 （C）如12,sa aa中，任意1s个向量都线性无关，则12,sa aa线性无关 （D）零向量 0 不能用12,sa aa线性表出 【分析】（1）有零向量的向量组肯定线性相关，任意1n个n维向量必线性相关，因此(),()AB均线性相关.对于（D），若0d，

36、肯定线性相关；若0d，则(,1,2,3)(,1,2,3)(,0,0,0),ababdd 即124,a a a线性相关，而线性相关的向量组再增加向量肯定仍是线性相关，因此不论哪种情况，（D）是线性相关的.（也可直接计算行列式，【定理 2.2】）由排除法可知（C）入选.另一方面，若能观察出1(1,0,0)，2(0,2,3)，3(4,5,6)所构成的行列式 1000230,456 则可知123,线性无关，而123,a a a是其延伸组，即不论如何扩充均线性无关，故选（C）.【注】在求齐次方程组的基础解系时，要按阶梯形给自由变量赋值，就可确保延伸后的解向量是线性无关的，也是基于这一原理.（2）由观察法

37、可知12233441()()()()0aaaaaaaa，即（A）线性相关.【注】若123,a a a线性无关，则122331,aa aa aa是线性无关的.两者不要混淆.请考虑：若12,sa aa线性无关，122311,sssaa aaaa aa的线性相关性.对于（B），12233441()()()()0a aaaaaaa线性相关.而（C）中，12233441()()()()0aaaaaaaa线性相关.由排除法可知（D）正确.作为复习并掌握基本方法，请读者直接证明（D）线性无关，若有困难可参看题型（二）中【例 2.14】.（3）（A），（C），（D）均错，仅（B）正确.（A）当sa不能用121

38、,sa aa线性表出时，并不保证每一个向量(1,2,1)ia is都不能用其余的 向 量 线 性 表 出.例 如，123(1,0),(2,0),(0,3),aaa虽3a不 能 用12,a a线 性 表 出，但12312,3200,aaaa a a是线性相关的.【注】当且仅当每一个向量都不能用其余向量表示时，12,sa aa才线性无关.（C）如12,sa aa线性无关，可知它的任何一个部分组均线性无关.但任一部分组线性无关不能保证该向量组线性无关.例如 12(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1),(1,1,1,1),neeea其中任意n个都是线性无关的，但这1n个向量是线性相

39、关的.（D）在线性表出的定义中，对组合系数没有任何约束条件，因此，零向量可以用任何向量组线性表出，最多组合系数全取为 0，即120000.saaa 其实，零向量 0 用12,sa aa表示时，如果组合系数可以不全为 0，则表明12,sa aa是线性相关的，否则线性无关.关于（B），由于12,sa aa线性相关，故存在不全为 0 的(1,2,)ik is使 1 1220.ssk ak ak a 显然，0sk（否则sa可由11,saa线性表出），因此121,sa aa线性相关.【评注】线性相关或无关问题本质上是齐次方程组有无非零解的问题.要求考生对诸如：一个部分组线性相关，则整个向量组必线性相关；

40、阶梯形向量组必线性无关；向量组线性无关，则其延伸组必线性无关；等充分条件应用灵活运用.【例.12】若向量组123,a a a线性相关，向量组234,a a a线性无关，试问4a能否由123,a a a线性表出？并说明理由.【解】不能.因为已知234,a a a线性无关，那么23,a a线性无关，又因123,a a a线性相关，所以1a可由线性表出.设如4a能由123,a a a线性表出，那么 41 122331 2221 333()(),ak ak ak ak lkak lk a 即可由23,a a线性表出，从而234,a a a线性相关，与已知予盾.因此，4a不能用123,a a a线性表出

41、.【例 2.13】已知线性方程组 1 122334451 122334451 122334451 12233445,.a xa xa xa xab xb xb xb xbc xc xc xc xcd xd xd xd xd 的通解是(2,1,0,3)(1,1,2,0),TTk如令(,),1,2,5.Tiiiiiaa b c di 试问：（1）1a能否由234,a a a线性表出？（2）4a能否由123,a a a线性表出？并说明理由.【分析】从线性方程组的通解可看出相应齐次方程组的通解，亦可得到列向量组的秩及列向量ia之间的联系.【解】（1）1a可由234,a a a线性表出，因为(1,1,2

42、,0)Tk是相应齐次方程组0Ax 的通解，有 123412311(,)0,20,20a a a aaaa即 所以123420,aaaa即1a可由234,a a a线性表出.（2）4a不能用123,a a a线性表出.如果4a能用123,a a a线性表出，则 1231234(,)(,)().r a a ar a a a ar A 由于0Ax 的基础解系仅一个向量，于是有()13r An.那么，线性无关，与1232aaa相予盾.题型（二）线性相关与线性无关的证明 【例 2.14】已知123,a a a线性无关，证明122312323,aa aa aaa线性无关.【证法一】若1122233123(

43、23)()()0,xaax aax aaa整理得 1311232233(2)(3)()0.xx axxx axx a 唱峰知条件123,a a a线性无关故组合系数必全为 0，即 故齐次方程组只有零解，即1230.xxx因此122312323,aa aa aaa线性无关.【证法二】令则有 112321233123233,22,2,aaa 那么，向量组123,a a a与123,可互相线性表出，它们是等价向量组，因而有相同的秩（【定理 2.10】），由于123,a a a线无关，则 123123(,)(,)3,rr a a a 所以，123,线性无关，即122312323,aa aa aaa线性

44、无关.【例 2.15】设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组0kA x 有解向量a，且10.kAa证明：向量组1,ka AaAa是线性无关的.【证法一】没有常数12,k 使得 1120.kkaAaAa 用1KA左乘上式，得 1112()0.kkkAaAaAa 由0,kA a 知120,KkAaAa从而有110.kAa 因为10,KAa所以10.类似可证230,k故向量组线性无关.【证法二】（反证法）如 EMBED Equation.DSMT4 21,ka Aa A aAa线性相关，则存在不全为 0 的数，使 1120.kkaAaAa 设12,k 中第一个不为 0 的数是，则 1110,i

45、ikiikAaA aAa 用K iA左乘上式，利用10,kkA aAa得，10.kiAa 由于0,i得10KAa，与已知矛盾.【例 2.16】A是nm矩阵，是mn矩阵，其中,nm若,ABE证明B的列向量线性无关.【证法一】对矩阵B按列分块，记12(,),nB 如11220.nnxxx用分块矩阵可写成 1212()0,0.nnxxBxx 即 用矩阵A左乘上式，并代入,ABE得0 0.x E ABx A 所以B的列向量12,n 线性无关.【证法二】对于ABE，把B与E均安行分块，记作 1111121212222212,mmnnnmmneaaaaaaeaaae 其中2(,)iiliinab bb是B

46、的第i行，(0,0,1,0,0)ie 第i个分量为 1.用分块矩阵乘法，易见11112211,mmaaae即1e可由12,m 线性表出.同理，2,nee也均可由12,ma aa线性表出.显然，坐标向量12,ne ee可表示任一个n维向量1 122.iiiinnb eb eb e于是12,m 与12,ne ee可互相线性表出，是等价向量组，有相同的秩.所以 1212(,)(,).mnr a aar e een 因为，矩阵的秩=行秩=列秩（【定理 2.8】），从()r Bn知，B的列向量组线性无关.【证法三】因为B是mn矩阵，且nm，从矩阵秩的定义知：()r Bn.又因()()(),r Br AB

47、r En 所以()r Bn，那么B的列向量组的秩是n，即其线性无关.【例 2.17】A是n阶矩阵，123,XXX是n维列向量，且1112120,XAXkXAXlXkX 323,0,AXlXkXl证明123,XXX线性无关.【分析】对112230,k Xk Xk X如何证明组合系数1230kkk呢？要作恒等变形应仔细分析已知条件，iAX的条件其实就是 12132()0,(),().AkE XAkE XlXAkE XlX 这启发我们应用AkE左乘来作恒等变形.【证明】若1122330,k Xk Xk X用AkE左乘有 112233()()()0k AkE XkAkE XkAkE X 即21320,

48、k lXk lX 亦即21320.k Xk X 再用AkE左乘，可得310.k X 由10,X 故必有30,k 依次往上代入得20k 及10k，所以123,XXX线性无关.【例 2.18】n维向量12,n 非零且两两正交，证明12,n 线性无关.【分析】对11220,nnkkk题中的条件是正交，因此应通过内积来作恒等变形.【证明】知11220,nnkkk用1作内积，有 111222(,)(,)(,)0.nnnkkk 由于,ij 两两正交，故(,)0,iiij 有111(,)0.k 因为1非零，2111(,)0,从而 类似地，用i作内积可知0(2,3,),ikin所以，12,n 线性无关.【例

49、2.20】如果向量可以由12,s 线性表出，证明：表示法唯一的充分必要条件是线性无关.【证明】必要性（用反证法）如12,s 线性相关，则存在不全为 0 的数12,sl ll使 11220.sslll 因已知可由12,s 线性表出，设为 1122.sskkk 两式相加，可得到 111222()()()sssklklkll 由于il不全为 0，故1122,sskl klkl与12,sk kk是两组不同的数，即有两种不同的表示法，与已知矛盾.充分性（用反证法）若有两种不同的表达式，设为 1122,ssxxx 1122.ssyyy 两式相减，得111222()()()0,sssxyxyxy 由于112

50、2,ssxy xyxy不全为 0（否则是一种表示法）得，12,s 线性相关，与已知矛盾.【评注】线性相关、线性无关的证明，常用的思路是用定义.设 11220,sskkk （）然后对此式作恒等变形（要向已知伯伯靠拢！）.虽由ABAC得不到BC，消去律是不成立的，但从BC可得到ABAC.因此恒等变形的一种重要技巧就是按已知条件的信息，对（）式乘上某个“A”（如【例 2.15】，【例 2.18】，以及【例 2.16】的证法一，【例 2.19】的证法二等），另一方法是展开整理（）式，直接用已知条件转化为齐次线性方程组（如【例 2.14】的证法一），最后通过分析论证12,sk kk的取值，得出所需结论.