中考复习：几何图形中的最值问题.pdf

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1、中考复习：几何图形中的最值问题 几何图形中的最值问题 1.如图，在 RtABC 中，/ACB=90,AB=5,BC=3.若点 D 是 AB边上任意一点，且不与点 A、B重合，连接CD.将 BCD沿着CD 所在的直线翻折，使得点B落在点B处，连接AB；则AB的最小值 为.1【解析】在RtzABC中，根据勾股定理可得：AC=A/AB2-BC2=452-32=4,由对称性可知：BC=BC=3,BC的长度固定，.当 AB+BC的值最小时，AB的值最小，根据 两点之间，线段最短”可 知当A、B、C三点共线时，AB最小，/.AB=AC-BC=4-3=1.2.如图，在菱形 ABCD 中，AB=4，3,/AB

2、C=60,点 M、N 分别 是BC、CD上任意一点，点 P是BD上一点，连接PM、PN,则PM+PN的最小值为.第2题图 第2题解图 6【解析】如解图，作点N关于BD对称的点N；根据菱形的对称 性可知点N在AD上，又由两平行线之间，垂线段最短，过点 N作 NMLBC于点M,故MN与BD的交点P即满足PM+PN的值最小,故 MN=AB sin/ABC=4小学=6.3.如图，在矩形ABCD中，AB=9,BC=12,点E是BC中点，点 F是边CD上的任意一点，当zAEF的周长最小时，则 DF的长为 6【解析】如解图，作点E关于直线CD的对称点E,连接AE交 CD于点F,在矩形ABCD中，AB=9,B

3、C=12,点E是BC中点，CE，CF 一 6 .BE=CE=CE=6,VABXBC,CDXBC,/.CE，=CF,即-=BE AB 12+6 CF 9,解得 CF=3,.DF=CD CF=93=6.4.如图，在 RtzABO 中，/AOB=90,AO+BO=5,延长 AO 到 C,使OC=3,延长BO到D,使OD=4,连接BC、CD、DA,则四边 形ABCD面积的最大值为.ZL C 次 A B A第3题解图 中考复习：几何图形中的最值问题 第4题图 18【解析】设 OA=x,OB=y,.AO+BO=5,，x+y=5,.延 长 AO 至U C,OC=3,延长 BO 至U D,OD=4,连接 BC

4、、CD、DA,1 1 1/AOB=90,S 四边形 ABCD=SAACD+SABC=2AC OD+?ACOB=2 1 1,AC(OD+OB)=2AC BD=2(x+3)(y+4),.x+y=5,S 四边形 ABCD 1 1 1 一一=2(x+3)(5-x+4)=2(x+3)(9 x)=/(x3)2+18.四边形 ABCD 的最大面积为18.5.如图，已知四边形 ABCD,/BAD=120,CBAB,CDXAD,且AB=AD=3,点E、F分别是 BC、CD边上的动点，那么zAEF 周长的最小值是.6场【解析】如解图，延长AB至点M,使BM=AB,延长AD至点 N,使DN=AD,连接MN,交BC于

5、点E,交DC于点F./CBXAB,CDXAD,.BC、CD 是 AM、AN M E 第5题图 第5题解图 的垂直平分线，/.AE=ME,AF=FN.vAAEF 的周长=AE+EF+AF=ME+EF+FN=MN,此时 AEF 的周长为线段 MN 的长.v AB=AD=3,.AM=AN=6,./BAD=120,/M=/N=30,MN=2AM cos30=12X=6 3.中考复习：几何图形中的最值问题 6.如图，在 RtABC 中，ABXBC,AB=6,BC=4,P 是4ABC 内 部的一个动点，且满足/PAB=/PBC,则线段 CP长的最小值为 第6题图 第6题解图 2【解析】如解图，./PAB=

6、/PBC,/ABC=90,./BAP+/PBA=90；/APB=90；.点P始终在以AB的中点。为圆心，以OA=OB=OP=2AB=3为半径的圆上，由解图知，只有当在点 P在OC 与。的交点处时，PC的长最小.在RtzOBC中，OC=yOB2TBC2=32+42=5,/.PC=OC-OP=5 3=2,线段 CP长的最小值 为2.7.如图，在矩形 ABCD中，AD=2,AB=3,点E是AD边的中点，小 01【解析】如解图，点E是AD的中点，.根据翻折性质得A 点F是射线AB上的一动点，将4AEF沿EF所在直线翻折得到 AEF,连接AC,则AC的最小值为.第7题图 第7题解图 -1 1 AE=AE

7、=DE=2AD=2CE-AE,当E、A、C在同一直线上 时，即AC=CE AE,综上所述AC毛E AE,当E、A、C在同 一直线上时，AC有最小值，在RtzCDE中，CD=3,DE=1,.CE=A/CD2+DE2=3W=忻,.AC 的最小值为 CE-DE=V10-1.8.如图，正方形ABCD的边长为4,/DAC的平分线交DC于点E.若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则 DQ+PQ的最小值是 API)A P I)第8题图 第8题解图 2y2【解析】如解图，作D关于AE的对称点D；DD交AE于F,再过 D作 DPLAD 于 P,v DD AE,./AFD=/AFD/AF=AF,/DAE=/CAE

8、,.ADFAADF,/.AD=AD=4,.D与 D 关于 AE 对称，/.QD=QD；.DQ+PQ=QD+PQ=PD；.DP 即为DQ+PQ的最小值，四边形ABCD是正方形，./DAD=45；AP=PD，.在 RtAPD中，PD2+AP2=AD2,即 2PD2=16,PD 中考复习：几何图形中的最值问题 =2也即DQ+PQ的最小值为2y2.9.如图，点P为边长为2的正方形ABCD外一动点，且PAX PB,连接AC、PC,则APAC的最大面积为.第9题图 第9题解图 1【解析】如解图，作出以AB为直径的。交线段AC于点E,连接PE、OE、BE,由AC为正方形的对角线及。的直径为AB,可 得4AE

9、B为等腰直角三角形，则点E为AC的中点，.$APC=2SXAPE,要使得4APC的面积最大，只需使得 4APE面积最大即可./AE 1 _ 长度为定值，只需使4APE中AE边上的图最大即可，VAE=-AC=1S/AB2+BC2=/，OA=OB=OE=1,.AOE 是等腰直角三角 形，.口AOE中，利用等面积法求得AE边上的高为OAEE=%=*，.APE中AE边上的高的最大值为1+乎，.APE面积的最 大值为 2 X1+g)W2=222+2，.PAC 的最大面积为 2乂、22+：)=2+1.10如图，在四边形 ABDE中，C是BD边的中点，BD=8,AB=2,DE=8.ZACE=135,则线段A

10、E长度的最大值是.10+4啦【解析】如解图，分别将AABC、zCDE沿AC、CE翻 折，则点B落到点F处，点D落在点G处，连接AG、FG.由两点之 间线段最短”可知 AGWAF+FG,AEWAG+EG,.AEWAF+FG+EG,.如解图所示，当点A、F、G、E四点共线时，AE最大，此 时，AE=AF+FG+EG,由翻折可证 AACBAACF,.CB=CF,AB=AF,/ACB=/ACF.同理，ACDEACGE,CD=CG,DE=GE,/ECD=/ECG./Z ACE=135,./ACB+/ECD=45=/ACF+/ECG,./FCG=90.又BCMDC,FC=GC,.FCG 是等腰直角三角形.BD=8,AB=2,DE=8,.AF=AB=2,EG=DE=8,由勾股定理得 FG=42+42=4啦，AE=AF+FG+EG=10+4/.即AE的最大值为10+4啦.BCD BCD 第10题解图 第10题解图