人教版高数选修2-2第5讲：定积分的概念与微积分基本定理(教师版).pdf

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1、1 定积分的概念与微积分基本定理 掌握定积分的计算，了解定积分的物理意义，会利用定积分求平面区域围成的面积 从前面求曲边图形面积以及求变速直线运动路程的过程发现，它们都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都归结为求一个特定形式和的极限，n n i n n I S=lim v f i x=lim f i S=lim，v；：t=lim v x niiw n Ty nT：y n 事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限 1定积分的概念 一般地，设函数f(x)在区间a,b上连续，用分点 a=Xo Xi X2 III xix 1H Xn=b 将区间a,b等分成n个小区间，在每个小

2、区间 xi，x】上取一点与(i=1,2,用，n),作和式：n n f i=、b-f i i 1 i 1 n 当nT+g)时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间a,b上的定积分。n b b b-a 记为：f f(x)dx 即f(x)dx=lim Z -f(i)a a n tim n 其中函数f(x)叫做,x叫做 变量，区间a,b为 区间，b积分,a积分。b 说明：(1)定积分f f(x)dx是一个常数 a(2)用定义求定积分的一般方法是：分割：n等分区间a,bl；近似代替：取点匕w Ixi,，x】;n b a 求和：b ba f(，)；取极限:i 1 n b(3)曲边图形

3、面积：S=J f(x dx;变速运动路程 f(x)dx=lim%f i 二i n t2 S=,vdt、定积分的概2 2定积分的几何意义 从几何上看，如果在区间a,b上的函数f(x)连续且恒有 财)b f(x)之0。那么定积分 f f(x)dx表示由直线x=a,x=b(arb),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。o 3定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质:性质解释:SM梯形 AMNB=SW边梯形 AMPC,SY边梯形 CPNB 二、微积分基本定理：变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻 t时物体所在位置为 S(t),速度为v

4、(v(t)之0),T2.则物体在时间间隔Ti,T2内经过的路程可用速度函数表示为 v v(t)dt Ti 另一方面，这段路程还可以通过位置函数 S(t)在Ti,T2上的增量S(Ti)-S(T2)来表达，即 T2 T v(t)dt=S(Ti)-S(T2)Ti 性质 b idx=b-性质 b kf(x)dx=k b f(x)dx(其中k是不为 0的常数)(定积分的线性性质)性质 b fi(x)二 b(x)d次 a b 1 f(x)d x 2 f(定积分的线性性质)性质 b f(x)d x b(x dx c(f)xM 说明：推广:(定积分对积分区间的可加性)b fl(x).f2(x)IM fm(x)

5、dx=a fi(x)dx_ f2(x)dx IM fm(x)a a ci C2 推广：f(x)dx=j f(x)dx，I f(x)dx HI f(x)dx a a。ck Ck 性质1 y=1 3 对于一般函数f(x),设F(x)=f(x),是否也有 b a f(x)dx F b F a 若上式成立，我们就找到了用f(x)的原函数(即满足F(x)=f(x)的数值差F(b)-F(a)来 计算f(x)在a,b上的定积分的方法。注：1：定理 如果函数F(x)是a,b上的连续函数f(x)的任意一个原函数，则 b a f(x)dx=F(b)-F(a)a x 证明：因为(x)=f f(t)dt与F(x)都是

6、f(x)的原函数，故 a F(x)-6(x)=C(a E x b)其中C为某一常数。a 令 x=a得 F(a)-(a)=C,且(a)=f f(t)dt=0 a 即有 C=F(a),故 F(x)=6(x)+F(a)x：D(x)=F(x)-F(a)=f(t)dt a b 令 x=b,有 J f(x)dx=F(b)-F(a)a 藏例亚百)类型一：定积分的概念：例1计算下列定积分 1.f(2x-4)dx 0 5 解：1.0(2x4)dx 2.因为(ln x)=,所以 f-dx=ln x|2=In 2 Tn1=In 2。x 1 x，2、八，1、,1，3 1、，3 3 1.3.因为(x)=2x,()=一一

7、2,所以(2 x-2_)dx=12xdx 一1一2dx x x 1 x 1 1 x 2 3 1 3 1 22=x2|3 T=(9-1)(1-1)=。x 3 3 例2.计算由两条抛物线 y2=x和y=x2所围成的图形的面积【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得3 1 3(2x7dx。=9-4=5 而 S(t)=v(t)。4 答案：C2 2 2 1 3.若 S1=x dx,S2=dx,S3 1 1 x 2 y(exdx,则S1S2s3的大小关系为(A.S1：S2：S3 B.S2 S1 S3 C.S2 二 S3 二 S1 D,S3 S2 g(x),那么下列

8、情形不可能 出现的是()A.0是f(x)的极大值，也是 g(x)的极大值 B.0是f(x)的极小值，也是 g(x)的极小值 C.0是f(x)的极大值，但不是 g(x)的极值 D.0是f(x)的极小值，但不是 g(x)的极值 答案：C 到。解:!y=次=x=0&x=1,所以两曲线的交点为 2 y=x(0,0)、(1,1),面积 S=0 xdx 一 _ 1 2 2 m x S=(,x-x)dx=-x-一 0 3 3 11=3,0【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤:1.作图象；2.求交点;定理求定积分。3.用定积分表示所求的面积;4.O一D.A 微积分基本 练习:2 1 4.若 f(x)

9、=x2 f(x)dx,则 1 L f(x)dx=(A.-1 1 C.一 D.1 答案旧 1 5.定积分3(2 x+ex)dx的值为(Ae 2 B.e 1 C.e D.e-1 B C 0.4 y-x 2 y=x 5 2 5：已知二次函数 f(x)=ax+bx+c的导数为 f(x),f(0)0,对于任意实数 x都有 f(x)_ 0,贝U-f-(1)的最小值为(f(0)A.3 答案：C 二、定积分求面积 1.直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.2,2 B.4.2 C.2 D.4 答案：D 2 2.直线l过抛物线C:x=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积

10、等于()答案：C .1 一，3.已知函数y=f(x)的图象是折线段 ABC,其中A(0,0)、B(,5)、C(1,0),函数y=xf(x)2(0 x 0)表不成TE积分()n n A.01dx B.0 xpdx C._0(1)Pdx D.0(-)pdx x x n【答案】B 1 p 2P,3p+n p,C.2 3 D.2 A.B.2 C.D.Com 16 2 6 lim 1-2一3八.n(pA0),我们知道求和式可以表示为 nf：nP 1 11c 2 c.n c c(一)p十(一)p十+(一)p,故可以知道被积函数为 f(x)=xp,积分区间为0,1 n n n n 【解析】由求和式极限 7

11、3.求由y=ex,x=2,y=1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为（）2_ A.0,e2 B.0,2 C.1,2 D.0,1【答案】B【解析】根据作图来判定积分区间。4.如下图，阴影部分的面积为（）b A.af(x)-g(x)dx ag(x)-f(x)dx cf(x)-g(x)dx b b C af(x)-g(x)dx c g(x)-f(x)dx b D.ag(x)f(x)dx【答案】B【解析】利用定积分的几何意义和定积分的运算性质可以得到。二、填空题（每题10分，共40分）5.由定积分的几何意义分析，则 第：9-x2dx=【答案】2【解析】理解积分表示的几何意义，由x=

12、3,x=-3,y=0和函数y=J9_x2围成的面积,结合图形 我们知道，所求的面积是圆面积的一半。1 1 1 6.将和式lim(-十-+.十)表木为TE积分 n 1 n 2 2n 一 1 1【答案】dx 01 x【解析】根据和式变形我们可以得到 1 1 1 1 n n .一=(n 1 n 2 2n n n 1 n 2 1 这样我们就可以找到原来的函数 f(x)=1 x 的功是（ba）.1 1、【答案】km1m2（）B.7.按万有引力定律，两质点间的吸引力 mm2 2 r k为常数,两质点间距离，若两质点起始距离为a,质点 R沿直线移动至离 m1，m2为两质点的质量，r为 m2的距离为b处，试求

13、所做 8 a b【解析】运用以不变代变的思想，将区间 a,b分割为n等分，然后取近似值求和，取极限可以 得到解。8.由y=cosx及x轴围成的介于 0与2兀之间的平面图形的面积，利用定积分形式应表达为 9 2 【答案】0 cos x dx【解析】作出余弦函数图象，我们可以发现，在区间 0二与|史,2冗1上，cosx之0,2 _ 2 _ 二 3 而在区间n与 冗 上 cosx 0,这样我们结合定积分的运算性质可以把其合并为 2 一 2 2 二 0|cosx dx 三、解答题（共20分）1 2 9.利用定义求定积分 x2dx的值。1【答案】I 3【解析】解：因为x2在区间0,1】上连续，所以jx2

14、dx存在把区间 lim-i-x +1+1)=-押，6 J 3 I.求由曲线y=-豉，直线y=-x+2及y轴所围成的图形的面积错误的为（A-o&x、x）dx B.1 0,1】分成n等份，每份长一，n 各分点是:x0=0,1 2 x1=,x2=n n,xn=n-1 n 当堂总，必家居作 一、选择题 基础巩固 10 2 2 C.(2-y-y)dy-2【答案】C.D.、.xdx 0 0 2 j4-y)dy 11 A 红 B.4 C.3 D.-5 3 2 2【答案】解析：根据图像可得：y=f(x)=-x2+1,再由定积分的几何意义，可求得面积为 一 1 2 1 3 14 S=(-x 1)dx=(x x)

15、=-.4 3 3 5.如图所示，在边长为1的正方形OAB阱任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为()二 3,3 A.一 -2 3 31 C.3 1-x2,(x .3),(V3 x 2),则.(x-2)21f(x)+xdx 的值为(B.D.-：5.3 -3 2 二 5.3 -十-2 3=x的图像过点P(2,4),则图中阴影部分的面积等于(2 D.一 3 4.已知二次函数y=f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为(【答案】C.B.A.3【答案】C.12 1 _ 2 3:*S阴影=0(.x-x)dx=(-x2 3 1 一 1=S正=1,故P=,答案C 6 6 1 A 4【答案】%+L

16、(T Vx 1),则 a 的值是(1 x A.2 C.4【答案】A.1 1.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车 位：s,v的单位：m/s）行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离（单位；m）是（）过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直，则1与C所围成的图形的面积等于（C.8 3 B.3 D.6 25，以速度v(t)=7 3t+5(t的单 A.1251n5 11 B.8 251n 一 3 C.4 251n5 D.4 501n 2【答案】C解：令v（t）=73t 25 一 .、一+，5-=0,则t=4.汽车刹车的距离是 1 t。7-3t 含=4+251n5,故选 C.B.2 C 1的

17、方程是y=1,所求面积相当于 个矩形面积减去一个积分 14 2 值:SM-2.0 2 2 c x./x 2 8 dx=4-(O)=12 二、填空题 1 exdx【答案】e-1 14.由曲线y=JX,直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为 15 16若/=9,则常数丁的值为 T3八 C=9=T=3 1 2 计算TE积分(x sin x)dx=2【答案】2【解析】本题考查有关多项式函数，三角函数定积分的应用.3 J,2 一、,x/(x+sinx)dx=-cosx|i3 r cos1 -cos1 3 3 2 1 _ 1 8.设函数 f(x)=ax+c(a*0),若(f(x)dx=f(x0),其中 0

18、 x0 1,则 x0=19.设a A0.若曲线y=Vx与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为 a2,则a=【答案】【解析】由已知得 3 3 1 f Vx=x2|0=a2=a2,所以 a2=,所以 a=0 3 3 3 9 2 0.函数 f(x)=x3-x 2 2+x+1在点(1,2)处的切线与函数 g(x)=x围成的图形的面积等于【答案】16【解析】3 由f y=x-2 一 x 二 4，解得，即B(4,2)，所以所求面积为 y=2 4 2 3 0.x-(x-2)dx=(3x 1 2-x 2x)2 16 能力提升【答案】3解:T 2 x3 x dx=0 3 2【答案】e 1 5.计算广(2x+

19、1)d 1 x 16 3 2 1.如图，圆O:x2+y2=n2内的正弦曲线 y=sin x与x轴围成的区域记为 M(图中阴影部 分)，随机往圆。内投一个点 A,则点A落在区域M内的概率是.【答案】二 3 71 2 2.已知函数y=f(x)的图像是折线段 ABC若 A(0,0),B(2,1),Q1,0).函数 y=xf(x)(0 Ex E1)的图像与x轴围成的图形的面积为 “y M 二不 N,O|D 1 x 图 2 所以 y=xf(x)=2x2,0ExM-2x2 2x,2：x _ 1 易知，y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同 图2,封闭图形MN OMP:等，面积相等，故所求面积即为矩形 ODMPJ面积S=2 i.2 3.图中阴影部分的面积等于【答案】1 1c 解：根据积分应用可知所求面积为103x dx=x 0=1。【答案】解析 如图1,2x,0 x4 2-2x,-2 x1,只是开口方向及顶点位置不同，如 17 2 4.由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积为 1 2 3 1 3 1 4 j0(x-x)dx=(x-4x)3 1 0(x 1)dx=【答案】【解析】结合图形可知所求封闭图形的面积12