江苏省南通市海安县2020届高三上学期期中质量监测数学试题Word版含解析.pdf

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1、江苏省南通市海安县2020届上学期期中质量监测 高三数学试题 一、填空题（本大题共 14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.）1.已知全集 U=0,2,4,6,8,集合 A=0,4,6,则？iA=.2.已知复数z满足z（l+D=4-于（i为虚数单位），则复数z的模为.3.已知某民营车企生产 A,B,C三种型号的新能源汽车，库存台数依次为 120,210,150,某安检单位欲从 中用分层抽样的方法随机抽取 16台车进行安全测试，则应抽取 B型号的新能源汽车的台数为.x I 4.设实数x,y满足 y 0，则x+y的最小值为 _&十2y之3 5.有红心1,2,3,4和黑桃5

2、这五张扑克牌，现从中随机抽取两张，则抽到的牌均为红心的概率是 6.运行如图所示的流程图，则输出的结果 S为.7.在平面直角坐标系 xOy中，已知双曲线t.y，=1的右焦点与抛物线y2=2px（p 0）的焦点重合，则p的值 4-为.8.已知函数十中）（A0,m0,0中冗）在R上的部分图象如图所示，则的值为.9.如图，在棱长为2的正方体 ABCD-AB1CD中，O为底面ABCD勺中心，则三棱锥 dA1BC的体积为 10.设等比数列即的公比为q(0vqv1),前n项和为安.若存在mEN，使得%4口7，且 Z-Sm=1。22%+,则 m 的值为.11.已知AB为圆的直径，点 C,D为圆上两点(在 AB

3、两侧)，且AC=1,AD=2,AB=3,则疝-正的值为 1-kx 12.已知函数Rx)=log.(k E R)为奇函数，则不等式f(x)1的解集为 _.x-1 2 2 13.已知正数x,y,z满足(x-i 2y)(-=4,且zb0)的长轴，过坐标原点。且倾斜角为135的直线交椭圆 a b E于C,D两点，且D在x轴上的射影D恰为椭圆E的长半轴OB的中点.(1)求椭圆E的离心率；(2)若AB=8,不过第四象限的直线 l与椭圆E和以CD为直径的圆均相切，求直线 l的方程.18.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族*中的成 员仅以自驾或公交方式通勤.分析

4、显示：当 S中x%(0 x,打)为函数Rx),g(x)的公共点，且函数f(x),在点T处的切线相同，求 a的值；(3)若函数y=-虱X)在(0,+)上的零点个数为 2,求a的取值范围.20.如果数列支，咒，%(m 3,mEN)满足：为a2v%;存在实数飞,，$，飞和 d,使得W/X w的一%w00,求证：对任意给定的不小于 3的正整数 m数列出 n+t(n=1,2,m都是“Q数列”；(3)若数列2“(n=1,2,，mi是Q数列”，求m的所有可能值.江苏省南通市海安县2020届上学期期中质量监测 高三数学试题参考答案 一、填空题(本大题共 14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应

5、的位置上.)1.已知全集 U=0,2,4,6,8,集合 A=0,4,6,则？UA=.【答案】2,8【解析】【分析】根据集合的补集的概念得到结果即可.【详解】在全集 U中找出集合A中没有的元素就是答案，所以，？uA=2,8 故答案为：2,8【点睛】这个题目考查了集合的补集的运算，较为简单 2.已知复数z满足+i)=4-药(i为虚数单位)，则复数z的模为【答案】屹 2【解析】【分析】根据复数的除法运算得到Z=-L,再由模长公式得到结果.2 2【详斛z=-=-,1+i 2 _ 2 2 一 M 49 5也 所以，复数z的模为：4 4 2 5企 故答案为：2【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数模长等，

6、考查了推理能力与计算能力，属于基础题，复数问题高 考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复 数的模长的计算 3.已知某民营车企生产 A,B,C三种型号的新能源汽车，库存台数依次为 120,210,150,某安检单位欲从 中用分层抽样的方法随机抽取 16台车进行安全测试，则应抽取 B型号的新能源汽车的台数为.【答案】7 根据分层抽样的比例计算得到结果 故答案为：7.【点睛】本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题.根据不等式组画出可行域，由图像得到目标函数经过 B点时取得最值.【详解】不等式组所表示的平面区域如图所示，当目标函数 z=x+y经

7、过点B(1,1)时,x+y有最小值为：1+1=2,【详解】抽取的比例为:16 120+210+二所以，抽取 B型号台数为:1 210 k =7，则x+y的最小值为 故答案为：2.【点睛】利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域.(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形.常见的类型有截距型(3X十切型)、斜率型(匚上型)x 4-a 和距离型(x I a)2 I(y-I 型)(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解.(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。5.有红心1,2,3,4和黑桃5这五张扑克牌，现从中随机抽取两张，则抽到的牌均

8、为红心的概率是.【答案】5【解析】【分析】五张扑克牌中随机抽取两张，有 10种，抽到2张均为红心的有6种，根据古典概型的公式得到答案.【详解】五张扑克牌中随机抽取两张，有：12、13、14、15、23、24、25、34、35、45共10种，抽到2张 均为红心的有：12、13、14、23、24、34共6种，,一 6 3 所以，所求的概率为：故答案为：【点睛】这个题目考查了古典概型的公式的应用，对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事 件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可 6.运行如图所示的流程图，则输出的结果 S为.【解析】由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知当 S

9、=2J=1 ;继续运仃：-;当1=3:时;S=-,应填答案-o 2 3 6 2 2 2 7.在平面直角坐标系 xOy中，已知双曲线 二.丁=1的右焦点与抛物线y2=2px（p0）的焦点重合，则p的值 4-为.【答案】【解析】【分析】根据双曲线的几何意义得到双曲线与抛物线的共同焦点为（百，0）,所以，3=小，P小.【详解】双曲线中，a=2,b=1,c=君，双曲线与抛物线的共同焦点为（君，0）,所以，弃於，P.冰 故答案为：【点睛】这个题目考查了抛物线和双曲线的几何意义，较为简单.一般和抛物线有关的小题，很多时可以 应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题

10、目，一般都 和定义有关，实现点点距和点线距的转化。8.已知函数（x）=+唠（A0,m0,0中无）在R上的部分图象如图所示，则RW的值为.因为。”兀，所以，L*,兀 7C 解析式为：f(x)=3sin(-x+二),4 4*r JE 7C 加 国 f(30=3sin(-x 36 4=)=35in(M i 辄 i-)=-3sin=4 4 4 4 2 故答案为：.2【点睛】已知函数y=Asinfmx十)十E(A 0)的图象求解析式,、maxmill _ ymsa+mill(1)三-.二-.2 2,一,ee,2兀(2)由函数的周期丁求&；=一,at(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 中 9.如图，在

11、棱长为2的正方体 ABCD-AiBiCDi中，O为底面ABCD勺中心，则三棱锥 0-A1BC的体积为 【分析】根据图像先得到解析式为:【详解】由图可知：A=3,兀 7L f(x)=3sin(-x+-),将x=36代入得到函数值.4 4 2兀 _ TL【解图象经过（3,0）,所以,【答案】【解析】【分析】求出棱锥的底面面积，求出棱锥的高，即可求解棱锥的体积.连接AC因为几何体是正方体，BQL AC,BOX C G,故BOL平面AOG,i i 4 O沈棱锥的高，则三棱锥 O-ABC的体积为：-乂-冥琬*2 乂&=-3 2*3,4 故答案为：3【点睛】本题考查几何体的体积的求法，判断几何体的形状，利

12、用正方体的性质是解题的关键.10.设等比数列%的公比为q(0vqv1),前n项和为若存在mEN,使得 4口7，且 Z-=1022%+J,则 m 的值为.【答案】9【解析】【分析】根据等比数列公式得到1 iq=-q,解出方程即可，再由等比数列的前 n项和公式得到结果即可【详解】由%+广1nl+,得：4n十4一=:加，即l-q2=4,山 山 1 因为0.W BC=.W(AC-.AB)=AD,AdAD AB=2 X 1 X-2 X 3X-32+4师【点睛】本题主要考查了向量的数量积的定义的简单应用，解题的关键是把图形中的问题转化为相应向量 的数量积.对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思

13、路为：向量基底化，用已知长度和夹 角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合 =kx 12.已知函数f(x)=log2-(k E R)为奇函数，则不等式 Rx)0,得：xv 一 X-1 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于 解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性 和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集。A+=且zw 3x,则P=3x+:的取值范围是 将不等式变形为：3T 5xy I 2y2工。，因式分解得到（x-y）jx-2y）主0故Vx0y

14、,x 十 2y y 3/3 即-w 二Wl,令t=3 P=+-,-t,再由函数的单调性得到函数的最值 3 v V 31 3 1P(x-yX3x-2y)0,即(x-y)(xy 0,2.2x.A x M 2.所以，=IP-1,令 t=-,贝门wt上 1,f(x)=logs,不等式 f(x)1 即为：log.,-1=所以，0V x-1 X 1 1 c -2,x-1,x i c 门口一x-i a 由-0,得：x3,X-1 综上可得：xv1或x3,所以，解集为:巴1)U(3,+00)将方程变形为 2【详解】（x4+:=4化为:4 1 1-,又 z|4 i-2a i-b 1.1(I-I-a+b)(4+2a

15、+b)-2|-+i-bl (l-i a+b)(4-i 2a+.一2c 1+b|=有多元化 兀，利用线性规划解决最值问题，或者利用不等式解决问题.也考查了利用导数研究函数的单调 性和最值的问题.14.设命题p：“存在/E 1,2,使得风土十或+b兰心，其中a,b,c R.”若无论a,b取何值时，命题 p 都是真命题，则c的最大值为 M|1+a+b|J 9 3.则!M 4 一 4 a*b 4 2(M|4 i-2a i-b|又因为三式做和与做差得到 1 +b)=进而得到 9 3 4M 1+at b 4+2a-i b|+2-i-b (1 卜 H*泠3”1 一,一 1 b|=,而c小于等于 M的最小值即

16、 可.【详解】记M=|xz+ax4 b|皿,则ML 9 3-i-a+b+b)4 4M 1+b|4+2a i b|+2 所以，P的取值范围是 14 M-,即c的最大值为-.8 8 故答案为：8【点睛】这个题目考查了二次函数的性质以及绝对值不等式的应用，和不等式同向相加的性质，题目较难 二、解答题(本大题共 6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.)15.已知a,b,c分别是 ABC的三个内角 A,B,C的对边，若平面向量x=(2b-c,cosC),y=(a,ccsA),JELX H y.(1)求cos A的值；(2)若tan B=,求角C的大小.

17、2【答案】(1)cosA=(2)C=-14 3【解析】【分析】(1)根据向量共线的坐标表示和正弦定理得到 83A=sinAcosC i-sinCcosA,由两角和差公式得到 SsinBcosA=sin!3,化简后得到结果；(2)由(1)知，cm A=,所以inA=2疝，进而得到正切值，14 14 tanA tanB.tanC=tan(A B)-代入求值即可.-lanAtanB【详解】(1)因为xlly,所以:飞 7.-：,：.I.-J*，.；.由正弦定理=得,Q市疝n13-sinQcosA=sinAcosC,sinA sinB sinC iP27sinBcosA sinAccsC+sinCco

18、sA,所以 在AABC中，A十H十C=兀，所以A+C=TT-B 从而，”布 因为HE(0，所以;smB。，从而8号4=一 14(2)由(1)知，cosA=.14 14 所以 m 亚 所以 .cosA。14 一.tanA+tanB 从而 1-umAtanB 兀 因为C E(OX),所以c=-.3【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问 题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应 注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说，当条件中同时出现ab及产、一时，往往用余弦定理，而题设 中如果边和正弦、余弦函

19、数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余 弦公式进行解答.16.如图，在四棱锥 PABCM,底面ABC皿菱形，/ABC=60,PA=AC,PB=PA亦AC,E是PD的中点,求证：(1)PB/平面 ACE(2)平面 PACL平面 ABCD 【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】(1)连结BD交AC于点O,连OE根据底面图像的特点得到。为BD的中点又E是PD的中点，故OE/PB,进而得到线面平行；(2)根据底面ABC虚菱形，/ABC=60,所以A ABC为正三角形，通过边长关系得到 PB=AB=&PA,从而，PA!AB,同理可证 PA!AD进而彳#到 PAL

20、平面ABCD再由面面垂直的判定得到平 面PACL平面ABCD.【详解】(1)连结BD交AC于点O,连OE.因为底面ABC比菱形，所以点O为BD的中点.又E是PD的中点，故 OE PB.又因为OEu平面ACE P平面ACE.(2)因为底面 ABCD菱形，/ABC=60,所以 ABC为正三角形，从而 AB=AC.又 PB=J2AC,PA=AC,所以 PB=AB=PA.从而，PAI AB.同理可证PAL AD,又因为 ABfl AD=A,且 AB,AD仁平面ABCD 所以PA1平面ABCD.因为PAu平面PAC 所平面 PACL平面 ABCD.【点睛】本题考查平面和平面垂直的判定和性质.在证明面面垂

21、直时，其常用方法是在其中一个平面内找 两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直，或者可以通过建系的方法求两个面的法向量使得两个面的 法向量互相垂直即可.2 2 17.如图，已知AB为椭圆E:三十三=1(ab0)的长轴，过坐标原点 O且倾斜角为135的直线交椭圆 a3 IT E于C,D两点，且D在x轴上的射影D恰为椭圆E的长半轴OB的中点.(1)求椭圆E的离心率；(2)若AB=8,不过第四象限的直线 l与椭圆E和以CD为直径的圆均相切，求直线 l的方程.【解析】【分析】（1）CD的方程为y=-x因为D在x轴上的射影D恰恰为椭圆E的长半轴OB的中点，所以。（|,-|卜代入椭 1 一，LL,、，rr

22、,j 1 16,，一 2 1 圆方程得到一=-进而得到离心率；（2）因为AB=8,所以2a=8,即a=4.由（1）知，b“=一从而得到 仔3 3|b|,圆和椭圆的方程，直线 l与以CD为直径的圆相切，所以 不=2匕，即联立直线l和椭圆E Jk2+1 的方程组，并消去 y整理得：（31?+l）l+6kbx+到 J 18=0,因为直线 l与椭圆 E相切，所以,=此2 r 401?+l）（3b2-16）=0,化简得，3bL 4岸/=解出参数值即可【详解】（1）因为直线CD过原点。且倾斜角为135。，所以CD的方程为y=-x.因为D在x轴上的射影D恰恰为椭圆E的长半轴OB的中点,闰 a 所以 x y

23、a-I 代入椭圆 E：1=1但卜0）得，一=a2 b2 b2 3 所以椭圆E的离心率1c 一、，一 16（2）因为 AB=8,所以 2a=8,即 a=4.由（1）知，b=y.从而椭圆E：x，3y=16,以CD为直径的圆：x：十y=g.设直线l的方程为：y=kx+b（k01b0）.|b|因为直线l与以CD为直径的圆相切，所以 IF-=现2,即gk?+g=b.微、I 联立直线l和椭圆E的方程组，并消去 y整理得：（31?十l）x，6kbx十3-16=口.因为直线l与椭圆E相切，所以,=（8kb9-4（31?十1）（3产-I可=0.化简得，3h 2-4Sk2=16.下 4而 由 4而 由得，k=y,

24、b=:，所以直线l的方程为7=万或十十.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆 锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问 题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦 达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用.18.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族 S中的成 员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当 8中x%(0 x100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间 30T 0 x30 为f(x)

25、=1r 18。G 八飞门(单位：分钟)，而公交群体的人均通勤时间不受 X影响，恒为40分钟,2x+-90,30 x 40时x的取值范围即可；(2)分段求出g(x)的解析式，判断 g(x)的单调性，再说明其实际意义.【详解】(1)由题意知，当30 x500时，一 1800=2x -90 40,x 即 drfiSx+QOOAO,解得xdJ或x45,，xE(45.时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；(2)当0式工卫30时，g(x)=30，X%40(1-x%)=40-当100时，-h ISO 一.X-13 g(x)=(2x+-90)-x%斗 40(1-x%)=-X+5S；x)50 1

26、0 x(40-一 f 13-x+5S 50 10 当。工时，虱乂)单调递减；当弘5mg时,单调递增；说明该地上班族S中有小于嵬.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于323%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少.【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力.19.已知函数 Rx)=，或x)=aflnx+K),a E R.(1)求函数f(x)的极值点；(2)已知T(x0,为)为函数fx),以衿的公共点，且函数f(x),:g(用在点T处的切线相同，求 a的值；(3)若函数y=在(0,+*)上的零点个数为 2,求a的取

27、值范围.【答案】(1)%=(2)a=e.(3)a e.【解析】【分析】对函数求导，得到导函数的零点和在零点两侧的单调性，进而得到极值点；(2)点T(心，y0)为函数f(x),V 0=a(lnxo+询)，虱乂)的公共点，且函数fix),g(x)在点T处的切线相同，所以。/I 且、0,联立两式消参(%+1=七十严 得到1n十乂口=1,从而求出零点，进而得到参数值；(3)设函数pg=fg-g(x),x O.则 p(x)=官=必,令P3=得，aMC函数单调故不可能有 2个零点，结合函数单调 x 性证明a e时有2个零点即可.【详解】(1)因为f(x)=xF,所以F(x)=(xi l)e.令 F(x)=

28、O得，x=-1,当时，F(x)v。；当时，F(x)h。，所以函数出乂)的极小值点为x=-1,不存在极大值点.(2)依题意窗3=1 1).因为点T(xo,y)为函数f(x),虱 2 的公共点，且函数Rx),虱x)在点T处的切线相同.殉色=-%所以！“广、且-%,0,七川 由得，=代入得,1)=0,显然。，所以.因为%=1满足该方程，且函数y=-工为单调增函数，所 以，=1,a=e.(3)设函数 p(x)=f(x)-g(x),x0.mtr(x 十 l)(xex-a)贝 U p3-(x)-g(x)=-，X 令p3=0得，xS=a.当0时，p(x0,所以P(K)为(0,m)上单调增函数，至多 1个零点

29、，不符，舍去；当a 0时，p,(x)=0得，x =a,由(1)知，f(x)为(-1,+)上单调增函数，所以 犬/=2在(0,+o)上 有唯一解，记为X,即p(x)=0的根为X.当x W(0,x j时，p(x)v0,单调递减 p(x)；当xE(xcc)时，p(x)。，p(x)单调递增.因为函数y=F(K)虱Q的零点个数为2.下证：a e时，函数y=F(x)-gg在(。，+)上的零点个数为 2.因为 PXUx=P(Xi)0?e!c c/e e)e p(2a)=2ae3a-4 1II2EI+2a)=a(e2a-ln2a+e2a-2a)0,根据P(K)的单调性结合零点存在性定理知，函数 P(K)在 J

30、,xi)上存在一个零点，在(xi,2a)上存在一个 e 零点，故函数p(*在(0,+8)上的零点个数为 2.所以a e.【点睛】求切线方程的方法：求曲线在点 P处的切线，则表明 P点是切点，只需求出函数在点 P处的导 数，然后利用点斜式写出切线方程；求曲线过点 P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程;(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲 线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上.20.如果数列由，%,，褊(m 3,meW)满足：画的%；存在实数月，小，吗,，。和 d

31、,使得 5wai*w%v刈w。Vw%v。，且对任意 0 W i w m-1(I GN),均有 用+%=d,那么 称数列%,，3m是Q数列”.(1)判断数列1,3,6,10是不是“Q数列”，并说明理由；(2)已知k,t均为常数，且k0,求证：对任意给定的不小于 3的正整数 m数列出 n+t(n=1,2,m都是“Q数列”；(3)若数列211(n=1,2,，mm是Q数列”，求m的所有可能值.【答案】(1)是(2)见解析(3)3或4【解析】【分析】(1)存在数列-1,2,5,8,11 成等差，且有-11235610 0,t E R,kn+1式0十l)n+I恒成立，所以数列 回十U(n=1,2,，m)满

32、足m为任意给 定的不小于3的正整数，1)十tWk，n十T恒成立，满足即可得证；(3)m=3或4时可举出具体的数列满 足条件；当 m=5时，不成立，从而当 m5时，数列2n,(n=1,2,3,，mm不可能为“Q数列”，由此 求出m的所有可能取值为 3或4.【详解】(1)数列1,3,6,10是“Q数列”.因为存在数列-1,2,5,8,11成等差，且有-11235610 0,tER,1十七式代十1+1恒成立，所以数列fknT(n=1,2,，m)满足.又存在等差数列(n=0,1,城，其中k1=k。,1父三t+k,使得对任意的n=1,2,，m其中m为任意给定的不小于 3的正整数，k(n-1)十十t恒成立，满足，即证.(3)当m=3时，对于数列2,4,8,存在等差数列0,3,6,9满足条件.当m=4时，对于数列2,4,8,16,存在等差数列-3,2,5,8,13,5,19满足条件.当m”时,若存在初数 加如母.。和d,使得 用三国1占%七过三由c三%1M旗 r,且任意OW】Wm-均有外+%=色 则有 所以 d=xX8-2=6,所以+18=24,这与黑广3：矛盾，所以当m35时，数列口口(n=1,2,，m)不可能为“Q数列”.所以m的所有可能值为3或4.【点睛】本题考查“Q数列的判断”与证明，考查满足“Q数列”的实数值的求法，考查等差数列、不等式 的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.