用二分法求方程的近似解.pdf

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1、 环节二 452 用二分法求方程的近似解 复习引入 问题 1 上节课我们主要解决了什么问题？答案：上节课主要学习了函数的零点与方程的实数解之间的关系，将求方程 f(x)0 的实数解转化为确定函数 yf(x)的零点根据函数零点存在定理并结合函数的单调性等性质，可以确定在某一区间内方程实数解的个数 过渡语：由于大多数方程都没有求根公式，我们只能遗憾地止步于确定在某一区间内方程实数解的个数但是，这并不妨碍大家在工程中寻找能接受的近似解 课堂探究 问题 2 我们已经知道，函数 f(x)lnx2x6 在区间(2，3)内存在一个零点，其准确值无法求出，那么如何求出这个零点的近似值呢？答案：一个直观的想法是

2、：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下就可以得到符合要求的零点的近似值 结论：精确度是指近似值 x*与其准确值 x0的接近程度 近似值 x*的误差不超过某个数，即|x*x0|，就说它的精确度是 一般地，对于数值 x0，如果要获得它满足精确度 的近似值，只需要找一个包含 x0的区间a，b，使得|ab|即可在精确度 限制下的近似值为所在区间中的任意值，即近似值有无数个 追问 1 要获得精确度为 0.5 的零点的近似值，你能找到一个符合要求的包含零点的区间吗？答案：现在已知零点在区间(2，3)内，这个区间长度为 1要获得精确度为 0.5 的零点的近似值，就要将包含零点的区间长度缩

3、小到小于 0.5，也就是要将区间长度减小到原来的一半 考虑区间(2，3)的中点 2.5，用计算器算得2.50.084f，而 21.307f，31.099f，则 2.530ff根据函数零点存在定理可知，零点在区间(2.5，3)内，这个区间的长度为0.5 追问 2 如果要获得精确度为 0.01 的零点的近似值，根据追问 1 的答案，你将采取什么办法来逐步缩小零点所在区间？答案：当精确度为 0.01 时，至少需要将零点存在的区间长度缩小到小于 0.01根据追问 1 的答案，可以通过重复计算区间中点的函数值，并与区间端点的函数值作比较，将零点 所在区间逐次减半那么就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点

4、所在范围缩小到满足精确度为 0.01 的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值 追问 3 我们已经将零点所在的区间从(2，3)缩小到了(2.5，3)，根据追问 2 确定的方法，再取区间(2.5，3)的中点 2.75，用计算器算得2.750.512f因为 2.52.750ff，所以零点在区间(2.5，2.75)内请你利用计算器重复这样的步骤，继续缩小零点所在的区间，直到区间长度小于 0.01 为止将你的计算结果填写在表 1 中，并据此画出函数 f(x)lnx2x6 在区间(2，3)内的大致图象 表 1 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 零点所在区间的长度(2，3)2.5 0.08

5、4 1(2.5，3)2.75 0.512 0.5(2.5，2.75)答案：完成的表格如表 2，画出的函数图象如图 1 表 2 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 零点所在区间的长度(2，3)2.5 0.084 1(2.5，3)2.75 0.512 0.5(2.5，2.75)2.625 0.215 0.25(2.5，2.625)2.5625 0.066 0.125(2.5，2.5625)2.53125 0.009 0.0625(2.53125，2.5625)2.546875 0.029 0.03125(2.53125，2.546875)2.5390625 0.010 0.015625(2.5

6、3125，2.5390625)2.53515625 0.001 0.0078125 追问 4 根据填好的表格，你给出的函数 f(x)lnx2x6 精确度为 0.01 的零点近似值是多少？答案：因为|2.531252.5390625|0.00781250.01，所以区间(2.53125，2.5390625)内任意一点都可以作为零点的近似值为了方便，我们可以把区间的一个端点作为零点的近似值，所以可以将 x2.53125 作为函数 f(x)lnx2x6 零点的近似值，也即方程 lnx2x60 的近似值 问题 3 像上面这种求函数 f(x)lnx2x6 的零点近似值的方法，它的总体思路是什么？这种方法

7、适用于哪些函数？答案：这种方法的总体思路是，通过不断把函数 f(x)lnx2x6 的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值对于在某一区间上函数图象连续不断，且区间端点函数值的乘积符号为负的函数，都可以利用这种方法来求零点的近似值 结论：对于在区间a，b上图象连续不断且 f(a)f(b)0 的函数 yf(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）问题 4 根据求函数 f(x)lnx2x6 零点的近似值的过程，你能提炼出给定精确度，用二分法求函数 yf(x)零点 x0的近似值

8、的一般步骤吗？答案：给定精确度，用二分法求函数 yf(x)零点 x0的近似值的一般步骤如下：（1）确定零点 x0的初始区间a，b，验证 f(a)f(b)0（2）求区间(a，b)的中点 c（3）计算 f(c)，并进一步确定零点所在的区间：图 1 若 f(c)0（此时 x0c），则 c 就是函数的零点；若 f(a)f(c)0（此时 x0(a，c)），则令 bc；若 f(c)f(b)0（此时 x0(c，b)），则令 ac（4）判断是否达到精确度：若|ab|，则得到零点近似值 a（或 b）；否则重复步骤（2）（4）追问 给定精确度，为什么当|ab|时，区间a，b中任意一个值都是零点 x0满足精确度 的

9、近似值？答案：根据精确度的定义，精确度是指近似值 x*与其准确值 x0的接近程度近似值 x*的误差不超过某个数，即|x*x0|，就说它的精确度是 所以当|ab|时，零点 x0所在的区间a，b中任意一个值与 x0的误差都不超过|ab|，当然也就不超过 所以区间a，b中任意一个值都是零点 x0满足精确度 的近似值 知识应用 例 2 借助信息技术，用二分法求方程237xx的近似解（精确度为 0.1）答案：解：原方程即2370 xx，令 237xf xx，用信息技术画出函数 yfx的图象（图 2），并列出它的对应值表（表 3）表 3 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y 6 2 3 10 21

10、40 75 142 273 观察图2或表3，可知 120ff，说明该函数在区间(1，2)内存在零点 x0 取区间(1，2)的中点11.5x，用信息技术算得1.50.33f因为 11.50ff，所以x0(1，1.5)再 取 区 间(1，1.5)的 中 点21.25x，用 信 息 技 术 算 得1.250.87f 因 为 1.251.50ff，所以 x0(1.25，1.5)图 2 同理可得，x0(1.375，1.5)，x0(1.375，1.437 5)由于11.437 51.0 2.3 750.650，所以，原方程的近似解可取为 1.375 归纳总结 问题 5 （1）结合上节课的内容，请你思考什么

11、情况下使用二分法？回顾用二分法求函数零点的近似值的一般步骤，你能体会到怎样的数学思想和方法？（2）回顾上节课和本节课的内容，你能用思维导图梳理本单元前两小节的研究内容和方法吗？（3）用二分法求方程近似解有什么优势？二分法求方程近似解具有程序性，你能总结出它的程序框图吗？答案：（1）根据零点存在定理能判断方程在某个区间内存在解，但没有以一个公式的形式存在的精确解时，可以考虑用二分法求近似解；二分法通过不断缩小函数零点所在区间求函数零点的近似值，体现了逐渐逼近的极限思想 在逐渐逼近的过程中，重复相同的步骤，这些相同的步骤可以抽象出来，体现了算法思想（2）思维导图如图 3：（3）通过本节课的学习我们可以看到，用二分法求方程的近似解，计算量较大，而且是重复相同的步骤因此，可以通过设计一定的计算程序，借助信息技术完成计算图 4 就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图有兴趣的同学，可以在此基础上用有关算法语言编写程序，利用信息技术求方程的近似解 图 3 图 4