等差数列的前n项和教学设计.pdf

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1、 环节三 等差数列的前 n 项和公式 引入新课 问题 1：据说在 200 多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：12100？，你能回答这个问题吗？答案：5050.当同学们忙于把这 100 个数字逐个相加时，10 岁的高斯却早就有了答案.追问 1：你知道高斯使用什么方法迅速得到答案的吗？答案：12 1 1002995051101 505050.追问2：“12.100.”解决的是数列的什么问题？答案：等差数列 1，2，3，n，前 100 项的和的问题.追问 3：高斯在求和过程中用到了等差数列的什么性质？答案：数列na是等差数列，p，q，s，t*N，且 p+q=s+t，则pqstaaaa.对于数列

2、na，设nan，那么高斯的计算方法可以表示为110029939850511100()()()()50()5050aaaaaaaaaa.追问 4：你能用高斯的方法求12100101吗？答案：12100101 1 101210050525110250515151.这时数列的项数 n 为奇数，与项数 n 为偶数的情况不同的是，项数为奇数的数列求和时需要确定配对后的余项，即中间项 51.追问 5：高斯的求和方法可以给我们什么启示？答案：(预设答案 1)所有等差数列都可以通过“首尾配对”的方法求和.(预设答案 2)通过等差数列的性质当角标和相等时，两项和相等，可以问题中 n 个不同数字组成的等差数列求和

3、问题，转化为2n（n 为偶数）或12n（n 为奇数）个相同数字的和的问题.(预设答案 3)12100 12.10010099.2 12=1 1002995051100 10150 101505022，高斯求和的方法可以看作是把同一个等差数列“倒序相加”.(预设答案 4)从图形上解释，倒序相加可以看作是将一个从 1 到 n 的三角点阵的求和问题，“拼图”解决(如图所示).将图旋转 90 度得到图，图一中所有点数之和即为所求nS，将图旋转 90 度得到图拼接如图，得到的矩形点阵所表示的点数之和为2nS，每行点数为1n，共有n行，因此21nSn n，(1)12.2nn nSn.课堂探究 问题 2：如

4、何计算首项为 1，公差为 1 的等差数列前 n 项和？答案：将高斯的方法推广到一般，可以得到：当 n 是偶数时，有121122nnnnaaaaaa ，于是有1212(1)(1)(1)(1)(1)22nnnSnnnnnn (1)2nn.当 n 是奇数时，有1111212(1)(1)(1)222nnnnSnnn 111(1)(1)(1)(1)(1)2222nnnnnnnnn.所以对任意正整数 n,都有(1)122nn nSn.追问1：在求前 n 个正整数的和时，要对 n 分为奇数、偶数进行讨论，比较麻烦，能否设法避免分类讨论？答案：1 21nSnn（）(1)2 1nSnn.将两式相加,可得 2(1

5、)(1)(1)(1)nSnnnn n，所以(1)2nn nS.追问 2：上述方法可以推广到求等差数列na的前 n 项和吗？答案：设等差数列123,na a aa的前 n 项和为nS，则123nnSaaaa,由前面的例子，不难用倒序相加法推出 123nnSaaaa 121nnnnSaaaa 将两式相加,可得 121112nnnnnSaaaaaaaan,所以1()2nnn aaS.追问3：如果已知等差数列首项1a，公差d可以求得前 n 项和nS吗？答案：1(1)2nn nSnad.将等差数列的通项公式1(1)naand代入公式1()2nnn aaS，可得 111(1)(1)22nn aandn n

6、Snad.结论：等差数列na的前 n 项和公式1()2nnn aaS1(1)2n nnad.知识应用 例 1 已知数列na是等差数列.(1)若1507,101,aa求50S;(2)若1252,2aa求10S;(3)若111,26ad 5,nS 求 n.解：(1)因为1507,101,aa根据公式1()2nnn aaS，可得 50S50(7101)27002.(2)因为1252,2aa所以12d.根据公式nS1(1)2n nnad,可得 10S10(10 1)18510 2222.(3)把111,26ad 5,nS 代入nS1(1)2n nnad,可得 51(1)1()226n nn.整理得27

7、600nn.解得12,n 或5n (舍去).所以12.n 例 2 已知一个等差数列na前 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？解：1020310,1220.SS把它们代入公式nS1(1)2n nnad,得 111045310,201901220.adad解方程组，得14,6.ad所以，由所给的条件可以确定数列的首项和公差.例 3 某校新建一个报告厅，要求容纳 800 个座位，报告厅共有 20 排座位，从第 2 排其后一排都比前以排多 2 个座位.问第 1 排应安排多少个座位.解：设报告厅的座位从第 1 排到第 20 排，各排的座位数

8、依次排成一列，构成数列na，其前 n 项和为nS，根据题意，数列na是一个公差为 2 的等差数列，且20800.S由2012020 12028002Sa（），可得121a.因此，第一排应安排 21 个座位.例 4 已知一个等差数列na前 n 项和为nS，若110a，公差2d ，则nS是否存在最大值？若存在，求nS的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.解:(解法 1)由120,nnaa 得1,nnaa所以na是递减数列.又由10(1)(2)212,nann 可知：当6n 时，0na；当6n 时，0na；当6n 时，0na.所以12567SSSSS.也就是说，当5n 或6n 时，nS

9、最大.因为552 10(5 1)(2)302S ，所以nS的最大值为 30.(解法 2)因为nS221()1122ddnannn 211121()24n，所以当n取112最接近的整数即5或6时，nS的最大值为 30.追问 1：等差数列前 n 项和在什么情况下有最值？答案：对于无穷等差数列，当0时，数列为递增数列，逐项增大，有最小值；当1 0时，的最小值为所有非正项的和的值；当1 0时，的最小值为1.当 0时，的最小值为所有非负项的和的值；当1 0时，的最大值为1.追问 2：等差数列通项公式与函数的关系是什么？答案：等差数列通项公式1=()nadnad，an与 n 之间的函数关系可以表示为f(x

10、)=kx+b（xN*，k，b为常数）追问 3：等差数列前 n 项和公式与函数的关系是什么？答案：等差数列的前 n 项和公式21=()22nddSnan 当 d=0，a1=0 时，Sn=0（nN*），Sn与 n 之间的函数关系可以表示为 f(x)=0（xN*）；当 d=0，a10 时，Sn=na1（nN*），Sn与 n 之间的函数关系可以表示为 f(x)=kx，（xN*，k 为常数）；当 d0 时，Sn与 n 之间的函数关系可以 表示为 f(x)=ax2+bx，（xN*，a,b 均为常数，且 a0）.追问 4：由于等差数列(0)的前项和也是关于的二次函数，那么你能否从函数的角度来分析一下的最值问题.答案：当 0 时，=22+(12).当 0 时，关于的函数图象为开口向上的抛物线上横坐标为正整数的点，所以当取离对称轴最近的整数时，最小；当 0 时，关于的函数图象为开口向下的抛物线上横坐标为正整数的点，所以当取离对称轴最近的整数时，最大.