第2节等差数列--备战2022年高考数学一轮复习配套word试题(创新设计版).pdf

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1、第 2 节 等差数列 知 识 梳 理 1等差数列的定义(1)定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示(2)等差中项：如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 2等差数列的通项公式及求和公式 如果等差数列an的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式是 ana1(n1)d，其前 n 项和是 Snn（a1an）2或 Snna1n（n1）2d 3等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且 klmn(k，

2、l，m，nN*)，则 akalaman 特别地，当 kl2m(k，l，mN*)时，则 akal2am(3)若an为等差数列，Sn为前 n 项和，则 Sn，S2nSn，S3nS2n，也成等差数列，公差为 n2d.(4)若等差数列an的前 n 项和为 Sn，则Snn也是等差数列 4等差数列的通项公式、求和公式与函数的关系(1)通项公式：ana1(n1)ddn(a1d)，当 d0 时，等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数；当 d0 时，等差数列的通项公式是常数函数(2)求和公式：Snd2n2a1d2n，当 d0 时，等差数列的前 n 项和公式是关于 n的二次函数，且常数项为 0；当 d0 时，等

3、差数列的前 n 项和公式为 Snna1.1用定义法证明等差数列应注意“从第 2 项起”，如证明了 an1and(n2)时，应注意验证 a2a1是否等于 d，若 a2a1d，则数列an不为等差数列 2 利用二次函数性质求等差数列前 n 项和最值时，一定要注意自变量 n 是正整数 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误(1)若一个数列从第二项起每一项和它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列an的单调性是由公差 d 决定的()(3)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数()(4)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有 2an1anan2.()答案(1)(

4、2)(3)(4)解析 对(1)由定义知，若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数，则此数列是等差数列，(1)错误；对(3)，当等差数列的公差为零时，此结论不正确 2一个等差数列的首项为125，从第 10 项开始比 1 大，则这个等差数列的公差 d的取值范围是()Ad875 Bd325 C.875d325 D.8751，a91，即1259d1，1258d1，所以8750，a7a100，所以 3a80，即 a80，又 a7a100，所以 a8a90，则 a94 时有 S820，S2n1S2n9116，则 an()A6 B.172 C39 D78(2)(2020浙江卷)已知等差数列a

5、n的前 n 项和为 Sn，公差 d0，且a1d1.记 b1S2，bn1S2n2S2n，nN*，下列等式不可能成立的是()A2a4a2a6 B2b4b2b6 Ca24a2a8 Db24b2b8 答案(1)B(2)D 解析(1)由题知 a1a2a820，且 S2n1S2n9a2n8a2n7a2n1116，故知 a1a2n1201168172an，所以 an172.(2)由 bn1S2n2S2n，得 b2a3a42a15d，b4a7a82a113d，b6a11a12，b8a15a162a129d.由等差数列的性质易知 A 成立；若 2b4b2b6，则 2(a7a8)a3a4a11a122a72a8，

6、故 B 成立；若 a24a2a8，即(a13d)2(a1d)(a17d)，则 a1d，故 C 可能成立；若 b24b2b8，即(2a113d)2(2a15d)(2a129d)，则a1d32，与已知矛盾，故 D 不可能成立 感悟升华 利用等差数列项的性质、等差数列前 n 项和的性质能简化运算【训练 2】(1)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且S4S813，则S8S16()A.310 B.37 C.13 D.12(2)已知数列an，bn均为等差数列，且前 n 项和分别为 Sn和 Tn，若SnTn3n2n1，则a5b5等于()A.295 B.2910 C.285 D.2810 答案(1)A(

7、2)B 解析(1)因为数列an是等差数列，所以 S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列，因为S4S813，所以不妨设 S41，则 S83，所以 S8S42，所以 S16123410，所以S8S16310.(2)根据等差数列的性质和前 n 项和公式，有a5b52a52b59（a1a9）29（b1b9）2S9T9392912910.故选 B.考点三 等差数列的判定与证明 【例 3】(2021台州模拟)已知数列an满足 a12，an12an1an.(1)求证：数列1an1是等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明 由1an1112an1an1anan11an11，得1an111an

8、11，又 a12，1a111，数列1an1是以 1 为首项，1 为公差的等差数列(2)解 由(1)知，1an1n，ann1n，数列an的通项公式为 ann1n.感悟升华 等差数列的判定与证明方法 方法 解读 适合题型 定义法 对于任意自然数 n(n2)，anan1(n2，nN*)为同一常数an是等差数列 解答题中证明问题 等差中项法 2an1anan2(n3，nN*)成立an是等差数列 通项公式anpnq(p，q 为常数)对任意的正整数 n 都选择、填空题中的判定法 成立an是等差数列 问题 前 n 项和公式法 验证 SnAn2Bn(A，B 是常数)对任意的正整数 n 都成立an是等差数列【训

9、练 3】已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中 为常数(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由(1)证明 由题设知，anan1Sn1，an1an2Sn11.两式相减得 an1(an2an)an1.由于 an10，所以 an2an.(2)解 由题设知，a11，a1a2S11，可得 a21.由(1)知，a31.由 2a2a1a3，解得 4.故 an2an4，由此可得a2n1是首项为 1，公差为 4 的等差数列，a2n14n32(2n1)1；a2n是首项为 3，公差为 4 的等差数列，a2n 4n122n1.所以 an2n1，an1a

10、n2.因此存在 4，使得数列an为等差数列 考点四 等差数列最值问题 【例 4】(1)(一题多解)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a113，S3S11，当 Sn最大时，n 的值是()A5 B6 C7 D8(2)已知等差数列16，14，12，的前n项和为Sn，且Sn0，则n的最大值为_ 答案(1)C(2)16 解析(1)法一 由 S3S11，得 a4a5a110，根据等差数列的性质，可得a7a80.根据首项等于 13 可推知这个数列递减，从而得到 a70，a80，即n217n0，解得 0n0 且a6a5911，则当 Sn取最大值时，n 的值为()A9 B10 C11 D12(2)已知

11、数列an是等差数列，Sn是其前 n 项和，若 Sn存在最大值，则在 S1，S22，S33，S20212 021中最大的数是()AS1 B.S20142 014 C.S20212 021 D无法确定 答案(1)B(2)A 解析(1)由a6a5911，得 S11S9，即 a10a110，根据首项 a10 可推知这个数列递减，从而 a100，a110，故 n10 时，Sn最大(2)由题意可知数列an是等差数列，且前 n 项和 Sn存在最大值，公差 d0，S140，S140，a1a14a7a80，a80，所以 Sn取最大值时 n 的值为 7，故选 B.6在等差数列an中，若a9a80 时，n的最小值为

12、()A14 B15 C16 D17 答案 C 解析 数列an是等差数列，它的前 n 项和 Sn有最小值，公差 d0，首项 a10，an为递增数列，a9a81，a8a90，由等差数列的性质知 2a8a1a150.Sn（a1an）n2，当 Sn0 时，n 的最小值为 16.二、填空题 7(2018上海卷)记等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a30，a6a714，则 S7_ 答案 14 解析 a6a72a111d14，a3a12d0，d2，a42，S77a414.8(2021名校仿真训练三)等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a35，S312，则公差 d_，通项公式 an_ 答案 1 n2

13、 解析 由 S312，得 3a212，即 a24，又 a35，则 da3a21，故通项公式 ana2(n2)dn2.9(2019北京卷)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a23，S510，则 a5_，Sn的最小值为_ 答案 0 10 解析 设首项为 a1,公差为 d，a2a1d3，S55a110d10，a14，d1，a5a14d0，ana1(n1)dn5.令 an0，则 n5，即数列an中前 4 项为负，a50，第 6 项及以后为正 Sn的最小值为 S4S510.10已知等差数列an中，a1a37，设其前 n 项和为 Sn，且 S4S6，则其公差d_，其前 n 项和 Sn取得最大值时

14、n_ 答案 1 5 解析 由 S4S6，知 a5a60，则有a1a12d7，a14da15d0，解得a192，d1，所以 an92(n1)(1)112n.由112n0，得 n112，又nN*，所以当n5 时，Sn取得最大值 三、解答题 11已知等差数列的前三项依次为 a，4，3a，前 n 项和为 Sn，且 Sk110.(1)求 a 及 k 的值；(2)设数列bn的通项公式 bnSnn，证明：数列bn是等差数列，并求其前 n 项和Tn.(1)解 设该等差数列为an，则 a1a，a24，a33a，由已知有 a3a8，得 a1a2，公差 d422，所以 Skka1k（k1）2d2kk（k1）22k2

15、k，由 Sk110，得 k2k1100，解得 k10 或 k11(舍去)，故 a2，k10.(2)证明 由(1)得 Snn（22n）2n(n1)，则 bnSnnn1，故 bn1bn(n2)(n1)1，即数列bn是首项为 2，公差为 1 的等差数列，所以 Tnn（2n1）2n（n3）2.12设an是等差数列，a110，且 a210，a38，a46 成等比数列(1)求an的通项公式；(2)记an的前 n 项和为 Sn，求 Sn的最小值 解(1)设an的公差为 d.因为 a110，所以 a210d，a3102d，a4103d.因为 a210，a38，a46 成等比数列，所以(a38)2(a210)(

16、a46)所以(22d)2d(43d)解得 d2.所以an的通项公式为 ana1(n1)d2n12.(2)由(1)知，an2n12.则当 n7 时，an0；当 n6 时，an0；当 n6 时，an0；所以 Sn的最小值为 S5S630.能力提升题组 13(2021山水联盟考试)已知an为等差数列，且 ln a22a1a3，则()A|a1|a2|且|a3|a4|B|a1|a4|C|a1|a2|且|a3|a2|且|a3|a4|答案 C 解析 因为数列an是等差数列，设公差为 d，且 ln a22a1a3，所以 3a2dln a2a21，则 d2a21.因为 a20，所以 d0，所以 0a3a4，所以

17、有|a3|a2|，故选 C.14 如图，点列An，Bn分别在某锐角的两边上，且|AnAn1|An1An2|，AnAn2，nN*，|BnBn1|Bn1Bn2|，BnBn2，nN*(PQ 表示点 P 与 Q 不重合)若 dn|AnBn|，Sn为AnBnBn1的面积，则()ASn是等差数列 BS2n是等差数列 Cdn是等差数列 Dd2n是等差数列 答案 A 解析 Sn表示点 An到对面直线的距离(设为 hn)乘以|BnBn1|长度的一半，即 Sn12hn|BnBn1|，由题目中条件可知|BnBn1|的长度为定值，过 A1作垂线得到初始距离h1，那么 A1，An和相应两个垂足构成直角梯形，则 hnh1

18、|A1An|sin(其中 为两条线所成的锐角，为定值)，从而 Sn12(h1|A1An|sin)|BnBn1|，Sn112(h1|A1An1|sin)|BnBn1|，则 Sn1Sn12|AnAn1|BnBn1|sin 为定值，所以 Sn1Sn为定值，故选 A.15(2021湖州中学质检一)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若满足 a10，且a4，a5是方程 x2mx10(mR)的两根，则S5S4的取值范围是_，当 n_时 Sn最大 答案 56，1 4 解析 因为a4，a5是方程x2mx10的两根，所以a4a51，则a4与a5异号 又因为 a10，所以 a40，a50，则当 n4 时，等差

19、数列an的前 n 项和 Sn最大设等差数列an的公差为 d，则S5S45a110d4a16d10a45a510a46a510a24510a2461110a246.因为 6S7S5，则满足 an0 的最大 n 的值为_，满足 SkSk10，a7S7S60 的最大 n 的值为 6.又 a6a7S7S50，则 S1111（a1a11）211a60，S1212（a1a12）26(a6a7)0，S1313（a1a13）213a70，因为an是递减的等差数列，所以满足 SkSk10，求使得 Snan的 n 的取值范围 解(1)设an的公差为 d.由 S9a5得 9a1982d(a14d)，即 a14d0.由 a34 得 a12d4.于是 a18，d2.因此an的通项公式为 an102n.(2)由(1)得 a14d，故 an(n5)d，Snn（n9）d2.由 a10 知 d0，故 Snan等价于n（n9）2n5，即 n211n100，解得 1n10，所以 n 的取值范围是 n|1n10，nN