第7节函数的图象与变换--备战2022年高考数学一轮复习配套word试题(创新设计版).pdf

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1、第 7 节 函数的图象与变换 1.利用描点法作函数的图象 步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换 (2)对称变换 yf(x)的图象 关于x轴对称yf(x)的图象；yf(x)的图象 关于y轴对称yf(x)的图象；yf(x)的图象 关于原点对称yf(x)的图象；yax(a0，且 a1)的图象 关于直线yx对称ylogax(a0，且 a1)的图象.(3)伸缩变换 yf(x)纵坐标不变各点横坐标变为原来

2、的1a（a0）倍yf(ax).yf(x)横坐标不变各点纵坐标变为原来的A(A0)倍yAf(x).(4)翻转变换 yf(x)的图象 x轴下方部分翻折到上方x轴及上方部分不变y|f(x)|的图象；yf(x)的图象 y轴右侧部分翻折到左侧原y轴左侧部分去掉，右侧不变yf(|x|)的图象.1.记住几个重要结论(1)函数 yf(x)与 yf(2ax)的图象关于直线 xa 对称.(2)函数 yf(x)与 y2bf(2ax)的图象关于点(a，b)中心对称.(3)若函数 yf(x)对定义域内任意自变量 x 满足：f(ax)f(ax)，则函数 yf(x)的图象关于直线 xa 对称.2.明确一个函数的图象关于 y

3、 轴对称与两个函数的图象关于 y 轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系.3.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用.诊 断 自 测 1.判断下列说法的正误.(1)函数 yf(1x)的图象，可由 yf(x)的图象向左平移 1 个单位得到.()(2)函数 yf(x)的图象关于 y 轴对称即函数 yf(x)与 yf(x)的图象关于 y 轴对称.()(3)当 x(0，)时，函数 yf(|x|)的图象与 y|f(x)|的图象相同.()(4)若函数 yf(x)满足 f(1x)f(1x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称.()答案(

4、1)(2)(3)(4)解析(1)yf(x)的图象向左平移 1 个单位得到 yf(1x)的图象，故(1)错.(2)两种说法有本质不同，前者为函数的图象自身关于 y 轴对称，后者是两个函数的图象关于 y 轴对称，故(2)错.(3)令 f(x)x，当 x(0，)时，y|f(x)|x，yf(|x|)x，两函数图象不同，故(3)错.2.函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线 yex关于 y 轴对称，则 f(x)的解析式为()A.f(x)ex1 B.f(x)ex1 C.f(x)ex1 D.f(x)ex1 答案 D 解析 依题意，与曲线 yex关于 y 轴对称的曲线是 yex，于是 f

5、(x)相当于 y ex向左平移 1 个单位的结果，f(x)e(x1)ex1.3.(2021浙江五校联考)函数 f(x)12|x|x22 的图象可能是()答案 D 解析 由函数解析式 f(x)12|x|x22 知，函数 f(x)在定义域 R 上为偶函数.因为yx22 的对称轴为 y 轴，且当 x0 时，yx22 为减函数，所以 f(x)为减函数，故选 D.4.函数 y1xsin xx2的部分图象大致为()答案 D 解析 法一 易知 g(x)xsin xx2为奇函数，故 y1xsin xx2的图象关于点(0，1)对称，排除 C；当 x(0，1)时，y0，排除 A；当 x 时，y1，排除 B，选项

6、D 满足.法二 当 x1 时，f(1)11sin 12sin 12，排除 A，C；又当 x时，y，排除 B，而 D 满足.5.若关于 x 的方程|x|ax 只有一个解，则实数 a 的取值范围是_.答案(0，)解析 在同一个坐标系中画出函数y|x|与 yax 的图象，如图所示.由图象知当 a0 时，方程|x|ax 只有一个解.6.已知函数 f(x)2x，若函数 g(x)的图象与 f(x)的图象关于 x 轴对称，则 g(x)_；若把函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位，再向下平移 4个单位后，所得函数的解析式为 h(x)_.答案 2x 2x14 解析 g(x)的图象与函数 f(x)2x的图象关

7、于 x 轴对称，g(x)2x.把 f(x)2x的图象向左平移 1 个单位，得 m(x)2x1的图象，再向下平移 4 个单位，得 h(x)2x14 的图象.考点一 作函数的图象【例 1】作出下列函数的图象：(1)y12|x|；(2)y|log2(x1)|；(3)y2x1x1；(4)yx22|x|1.解(1)先作出 y12x的图象，保留 y12x图象中 x0 的部分，再作出 y12x的图象中 x0 部分关于 y 轴的对称部分，即得 y12|x|的图象，如图实线部分.(2)将函数 ylog2x 的图象向左平移一个单位，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去，即可得到函数 y|log2(x1)|的图

8、象，如图.(3)y21x1，故函数图象可由 y1x图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位即得，如图.(4)yx22x1，x0，x22x1，x0，且函数为偶函数，先用描点法作出0，)上的图象，再根据对称性作出(，0)上的图象，得图象如图.感悟升华 画函数图象的一般方法(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.【训练 1】分别画出下列函数的图象：(1)y|lg x|

9、；(2)ysin|x|.解(1)y|lg x|lg x，x1，lg x，0 x1 或 0a1 时，g(x)logax1a单调递增，且 f(x)(xa)3a1 的图象的对称中心在直线 x1 的右侧，故 A 正确，B 错误；当 0a1 时，g(x)logax1a单调递减，f(x)(xa)3a1 的图象的对称中心在直线x1 的左侧，所以 C，D 均错.感悟升华(1)抓住函数的性质，定性分析 从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.从函数的单调性，判断图象的变化趋势；从周期性，判断图象的循环往复.从函数的奇偶性，判断图象的对称性.(2)抓住函数的特征，定量计算 从函数的特

10、征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.(3)对于两个函数的图象问题，要注意图象变换的灵活使用.【训练 2】(1)(2021衢州、湖州、丽水质检)函数 f(x)(exex)ln|x|的图象大致为()(2)函数 y2x2e|x|在2，2的图象大致为()答案(1)D(2)D 解析(1)因为函数 f(x)的定义域为(，0)(0，)，f(x)f(x)，所以函数f(x)为偶函数，其图象关于 y 轴对称，故排除 B；因为 f(1)0，故排除 C；因为当x0 时，f(x)，故排除 A，故选 D.(2)f(x)2x2e|x|，x2，2是偶函数，又 f(2)8e2(0，1)，排除 A，B.设g(x)2x2e

11、x，x0，则 g(x)4xex.又 g(0)0，g(2)0，g(x)在(0，2)内至少存在一个极值点，f(x)2x2e|x|在(0，2)内至少存在一个极值点，排除 C，故选 D.考点三 函数图象的应用 角度 1 判定函数中的参数【例 31】(2021北京丰台区模拟)如图，点 O 为坐标原点，点A(1，1)，若函数 yax及 ylogbx 的图象与线段 OA 分别交于点M，N，且 M，N 恰好是线段 OA 的两个三等分点，则 a，b 满足()A.ab1 B.baa1 D.ab1 答案 A 解析 由题意知 A(1，1)，且 M，N 恰好是线段 OA 的两个三等分点，所以 M13，13，N23，23

12、，把 M13，13代入函数 yax，即13a13，解得 a127，把 N23，23代入函数 ylogbx，即23logb23，即得 b23322 69，所以 ab1.角度 2 研究函数的性质【例 32】(一题多解)设函数 f(x)min|x2|，x2，|x2|，其中 minx，y，z表示 x，y，z 中的最小者.则下列说法错误的是()A.函数 f(x)为偶函数 B.若 x1，)时，有 f(x2)f(x)C.若 xR 时，f(f(x)f(x)D.若 x4，4时，|f(x)2|f(x)答案 D 解析 法一 如图，函数 f(x)为偶函数；作出函数 f(x)的图象，将 f(x)的图象向右平移 2 个单

13、位长度知 f(x2)的图象在1，)上的部分位于 f(x)的图象的下方，则有 f(x2)f(x)；令 f(x)u0，则由图象知 f(u)u，由排除法知 D 错误，故选 D.法二 若 x4，4，则 0f(x)2，故|f(x)2|2f(x)f(x)等价于 0f(x)1，所以当 x4，4时，|f(x)2|f(x)不恒成立.否定一个结论，只需给出一个反例即可.取 x4，则|f(4)2|0f(4)，D 错误，故选 D.角度 3 研究方程的根【例 33】(1)(2020杭州三校三联)若函数 f(x)|2x2|b 有两个零点，则实数b 的取值范围是_.(2)若 x1满足 2x2x5，x2满足 2x2log2(

14、x1)5，则 x1x2()A.52 B.3 C.72 D.4 答案(1)(0，2)(2)C 解析(1)在同一平面直角坐标系中画出 y|2x2|与 yb的图象，如图所示.当 0b2 时，两函数图象有两个交点，从而函数 f(x)|2x2|b 有两个零点.b 的取值范围是(0，2).(2)2x52x，2log2(x1)52x，即 2x152x，log2(x1)52x，作出 y2x1，y52x，ylog2(x1)的图象(如图).由图知 y2x1与 ylog2(x1)的图象关于 yx1 对称，它们与 y52x 的交点A，B 的中点为 y52x 与 yx1 的交点 C，xCx1x2274，x1x272.角

15、度 4 求不等式的解集【例 34】(2020北京卷)已知函数 f(x)2xx1，则不等式 f(x)0 的解集是()A.(1，1)B.(，1)(1，)C.(0，1)D.(，0)(1，)答案 D 解析 在同一平面直角坐标系中画出 h(x)2x，g(x)x1 的图象如图.由图象得交点坐标为(0，1)和(1，2).又 f(x)0 等价于 2xx1，结合图象，可得 x0 或 x1.故 f(x)0 的解集为(，0)(1，).故选 D.感悟升华(1)利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性.(2)研究方程根的

16、个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解.(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.【训练 3】(1)(角度 1)已知函数 f(x)|log3x|，实数 m，n 满足 0mn，且 f(m)f(n)，若 f(x)在m2，n上的最大值为 2，则 m_，n_.(2)(角度 3)已知当 x0，1时，函数 y(mx1)2的图象与 y xm 的图象有且只有一个交点，则正实数 m 的取值范围是_.(3)(角度

17、4)函数 f(x)是定义在4，4上的偶函数，其在0，4上的图象如图所示，那么不等式f（x）cos x0 的解集为_.答案(1)13 3(2)(0，13，)(3)2，1 1，2 解析(1)如图，作出函数 f(x)|log3x|的图象，观察可知 0m10.当 x2，4 时，ycos x0.结合 yf(x)，x0，4上的图象知，当 1x2时，f（x）cos x0.又函数 yf（x）cos x为偶函数，所以在4，0上，f（x）cos x0 的解集为2，1，所以f（x）cos x1，若 a，b，c 互不相等，且 f(a)f(b)f(c)，则abc 的取值范围是()A.(1，2017)B.(1，2018)

18、C.2，2 018 D.(2，2018)答案 D 解析 设 f(a)f(b)f(c)m，作出函数 f(x)的图象与直线 ym，如图所示，不妨设 abc，当 0 x1 时，函数 f(x)的图象与直线 ym 的交点分别为 A，B，由正弦曲线的对称性，可得 A(a，m)与 B(b，m)关于直线 x12对称，因此 ab1，令 log2 017x1，解得 x2 017，结合图象可得 1c2 017，因此可得 2abc0 解析 当1x0 时，设解析式为 ykxb(k0).则kb0，b1，得k1，b1，yx1.当 x0 时，设解析式为 ya(x2)21(a0).图象过点(4，0)，0a(42)21，得 a1

19、4.8.(2021绍兴适应性考试)已知函数 f(x)2x3，x0，x2，x0.若 a0，b0，且 f(a)f(b)，则 f(ab)的取值范围是_.答案 1，)解析 在平面直角坐标系内画出函数 f(x)的图象如图所示，由图易得要使 a0，b0，f(a)f(b)，则 a0，b32，且 2b3a2，则 b3a22，则 aba3a2212(a1)21，当 a0 时，ab12(a1)21(，1，所以 f(ab)2(ab)31，).9.函数 y2x12x1为_函数(填“奇”或“偶”)，函数 f(x)22x11 的对称中心为_.答案 奇(0，2)解析 y2x12x1的定义域为 R，记 g(x)2x12x1，

20、则 g(x)2x12x112x2x1g(x)，g(x)即 y2x12x1是奇函数；函数 f(x)的定义域为 R，f(x)f(x)22x1122x112（2x1）2x124，故 f(x)的对称中心为(0，2).10.(2021台州评估)若函数 f(x)lg x，x0，|x22x|，x0，则 ff1010_；不等式 f(x1)f(x)的解集为_.答案 34 3 32，320，)解析 f1010lg 101012，所以 ff1010f1234.作出函数 yf(x)与 yf(x1)的图象如图所示，易得两图象的交点横坐标分别为3 32，32，则不等式f(x1)f(x)的解集为 3 32，320，).三、

21、解答题 11.已知函数 f(x)3x2，x1，2，x3，x（2，5.(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出 f(x)的图象；(2)写出 f(x)的单调递增区间；(3)由图象指出当 x 取什么值时 f(x)有最值.解(1)函数 f(x)的图象如图所示.(2)由图象可知，函数 f(x)的单调递增区间为1，0，2，5.(3)由图象知当 x2 时，f(x)minf(2)1，当 x0 时，f(x)maxf(0)3.12.已知 f(x)|x24x3|.(1)作出函数 f(x)的图象；(2)求函数 f(x)的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合 Mm|使方程 f(x)m 有四个不相等的实根.解(1)当 x

22、24x30 时，x1 或 x3，f(x)x24x3，x1或x3，x24x3，1x3，f(x)的图象为：(2)由函数的图象可知 f(x)的单调区间是(，1，(2，3)，(1，2，3，)，其中(，1，(2，3)是减区间；(1，2，3，)是增区间.(3)由 f(x)的图象知，当 0m1 时，f(x)m 有四个不相等的实根，所以 Mm|0m1.能力提升题组 13.已知 yf(x)定义域为实数集 R，则函数 yf(1x)与 yf(x1)的图象关于()A.直线 y0 对称 B.直线 x0 对称 C.直线 y1 对称 D.直线 x1 对称 答案 D 解析 假设 f(x)x2，则 f(x1)(x1)2，f(1

23、x)(1x)2(x1)2，它们是同一个函数，此函数图象关于直线 x1 对称.14.已知函数 f(x)x22x1，x0，x22x1，x0，则对任意 x1，x2R，若 0|x1|x2|，下列不等式成立的是()A.f(x1)f(x2)0 C.f(x1)f(x2)0 D.f(x1)f(x2)0 答案 D 解析 函数 f(x)的图象如图所示：且 f(x)f(x)，从而函数 f(x)是偶函数且在0，)上是增函数.又 0|x1|f(x1)，即 f(x1)f(x2)0.15.已知函数 f(x)|x|2，x0，需满足 a2，所以2a2.16.(2021龙湾中学检测)设函数 f(x)x3x，xa，x，xa，若 f

24、(x)无最大值，则实数 a 的取值范围为_.答案，2 39 解析 一平面直角坐标系中画出 yx3x 与 yx 的大致图象如图所示，两个图象相切于坐标原点，且坐标原点是两函数图象的唯一交点.由图易得当直线 xa处于点2 39，2 39的右侧时，函数 f(x)存在最大值2 39；当直线 xa 处于点2 39，2 39的左侧时，函数 f(x)无最大值，所以实数 a 的取值范围为，2 39.17.(2021嘉兴测试)已知函数 f(x)x2x，x1，log13x，x1，(1)若对任意的 xR，都有 f(x)|k1|成立，则实数 k 的取值范围为_；(2)若存在 xR，使|f(x)|k，则实数 k 的取值

25、范围是_.答案(1)，3454，(2)0，)解析(1)对任意 xR，都有 f(x)|k1|成立，即 f(x)max|k1|.因为 f(x)的草图如图所示，观察 f(x)x2x，x1，log13x，x1的图象可知，当 x12时，f(x)max14，所以|k1|14，解得 k34或 k54.(2)|f(x)|的图象如图所示，且|f(x)|0，)，存在 xR，使|f(x)|k，故 k 的取值范围是 0，).18.已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)x1x2 的图象关于点 A(0，1)对称.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若 g(x)f(x)ax，g(x)在区间(0，2上的值不小于 6，求实数 a 的取值范围.解(1)设 f(x)图象上任一点坐标为(x，y)，点(x，y)关于点 A(0，1)的对称点(x，2y)在 h(x)的图象上，2yx1x2，yx1x，即 f(x)x1x.(2)由题意 g(x)xa1x，且 g(x)xa1x6，x(0，2.x(0，2，a1x(6x)，即 ax26x1.令 q(x)x26x1，x(0，2，q(x)x26x1(x3)28，当 x(0，2时，q(x)是增函数，q(x)maxq(2)7.故实数 a 的取值范围是7，).