第2节圆的方程--备战2022年高考数学一轮复习配套word试题(创新设计版).pdf

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1、第 2 节 圆的方程 知 识 梳 理 1圆的定义和圆的方程 2.点与圆的位置关系 平面上的一点 M(x0，y0)与圆 C：(xa)2(yb)2r2之间存在着下列关系：(1)drM 在圆外，即(x0a)2(y0b)2r2M 在圆外；(2)drM 在圆上，即(x0a)2(y0b)2r2M 在圆上；(3)drM 在圆内，即(x0a)2(y0b)2r2M 在圆内 圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)方程 x2y2a2表示半径为 a 的圆(

2、)(3)方程 x2y24mx2y5m0 表示圆()(4)方程 Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的充要条件是 AC0，B0，D2E24AF0.()答案(1)(2)(3)(4)解析(2)当 a0 时，x2y2a2表示点(0，0)；当 a0 时，表示半径为|a|的圆 (3)当(4m)2(2)245m0，即 m14或 m1 时才表示圆 2若点(1，1)在圆(xa)2(ya)24 的内部，则实数 a 的取值范围是()A(1，1)B(0，1)C(，1)(1，)Da1 答案 A 解析 因为点(1，1)在圆的内部，所以(1a)2(1a)24，所以1a0)，将 P，Q 两点的坐标分别代入得 2D4EF20

3、，3DEF10.又令 y0，得 x2DxF0.设 x1，x2是方程的两根，由|x1x2|6，得 D24F36，由，解得 D2，E4，F8，或 D6，E8，F0.故所求圆的方程为 x2y22x4y80 或 x2y26x8y0.感悟升华 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解【训练 1】(1)(2018天津卷)在平面直角坐标系中，经过三

4、点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为_(2)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0，5)在圆 C 上，且圆心到直线 2xy0 的距离为4 55，则圆 C 的方程为_ 答案(1)x2y22x0(2)(x2)2y29 解 析 (1)设 圆 的 方 程 为 x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F0)，则F0，11DEF0，42DF0，解得 D2，E0，F0，即圆的方程为 x2y22x0.(2)因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a，0)，且 a0，所以圆心到直线 2xy0 的距离 d2a54 55，解得 a2，所以圆 C 的半径 r|CM|453，所以圆

5、 C 的方程为(x2)2y29.考点二 与圆有关的最值问题【例 2】已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求 yx 的最大值和最小值；(3)求 x2y2的最大值和最小值 解 原方程可化为(x2)2y23，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yxk，即 ykx.当直线 ykx 与圆相切时，斜率 k 取最大值或最小值，此时|2k0|k21 3，解得 k 3(如图 1)所以yx的最大值为 3，最小值为 3.(2)yx 可看作是直线 yxb 在 y 轴上的截距，当直线 yxb 与圆相切时，纵截距 b 取得

6、最大值或最小值，此时|20b|2 3，解得 b2 6(如图 2)所以 yx 的最大值为2 6，最小值为2 6.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图 3)又圆心到原点的距离为（20）2（00）22，所以 x2y2的最大值是(2 3)274 3，x2y2的最小值是(2 3)274 3.感悟升华 把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化极为常见：(1)形如 mybxa的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如 taxby 的最值问题，可转化为动直

7、线截距的最值问题；(3)形如m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题 【训练 2】(1)圆心在曲线 y2x(x0)上，与直线 2xy10 相切，且面积最小的圆的方程为()A(x2)2(y1)225 B(x2)2(y1)25 C(x1)2(y2)225 D(x1)2(y2)25(2)设点 M(x0，1)，若在圆 O：x2y21 上存在点 N，使得OMN45，则 x0的取值范围是_ (3)(2021绍兴模拟)设点 P(x，y)是圆：x2(y3)21 上的动点，定点 A(2，0)，B(2，0)，则PAPB的最大值为_ 答案(1)D(2)1，1(3)12 解析(1)设圆心坐

8、标为 Ca，2a(a0)，则半径 r2a2a1522a2a155，当且仅当 2a2a，即 a1 时取等号 所以当 a1 时圆的半径最小，此时 r 5，C(1，2)，所以面积最小的圆的方程为(x1)2(y2)25.(2)如图所示，过点 O 作 OPMN 交 MN 于点 P.在 RtOMP 中，|OP|OM|sin 45，又|OP|1，得|OM|1sin 45 2.|OM|1x20 2，x201.因此1x01.(3)由题意，知PA(2x，y)，PB(2x，y)，所以PAPBx2y24，由于点 P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程 x2(y3)21，故 x2(y3)21，所以PAPB(y3)21

9、y246y12.由圆的方程 x2(y3)21，易知2y4，所以，当y4 时，PAPB的值最大，最大值为 641212.考点三 与圆有关的轨迹问题【例 3】已知点 P(2，2)，圆 C：x2y28y0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点(1)求点 M 的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求 l 的方程及POM 的面积 解(1)圆 C 的方程可化为 x2(y4)216，所以圆心为 C(0，4)，半径为 4.设 M(x，y)，则CM(x，y4)，MP(2x，2y)由题设知CMMP0，故 x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)2

10、2.由于点 P 在圆 C 的内部，所以 M 的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1，3)为圆心，2为半径的圆由于|OP|OM|，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上，又 P 在圆 N 上，从而 ONPM.因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为13，故 l 的方程为 x3y80.又|OM|OP|2 2，O 到 l 的距离为4 105，所以|PM|4 105，SPOM124 1054 105165，故POM 的面积为165.感悟升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，

11、根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等【训练 3】设定点 M(3，4)，动点 N 在圆 x2y24 上运动，以 OM，ON 为邻边作平行四边形 MONP，求点 P 的轨迹 解 如图所示，设 P(x，y)，N(x0，y0)，则线段 OP 的中点坐标为x2，y2，线段 MN 的中点坐标为x032，y042.由于平行四边形的对角线互相平分，故x2x032，y2y042.从而x0 x3，y0y4.又 N(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24.因此所求轨迹为圆：(x3)2(y4)24，但应除去两点95，12

12、5和215，285(点P 在直线 OM 上时的情况)基础巩固题组 一、选择题 1方程 x2y2ax2ay2a2a10 表示圆，则实数 a 的取值范围是()A(，2)23，B.23，0 C(2，0)D.2，23 答案 D 解析 方程为xa22(ya)21a3a24表示圆，则 1a3a240，解得2a23.2圆(x1)2(y2)21 关于直线 yx 对称的圆的方程为()A(x2)2(y1)21 B(x1)2(y2)21 C(x2)2(y1)21 D(x1)2(y2)21 答案 A 解析 已知圆的圆心 C(1，2)关于直线 yx 对称的点为 C(2，1)，圆(x1)2(y2)21 关于直线 yx 对

13、称的圆的方程为(x2)2(y1)21，故选 A.3点 P(4，2)与圆 x2y24 上任一点连线的中点的轨迹方程是()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24 C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21 答案 A 解析 设圆上任一点为 Q(x0，y0)，PQ 的中点为 M(x，y)，则x4x02，y2y02，解得x02x4，y02y2.因为点 Q 在圆 x2y24 上，所以 x20y204，即(2x4)2(2y2)24，化简得(x2)2(y1)21.4已知三点 A(1，0)，B(0，3)，C(2，3)，则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为()A.53 B.213 C.2 53

14、 D.43 答案 B 解析 由点 B(0，3)，C(2，3)，得线段 BC 的垂直平分线方程为 x1，由点 A(1，0)，B(0，3)，得线段 AB 的垂直平分线方程为 y3233 x12，联立，解得ABC 外接圆的圆心坐标为1，2 33，其到原点的距离为 122 332213.故选 B.5已知直线 l 过圆(x1)2(y2)21 的圆心，当原点到直线 l 距离最大时，直线 l 的方程为()Ay2 Bx2y50 Cx2y30 Dx2y50 答案 D 解析 圆(x1)2(y2)21 的圆心为(1，2)，则当直线 l 与过原点和圆心的直线垂直时，原点到直线 l 的距离最大，此时直线 l 的斜率为1

15、02012，则直线 l的方程为 y212(x1)，即 x2y50，故选 D.6若直线 ykx 与圆(x2)2y21 的两个交点关于直线 2xyb0 对称，则点(k，b)所在的圆为()A.x122(y5)21 B.x122(y5)21 C.x122(y5)21 D.x122(y5)21 答案 A 解析 由题意知直线 ykx 与直线 2xyb0 互相垂直，所以 k12.又圆上两点关于直线 2xyb0 对称，故直线 2xyb0 过圆心(2，0)，所以 b4，结合选项可知，点12，4 在圆x122(y5)21 上 二、填空题 7圆 x2y22y30 的圆心坐标是_，半径是_ 答案(0，1)2 解析 化

16、圆的方程为标准方程为x2(y1)24，由此知该圆的圆心坐标为(0，1)，半径为 2.8(2021北京门头沟区综合练习)已知两点 A(1，0)，B(1，0)，若直线 xya0 上存在点 P(x，y)满足APBP0，则实数 a 满足的取值范围是_ 答案 2，2 解析 设 P(x，y)，则APBP0 x2y21，d|a|21a 2，2 9 若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y1相切，则圆C的方程是_ 答案(x2)2y322254 解析 设圆心 C 坐标为(2，b)(b0，b0)始终平分圆 x2y24x2y80 的周长，则1a2b的最小值为()A1 B5 C4 2 D32 2 答案 D 解析

17、由题意知圆心 C(2，1)在直线 ax2by20 上，2a2b20，整理得 ab1，1a2b1a2b(ab)3ba2ab 32 ba2ab32 2，当且仅当ba2ab，即 b2 2，a 21 时，等号成立 1a2b的最小值为 32 2.15已知直角坐标系中 A(2，0)，B(2，0)，动点 P 满足|PA|2|PB|，则点 P 的轨迹方程是_；轨迹为_ 答案 x2y212x40 一个圆 解析 设点 P 的坐标为(x，y)，则由|PA|2|PB|得|PA|22|PB|2，即(x2)2y22(x2)2y2，化简得 x2y212x40，方程化为标准方程为(x6)2y232.其表示一个圆 16 已知实

18、数 x，y 满足 x2y26x8y110，则 x2y2的最大值为_，|3x4y28|的最小值为_ 答案 11 5 解析 由题意知圆的标准方程为(x3)2(y4)236，其表示的是一个圆心为(3，4)，半径为 6 的圆，而 x2y2表示圆上的点到坐标原点的距离，(x2y2)max 32（4）2611，由圆的标准方程(x3)2(y4)236 可设其圆上点的坐标为x6cos 3，y6sin 4(为参数)，|3x4y28|18cos 24sin 35|30sin()35|其中tan 34，当 sin()1 时，|3x4y28|min5.17(2018全国卷)设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过 F

19、 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|8.(1)求 l 的方程；(2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程 解(1)由题意得 F(1，0)，l 的方程为 yk(x1)(k0)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由yk（x1），y24x得 k2x2(2k24)xk20.16k2160，故 x1x22k24k2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)4k24k2.由题设知4k24k28，解得 k1(舍去)，k1.因此 l 的方程为 yx1.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3，2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y2(x3)，即 yx5.设所

20、求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则 y0 x05，（x01）2（y0 x01）2216.解得x03，y02或x011，y06.因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6)2144.18如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M：x2y212x14y600 及其上一点 A(2，4)(1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x6 上，求圆 N 的标准方程；(2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B，C 两点，且|BC|OA|，求直线 l 的方程；(3)设点 T(t，0)满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q，使得TAT

21、PTQ，求实数 t 的取值范围 解(1)圆 M 的方程化为标准形式为(x6)2(y7)225，圆心 M(6，7)，半径 r5，由题意，设圆 N 的方程为(x6)2(yb)2b2(b0)，且（66）2（b7）2b5.解得 b1，圆 N 的标准方程为(x6)2(y1)21.(2)kOA2，可设直线 l 的方程为 y2xm，即 2xym0.又|BC|OA|22422 5，由题意，圆M的圆心M(6，7)到直线l的距离为d52|BC|22 2552 5，即|267m|22（1）22 5，解得 m5 或 m15.直线 l 的方程为 2xy50 或 2xy150.(3)由TATPTQ，则四边形 AQPT 为平行四边形，又P，Q 为圆 M 上的两点，|PQ|2r10.|TA|PQ|10，即（t2）24210，解得 22 21t22 21.故所求 t 的范围为22 21，22 21