初中数学专题2.3构造相似.pdf

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1、2.3 构造相似 23 构造相似 相似三角形可以看作是全等三角形的推广，利用相似三角形不但可以证明角、线段的等量关系，而且还可以证明有关线段的比例关系利用题中有关相似形的结论、性质，或添线“制造”相似形加以利用，往往是解题的关键所在 例 1：已知 M、N 分别在正方形 ABCD 的边 DA、AB 上，且 AMAN，过 A 作 BM 的垂线，垂足为 P 求证：APNBNC 图2-3-1PMBCADN【分析】易知BNCBPC，故只需证APNBPC，这可通过判定三角形相似来完成【证明】连结 PC，图2-3-154321PMBCDAN 在 RtABM 中，APBM 所以12，APMBPA90，34，故

2、APMBPA 从而AMAPABBP 因为 ABBC，AMAN，故ANAPBCBP 因为 ADBC，所以45，从而35，所以APNBPC，故APNBPC，ANPBCP，故 N、B、C、P 四点共圆 进而BPCBNC，所以APNBNC【注】通过已有相似三角形和线段等量转换，构造新的相似三角形，是解题的关键 例 2：如图 232：设点 O 是四边形 ABCD 对角线 AC、BD 的交点，且76BODO若BADBCA180，AB6，AC5，AD4求 BC 的值 2.3 构造相似 图2-3-2COABD【分析】构造BAD 或BCA 的补角，进而得到相等的角，再得到相似三角形去求解【解】过 B 作 AD

3、的平行线，交 AC 的延长线于 E 图2-3-2ECOABD 则BADABE180，因为BADBCA180，故ABEBCA 又因为BACEAB，所以BACEAB 故56BCACBEAB，又因为 ADBE，从而76BEBOADDO，所以143BE，359BC 【注】在处理有关线段比例关系时，常常构造平行线和相似三角形来解 例 3：如图 233：在等边三角形 ABC 的边 BC 上取一点 D，使 CD2BD，作 CHAD，H 为垂足，连结 BH 求证：DBHDAB 图2-3-3HDCAB【分析】若DBHDAB，则有ABDBHD，需通过边的比例关系计算可得：2BDDH AD 故可相应地作高构造相似三

4、角形求解【证明】过 A 作 AEBC，垂足为 E 2.3 构造相似 图2-3-3EHDCBA 因为 AEBC，CHAD，所以AEDCHD 又因为CDHADE，故CDHADE 从而CDDHADDE，即AD DHCD DE 结合 ABAC，AEBC 可知，BECE 设 DE，则 BD2，CD4，从而224DE CDaBD 故ADBDBDDH，且BDHADB，进而ADBBDH 故DBHDAB【注】直接计算法，是构造相似三角形的重要方法之一 例 4：如图 234：设 S 为锐角ABC 的边 AB 上的点，P、Q 分别为ASC 和BSC 的外接圆的圆心，试问：点 S 在边 AB 上的什位置时，可使PQS

5、 的面积最小？P图2-3-4QABCS【分析】利用外心的性质，可得PQSABC，通过相似比比较两者的面积关系，进而找出最值情况【解】由题意可知 PQ 垂直平分 CS，故SPQ12SPCSACBAC 同理：SQPABC，故SQPCBA 设相似比PSkAC则2PQSABCSk S 又因为 AC 是以 PS 为半径的圆的弦，所以 AC2PS，从而12k 故当且仅当 AC 为圆 P 的直径，即 CSAB 时，等号成立 因此点 S 为过点 c 的高线的垂足时，PQS 的面积最小，为14ABCS【注】利用相似三角形的性质，可将原三角形边、角、周长、面积等问题转换到新的图形中去研究，发现新的思路 2.3 构

6、造相似 例 5:如图 235：从O 外的一点 P 作O 的两条切线，切点分别为点 A、B，在劣弧 AB 上任取一点 C，先过点 C 作O 的切线，分别交 PA、PB 于点 D、E，再过点 C 作 CFAB，垂足为 F求证：CFDCFE 图2-3-5FEDAABC【分析】只需证DFAEFB，即有ADFBEF 通过作 AF、BF 边上的高构造直角三角形相似，再通过边的转换进而求证【证明】分别过点 D、E 作 DMAB，ENAB，I 垂足为 M、N 图2-3-5FEDAABC 故AMDFMDENFENB90 因为 PAPB，所以DAMEBN 从而ADMBEN进而DMADENBE 由题意：ADCD，C

7、EBE，故DMDCENCE 由题意易知：DMCFEN，所以DCMFECFN 故DMMFENFN，从而DMFENF进而DFMEFN 所以CFDCFE【注】对于复杂的三角形相似问题，可通过作高，变为直角三角形相似的问题 2.3 构造相似 例 6：如图 236，在ABC 中，设 AHBI1mAB，BDCE1mBC，CFAG1mAC(m2)AD与 BG 交于点 P，BF 与 CI 交于点 R，AE 与 CH 交于点 Q求证：2221BQPABCSmSm 图2-3-6QRPGEDIHBCA【分析】可通过比例关系求得 APQR 和ABC 相似，进而得出面积的比【证明】分别过 D、C、A 作 BG 的垂线，

8、垂足分别为 K、L、M，从而 DKCLAM，图2-3-6MIKQRPGEDIHACB 故1sin1sinAPAMAMAMAMAGmmmPDDKBDGBCCLGCmBCGBCm 同理可证：1AQmQEm，故APAQPDQE，所以 PQBC 同理可证：PRAC、QRAB，从而PQRCBA 因为2221212121112PQPQmPQmAPmmmmPDmBCmDEmADmmmDEmAPm 故2221BQPABCSmSm【注】如果两个角的两条边互相平行，则这两个角相等或互补如果三角形的三条边互相平行，则这两个三角形相似本题还可以用 Menelaus 定理处理线段的比值，请读者一试 2.3 构造相似 例

9、 7：如图 237：在锐角ABC 中，ABAC，M 为 BC 的中点，P 在AMC 内，且BAMPAC，设ABC、ABP、ACP 的外心分别为 O、1O、2O求证：AO 平分12OO 图2-3-7EO2O1OMBCAP【分析】易知2AOOABC，再结合条件可得2OBAM 通过相似由 M 为 BC 中点，可证得 E为1O、2O中点，【证明】因为1O、2O分别为ABP 和ACP 的外心，所以1O、2OAP 同理：12OOAC，故2OPAC 又因为BAMPAC，所以2OBAM 因为 0 为ABC 的外心，所以2O OEABM，进而00EABM 同理：O1OEACM，故1O EAMOECM，2O EA

10、MBMOE 因为 BMCM，故12O EO E，即 AO 平分12OO【注】可构造ABC 的外接圆，将BAM 和CAM 转换成新的圆周角，直接构造三角形和12OO O相似 图2-3-7DEO2O1OMPACB【证明】延长 AM 交ABC 外接圆于 D，连结 BD、CD 由上面证明可知：1OMACCBD ，2OBAMBCD ，从而12OO OBCD 2.3 构造相似 由上面证明可证：2OEODMC，1OEODMB，进而1112O EO DOOBMBDBC 因为12BMBC，故11212O EOO，即 AO 平分12OO 习题 23 1如图：已知在ABC 中，BAC90，ADBC，E 是 AC 的

11、中点，ED 的延长线交 AB 的延长线于 F求证：ABDFACAF（第1题）FEDCBA 2如图：在ABC 中，BCa，ACb，ABc，D、E 分别是 BC、AC 上的点，且123，如果ABC、EBD，ADC 的周长依次为 m、1m、2m求证：1254mmm（第2题）321EDBCA 2.3 构造相似 3如图：四边形 ABCD 是梯形，点 E 是上底边 AD 上一点，CE 的延长线与 BA 的延长线交于点 F，过点 E 作 BA 的平行线交 CD 的延长线于点 M，BM 与 AD 交于点 N证明：AFNDME（第3题）PDN EFBCMA 4如图：直线 m 的同侧有三个相邻的等边ABC、ADE

12、、AFG，且 G、A、B 都在直线 m 上，设这个三角形的边长依次为 a、b、c，连结 GD 交 AE 于 N，再连结 BN 交 AC 于 L求 AL（第4题）LNGECBADF 5如图：在ABC 中，A 是直角，ADBC 于 D，AT 平分BAC，1O、2O分别是ABD 和ACD的内心，证明：AT12OO（第5题）O2O1DTCBA 2.3 构造相似 6 如图：在ABC 中，ACB90，点 D 在 CA 上，使得 CD1，AD3，并且BDC3BAC 求BC 的长（第6题）DCAB 7设 T（a，b，c）是一个边长为 a，b，c 的三角形，其面积为；记(,)Ta b c 是由原三角形 T的三条

13、高组成的三角形，T的面积记为；进一步，记(,)Ta b c 是由原三角形T的三条高组成的三角形，T的面积记为，已知30，20，求的值 8如图：已知三个彼此相似的三角形，1，2，它们的周长分别为p，1p，2p，若较小的两个三角形1和2可以互不重叠地放在大三角形的内部求证：122ppp（第8题）21 2.3 构造相似 9不等边ABC 的三边长为 a、b、c，且 ab2c，若经过ABC 的重心 G 和内心 I 的直线分该三角形两部分的面积为1S和2S(1S2S)求12SS的值 10如图：已知 D 为ABC 的边 BC 上的任意一点，1I、2I为ABD、ACD 的内心，1I、2I分别为这两个三角形的旁

14、心，P、P分别为ABC 的内切圆和旁切圆与边 BC 的切点 证明：1221I PII P I （第10题）PI2PI1I2I1ABCD 2.3 构造相似 参考答案 1（第1题）FEDCBA 因为 ADBC，所以BDACDA90，所以CDAC90 因为DACBAD90，则CBAD，所以ABDCAD所以ABBDACAD 因为 E 为 AC 的中点，所以 DEAEEC，所以CEDC，所以BADEDC 因为EDCBDF，所以BAD 一BDF 因为FF，所以BDFDAF 所以BDDFADAF，ABDFACAF 2（第2题）321EDBCA 因为12，CC，所以DACABC，所以DCACACBC，所以22

15、ACbDCABa 所以 BDBCDC22aba 因为23，所以 DEAC所以BDEBCAACD 所以2212mBDabmBCa，2mACbmBCa，所以22221221551244mmabbbbbmaaaaa ，当且仅当 a2b 时，1254mmm，所以1254mmm 3 因为 NEBC，所以PNEPBC，所以PNPEPBPC，所以PB PEPN PC 因为 MEBF，所以PMEPBF，所以PMPEPBPF，PN PCPM PF，所以PMPCPNPF 因为FPNMPC，故PNFPMC，所以PNFPMC 故 NFMC，所以ANFEDM 2.3 构造相似 因为 MEBF，故FANMED，所以AFN

16、DME（第3题）PDN EFBCMA 4由题意：BCLNAL60，BLCNLA，所以BLCNLA，所以BCCLANAL，所以BCANCLALANAL，所以aANaANAL，所以a ANALaAN 因为FAGAED60，所以 AGED，所以NAGNED 因为GNADNE，所以GNADNE，故EDENAGAN，所以bENcAN，故bcANENbcANAN，所以bcANbc，故abcALabbcca（第4题）LNGECBADF 5 作直线12OO交 AB 于 R，交 AC 于 S，连结1DO，2DO（第5题）SRO2O1DTCBA 因为1O D平分ADB，2O D平分ADC，所以121180902O

17、 DO 因为 ADBC，故ADBADC90 因为BACDAC90，BADB90，所以BDAC，故ABCCAD，所以12DOABDOAC 因为BAC12O DO，所以12O DOBAC，2.3 构造相似 所以12DOOABC，故 B、D、1O、R 四点共圆 所以ARSBD1O45，同理：ASR45，所以ARSASR，故 ARAS 因为 AT 平分BAC，所以 ATRS，即 AT12OO 6设 BCx，则 BD21x，216ABx 作ABD 平分线 BE，交 AC 于点 E（第6题）EDACB 因为BDC3BAC，故BACDBEABE，所以BDEADB 因为23BDDE DADE，由角平分线定理：

18、DEBDAEAB，故DEBDADBDAB 所以3BDDEBDAB 故2222911161xxxx 所以2221(161)9xxx 故22291611xxx，2225916131xxx 设210 xA，所以9523AAA，所以22711A，故227111x ，所以41111x，即 BC41111 7因为；2aabbcc，且2a ab bc c ，故=abcabc 所以TT，相似比为，故2，所以22304520=8记，1，2的面积分别为 S，1S，2S，故1S2SS 因为12，所以211SPSP，222SPSP 故22121221PPSSPS，所以22212PPP 故22221122PPPPP 2

19、.3 构造相似 所以2212()2PPP，所以122PPP（第8题）21 9 设 AB 边上的高 MCh，则重心 G 到 AB 的距离 GN13h，内心 I 到 AB 距离 ILr，r 为内切圆半径 因为2133ABCShchcrabcabcc，故 GIAB 设直线 GI 交 AC、BC 于 D、E，所以 DEAB 所以DECABC，相似比为23 因为1CDESS，2DABESS，所以2122224325SS cba（第9题）N LMEDIGABC 10设 BC 与1I切于 E 点，BC 与2I切于 F 点，连结1I E、1I D、2I F、2I D、1I D、2I D 故121()902I

20、DIADBADC，因为1()2+DEAD BDAB，1()2+CPAC BCAB，1()2CFACCDAD 故11()()22CPCFBCADABCDADBDABDE，所以PFDE，故DFPE 因为22211DII EDE，22222DII FDF，2221212I II DI D，故2222222222212121212()()I II EDEI FDFI EEPI FPFI PI P 所以12I PI是直角三角形且1290I PI 2.3 构造相似 故1I、D、P、2I四点共圆 同理：12I P I是直角三角形且1I、2I、D、P四点共圆 所以12，34 由题意易知：2I、D、2I三点共线 所以23，所以14，所以1221I PII P I 4321（第10题）PFEI2PI1I2I1ABCD