切线法证明不等式.pdf

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1、切线法证明不等式 牛顿法，也叫牛顿迭代法、切线法，是一种迭代求解函数零点的方法。切线法又称为牛顿法,是一种一般情况下具有二阶收敛速度的非线性方程的数值解法。具体方法如下:设 x*是方程f(x)=0 的根,又 x0 为 x*附近的一个值,将 f(x)在 x0 附近做泰勒展开:f(x)=f(x0)+(x-x0)f(x0)+1/2(x-x0)2f()其中 在 x 和 x0 之间令 x=x*,则:0=f(x*)=f(x0)+(x*-x0)f(x0)+1/2(x*-x0)2f()去掉 x*-x0 的二次项得到:f(x0)+x*f(x0)-x0f(x0)0 即x*x0-f(x0)/f(x0)令 x1=x0

2、-f(x0)/f(x0)并由此构成一个递推式 xk+1=xk-f(xk)/f(xk)(表示下标)可以证明,当 f(x)Ca,b且满足以下条件时,由以上递推式产生的序列最后收敛到 f(x)=0 在a,b上的唯一根(1)f(a)f(b)0 计算实例:1。求解 f(x)=x-cosx=0 的实根由零点定理知 f(x)=0 在(0,/2)内有实根 f(x)=1+sinx,由迭代公式有:xn+1=xn-(xn-cosxn)/(1+sinxn)取 x0=/4得到:x1=0。73936133x2=0。739085178x3=0。739085133x4=0。739085133 所以 x=0。739085133

3、。2。任意数开 n 次方为了说明的方便,在此就常见的开 3 次方作较详细的说明,对于其他的可以类比计算设 x=3A 则 x3=A 所以 x3-A=0 采用递推公式xn+1=xn-(xn3-A)/(3xn2)(表示下标)即可求出3A 的任意精度近似值。初值 x0一般取与 3A 接近的整数。举例求 328,取x0=3,迭代结果如下:x1=3。037037037037037x2=3。036589037977101x3=3。036588971875664x4=3。036588971875663x5=3。036588971875663从上面可以看出,只要迭代4次即可求出 15 位精度的近似值。设 a、b

4、、c、d0，且 a+b+c+d=1，证明:6(a+b+c+d)a+b+c+d+1/8.证明设 f(x)=6x-x(0 x0 且 a+b+c+d=1)f(x)=6x-x在 x=1/4 处的切线函数为 y=f(1/4)(x-1/4)+f(1/4)=(5/8)x-1/8.下面证明 f(x)(5/8)x-1/8，即 6x-x(5/8)x-1/8.此式等价于(4x-1)(3x+1)0，显然成立.f(a)(5/8)a-1/8，f(b)(5/8)b-1/8，f(c)(5/8)c-1/8，f(d)(5/8)d-1/8.以上四式相加得 f(a)+f(b)+f(c)+f(d)5(a+b+c+d)-4/8=1/8.6(a+b+c+d)a+b+c+d+1/8。